Une entreprise étudie l'évolution du pourcentage de femmes parmi ses employés . Le tableau suivant donne , pour les années indiquées , l'évolution du pourcentage de femmes dans l'entreprise :
1) Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal .
Echelle :
1cm pour rang sur l'axe des abscisses et
1cm pour sur l'axe des ordonnées .
2) Calculer les coordonnées du point moyen de cette série statistique .
3) On note le point moyen partiel des trois premiers points et celui des trois derniers .
a) Calculer les coordonnées de et puis tracer la droite .
b) Déterminer l'équation de la droite sous la forme où et seront donnés sous forme de fraction irréductible .
4-a) Déterminer graphiquement une estimation du pourcentage de femmes parmi les employés en 2023 .
b) Par un calcul , déterminer l'année où le pourcentage de femmes atteindra .
12 points
probleme
Soit la fonction numérique de la variable réelle définie par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé . (unité graphique 1cm) .
1-a) Préciser l'ensemble de définiton de .
b) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition , en déduire que la courbe admet une asymptote dont on précisera une équation .
2-a) Calculer et étudier son signe .
b) En déduire le sens de variation de et dresser son tableau de variation .
3)Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse .
4) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de avec les axes de coordonnées .
5-a) Tracer la courbe et la tangente dans le repère .
b) A l'aide de la représentation graphique de , donner suivant les valeurs du réel , le nombre de solutions de l'équation .
6) Vérifier que la fonction numérique définie sur par : est une primitive de sur .
7) Calculer l'aire de la partie des points du plan tels que : .
1) Voi la figure à la fin pour le nuage de points :
2) Les coordonnées du point moyen sont tels que sont respectivement les moyennes des .
On a :
3-a)
Calcul des coordonnées du point moyen :
On a :
Donc :
Calcul des coordonnées du point moyen :
On a :
Donc :
b) Notons une équation cartésienne de la droite .
On a alors :
On remplace par sa valeur dans l'équation :
On sait que est un point de , on a donc :
Conclusion :
4-a) Pour déterminer graphiquement cette estimation , il faut construire la droite .
L'année correspond au rang , et d'après le graphique , l'image de ce rang par la droite est
Donc :
b) Par calcul , on a :
Alors , si , le rang est
Enfin , le rang correspond à l'année .
Conclusion :
Figure :
probleme
1-a) La fonction est un produit d'une fonction polynomiale et de la fonction exponentielle , donc , elle est définie dans
b) En :
On a , pour tout réel
Or , on nous donne :
De plus , on sait que
Donc :
Interprétation graphique :
En :
Puisque
Alors
Remarque :
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On peut aussi interpréter graphiquement la limite en (pas demandé ! )
Puisque , alors il faut calculer
On a :
On sait que
Donc
Alors :
2-a) Pour tout
Puisque , alors le signe de est celui de .
Or, on sait que admet deux racines , alors sont tableau de signe est :
D'où le signe de
b) On a , d'après ce qui précède :
D'autre part , on a :
Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction :
3) Une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse est par définition :
Or , on a :
Donc , l'équation de la tangente est :
4)
Intersection de avec l'axe des abscisses Pour trouver les points d'intersection , on résoud l'équation
Intersection de avec l'axe des ordonnées Pour trouver le point d'intersection , on calcule l'image de par .
On a vu en 2-b) que
5-a) La représentation graphique de
b) Le nombre de solutions de l'équation correspond graphiquement au nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation :
Distinguons les cas suivants :
La droite horizontale coupe la courbe une seule fois .
La droite horizontale coupe la courbe deux fois .
La droite horizontale coupe la courbe trois fois .
La droite horizontale coupe la courbe une seule fois .
La droite horizontale ne coupe pas la courbe .
Donc :
6) Montrons que la fonction est une primitive de la fonction sur
7) L'aire de la partie des points du plan tels que est en unité d'aire : .
Et puisque
Calculons cette intégrale :
Conclusion :
Publié par malou/Panter
le
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