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Domaine de convergence.

Posté par
matheux14 25-04-24 à 12:35

Bonjour,

Merci d'avance.

Pour x \in \R et a > 0 on pose : f_a(x) = \sum\limits^{\infty}_{n = 1} \dfrac{x^n}{n^a}

1) Déterminer en fonction de a le domaine de définition D_a de la fonction f_a.

2) Montrer que pour tout a > 0, fa est de classe C^{\infty} sur ]-1 ; 1[.

3) Déterminer l'ensemble E_1 des valeurs de a telles que f_a est continue à gauche en 1.

4) Montrer que si a \notin E_1 on a \lim\limits_{x \longrightarrow 1^-} f(x) = + \infty.

5) Déterminer  l'ensemble E_{-1} des valeurs de a telles que f_a est continue à droite en -1.

6) Déterminer l'ensemble E'_{-1} des valeurs de a telles que f_a est dérivable à droite en -1.

7) On admet que f_2(1) = \dfrac{\pi^2}{2}. Calculer f_2(-1) et f'_2(-1).

Réponses :

1) Pour p = 2n > q = n, on montre que |S_p - S_q|\ge x, \forall x \in [0 ; 1], \forall a > 0. (La suite S_k = \sum^N_{k = 1} \dfrac{x^k}{k^a} n'est pas de Cauchy).

D_a = \{x \in ]-\infty ; 0[ \cup ]1 ; + \infty[ \} \cap \{a \in \R^+_*\}

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 25-04-24 à 14:34

salut

ta réponse ne veut rien dire ...

quelques éléments :

a/ on peut remarquer que f_1(1) est la série harmonique

b/ la fonction exponentielle n \mapsto n^a = e^{a \ln n} l'emporte sur la fonction puissance x \mapsto x^n

c/ la réponse 2/ te dit que D_a \supset ]-1, 1[

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 25-04-24 à 20:07

Pour la question 1) je veux dire que la serie converge si |x| < 1, c'est-à-dire D_a = ]-1 ; 1[, or la suite S_k = \sum^N_{k = 1} \dfrac{x^k}{k^a} n'est pas de Cauchy sur cet intervalle..

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 25-04-24 à 20:54

on a évidemment |f(x)| \le \sum_1 |x|^k qui converge sur ]-1, 1[ et même [-1, 1[

et vu la question si a > 1 alors il y a convergence sur [-1, 1]

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 25-04-24 à 20:54

et vu la question 3/

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 27-04-24 à 12:51

J'ai pas compris, |f(x)| est majoré par \dfrac{|x|(|x|^n + 1)}{|x| - 1}, pourquoi

Citation :
...et même [-1, 1[
?

Citation :
et vu la question si a > 1 alors il y a convergence sur [-1, 1]


Chaud

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 27-04-24 à 12:53

Citation :
J'ai pas compris, |f(x)| est majoré par \dfrac{|x|(|x|^n {\red{-}} 1)}{|x| - 1}

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 27-04-24 à 13:57

si n > 0 et a > 0 alors n^a \ge 1 donc \left | \dfrac {x^n}{n^a} \right | \le |x^n|

PS : pas nécessaire à priori de calculer la somme mais simplement de savoir qu'elle converge ...

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 27-04-24 à 22:46

J'ai calculé la somme pour mieux comprendre pourquoi \sum_1 |x|^k converge sur  [-1, 1[ et pourquoi à partir de a = 2, on peut prendre [-1 ; 1] comme domaine de convergence de f_a.

Mais je ne vois toujours pas vraiment...

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 07-05-24 à 15:54

Posté par
Ulmierere : Domaine de convergence. 07-05-24 à 20:50

Oublie les autres questions pour l'instant et concentre-toi sur la première.

a) Montre que la série converge sur ]-1, 1[ , en calculant par exemple le rayon de convergence (formule d'Hadamard) si tu connais les séries entières, ou en utilisant une majoration bien sentie

b) Reste alors à voir si la convergence a lieu au bord du domaine. Est-ce que ça converge en -1 ? carpediem t'as dit que oui, grâce au théorème des séries alternées, à toi de vérifier

c) Et en 1 ? Là il s'agit de savoir à quelle condition la série de terme général 1/n^a converge

Posté par
matheux14re : Domaine de convergence. 11-05-24 à 20:12

Salut Ulmiere, c'est plus clair ainsi :

D'après la formule d'Hadamard : R = \dfrac{1}{\underset{n \longrightarrow \infty}{\lim} \sup \left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}\right)}

Et \underset{n \longrightarrow \infty}{\lim}\sup \left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}\right) = \underset{n \longrightarrow \infty}{\lim}\sup \left(n^{-\frac{a}{n}}\right) = 1 \quad \left(\lim\limits_{n \longrightarrow \infty} \left(-\dfrac{a}{n} \ln(n)\right) = 0\right) d'où R = 1.

La série converge absolument pour |x| < R = 1 donc sur ]-1 ; 1[.

\bullet La série converge t-elle en -1 ?

Soit la série : \sum\limits^{\infty}_{n = 1} \dfrac{(-1)^{n + 1}}{n^a}

Les termes de la série décroissent en valeur absolue vers zéro, et ils sont alternés en signe. Par conséquent, la série converge en -1.

\bullet La série converge t-elle en 1 ?

Soit la série (appellée série de Riemann) : \sum\limits^{\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{n^a}

Si a > 1, alors la série converge sinon elle diverge.

En fait si a = 1, on a la série harmonique : H_n = \sum\limits^{\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n} + \dots dont les les sommes partielles tendent vers +\infty car \forall n, H_{2n} - H_n \ge \dfrac{1}{2}, donc H_n n'est pas de Cauchy.

Et si a > 1, on peut le montrer par comparaison série-intégrale \begin{aligned} \int^{+\infty}_1 \dfrac{d x}{x^a} \end{aligned} (mais aucune idée de comment  éclaircir ce point)

Donc :

D_a = [-1 ; 1] si a > 1

Je reviendrai sur les autres questions après.

Merci et bon weekend à vous !

Posté par
carpediemre : Domaine de convergence. 11-05-24 à 20:53

c'est bien mais nul besoin de la formule de Hadamard pour prouver la convergence sur ]-1, 1[

Posté par
Ulmierere : Domaine de convergence. 11-05-24 à 21:21

Les cas où a < 1, découlent de la divergence quand a = 1, parce que 1/n^b > 1/n^a si b < a.

La convergence des séries de Riemann c'est normalement du cours, mais tu peux le démontrer vite fait en quelques lignes.

\dfrac{1}{(k+1)^a} \leqslant \int_k^{k+1} x^{-a}dx \leqslant \dfrac{1}{k^a}, en majorant et minorant simplement x dans l'intégrale.
Tu peux rajouter que \int_{k+1}^{k+2} x^{-a}dx minore tout cela en appliquant en k+1 à la place de k. Tu sommes ensuite entre k=1 et k=N-1

\int_2^{N+1} x^{-a}dx \leqslant \sum_{k=2}^N \frac{1}{k^a} \leqslant \int_1^N x^{-a}dx \leqslant \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k^a} . Et alors la somme et l'intégrale sont de même nature. L'intégrale, tu sais la calculer...


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