Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session Septembre 2011
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie ]0 ; +[ par :
.
Partie A : Étude d'une fonction
1. a) Déterminer la limite de la fonction en .
b) Déterminer la limite de la fonction en 0.
2. Soit la fonction dérivée de la fonction . Calculer pour tout réel de ]0 ; +[.
En déduire le tableau de variations de la fonction sur ]0 ; +[.
3. Montrer que l'équation admet une unique solution dans ]0 ; +[. On note cette solution. Déterminer un encadrement de à la précision 10-2.
4. Déterminer le signe de lorsque appartient à ]0 ; +[.
5. Montrer que .
Partie B : Calcul d'une intégrale
On donne en annexe la courbe , représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante :
.
1. Justifier que l'intégrale est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).
2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale
.
3. Montrer l'égalité : .
En déduire une valeur approchée de à 10-1 près.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est muni d'un repère orthonormé .
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives :
A(-1 ; 2 ; 1) , B(1 ; - 6 ; -1) et C (2 ; 2 ; 2).
1. a) Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
b) Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
2. Soit le plan d'équation : .
a) Montrer que les plans (ABC) et sont sécants.
b) Soit la droite intersection des plans et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
3. On considère la sphère de centre et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées . On admet que la droite a pour représentation paramétrique:
, .
a) Montrer que le point I appartient à la droite .
b) Montrer que le point I appartient à la sphère .
c)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Montrer que la droite coupe la sphère en un deuxième point.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est muni d'un repère orthonormé .
On considère l'ensemble des points de l'espace tels que :
.
Les trois questions sont indépendantes.
1. a) Montrer que l'intersection de l'ensemble et du plan d'équation est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b) Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble et du plan d'équation .
2. On considère la sphère de centre O et de rayon .
a) Donner une équation de la sphère .
b) Montrer que l'intersection de la sphère et de l'ensemble est un cercle.
3. Le but de cette question est de déterminer les points de l'ensemble , dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation et vérifiant .
a) Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : .
b) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées sont des entiers relatifs vérifiant :
et .
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d'unité graphique 4 cm.
Partie A :
On note P le point d'affixe , Q le point d'affixe , et K le point d'affixe - 1.
1. a) Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.
b) Faire une figure et construire les points P et Q.
2. a) Déterminer l'ensemble des points d'affixe tels que . Représenter cet ensemble sur la figure.
b) Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble et du cercle .
Partie B :
On considère trois nombres complexes non nuls et . On note A, B et C les points d'affixes respectives , et .
On suppose que l'origine O du repère est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.
1. a) Montrer que . En déduire que .
b) Montrer que .
c) Montrer que .
d) En utilisant la partie A, en déduire que ou .
2. Dans cette question, on admet que et .
a) Montrer que .
b) Montrer que .
c) Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A :
Pour un premier jeu :
si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à .
si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à .
Pour tout entier naturel non nul , on désigne par l'évènement «l'internaute gagne la ème partie» et on note la probabilité de l'évènement .
L'internaute gagne toujours la première partie et donc .
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, .
3. Pour tout entier naturel non nul, on pose .
a) Montrer que est une suite géométrique de raison et de premier terme à préciser.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, .
c) Déterminer la limite de .
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10-2 près.
c) Déterminer l'espérance de X.
2. Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €.
a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 € ? Le résultat sera arrondi à 10-5 près.
Publié par TP/
le
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