Équation du second degré

Équation du second degré : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, une équation du second degré (également appelée équation quadratique ou encore équation polynomiale de degré deux) est une équation de la forme

a x 2 + b x + c = 0

où $a$ , $b$ et $c$ sont des coefficients réels ou complexes avec $a$ non nul. L'inconnue $x$ peut être réelle ou complexe.

Exemples de tracés d'équations du second degré

a x 2 + b x + c

à coefficients réels

Sommaire

[modifier] Historique

Les équations du second degré se posaient chez les Babyloniens (on cherchait alors une solution positive à l'aide d'un algorithme : voyez les explications à propos de la tablette Plimpton 322), chez les Égyptiens, voire chez les Grecs (Livre II des Éléments d'Euclide), mais aucune civilisation de cette époque n'a explicitement étudié les équations.

Les équations du second degré ont été les premières équations résolues, l'équation mathématique est inventée en même temps que l'algèbre par le savant iranien musulman Al-Khwarizmi au IX^e siècle, qui reprit cette tradition, augmentée des connaissances grecques pour la démonstration, afin de trouver une solution (réelle et positive). Les équations étaient présentées sous l'une des formes suivantes parce qu'un nombre était supposé positif :

a x 2 = b x + c

$a x 2 + b x = c$

a x 2 + c = b x

Jusqu'à la Renaissance, l'algèbre n'utilisait ni symboles ni lettres, et était purement verbale.

[modifier] Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels

Les équations incomplètes $a x 2 + b = 0$ et $a x 2 + b x = 0$ se résolvent par des méthodes particulières simples.

Une équation de la forme $a x 2 + b x + c = 0$ , dont tous les coefficients sont non nuls, est dite « équation complète ».

Pour faciliter l'écriture, on pose alors la fonction définie par $f (x) = a x 2 + b x + c$ , puis on procède à sa réduction pour résoudre finalement l'équation $f (x) = 0$ . Ici, on se propose de factoriser à l'aide du discriminant Δ.

[modifier] Forme canonique et discriminant Δ

Incidence du signe du discriminant.
■ Δ < 0 :

x 2 + 1 ⁄ 2

■ Δ = 0 :

- 4 ⁄ 3 x 2 + 4 ⁄ 3 x - 1 ⁄ 3

■ Δ > 0 :

3 ⁄ 2 x 2 + 1 ⁄ 2 x - 4 ⁄ 3

On se propose d'utiliser pour cela les identités remarquables :

$\begin{align}f(x) &= a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \\ &= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \\ &= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] \\ &= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right)\right] \end{align}$

On appelle cette forme d'écriture la forme canonique du trinôme.

Soit $Δ = b 2 - 4 a c$ . $Δ$ (delta) est appelé le discriminant de ce trinôme.

[modifier] Si Δ > 0

Si $Δ > 0$ , on peut factoriser $f (x)$ à l'aide d'une identité remarquable :

$\begin{align} f(x) &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]\\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\ &=a \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\ &= a\left(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \end{align}$

alors l'équation $f (x) = 0$ a deux solutions réelles distinctes $x 1$ et $x 2$ :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

La forme factorisée de $f (x)$ est finalement :

f (x) = a (x - x 1)(x - x 2)

[modifier] Si Δ = 0

Si $Δ = 0$ , on peut écrire, par la même méthode, que $f (x) = 0$ équivaut à dire que :

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$

L'équation a alors une racine réelle double $x 0$ :

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

On peut alors factoriser la fonction $f$ ainsi :

$f(x) = a(x-x_0)^2~$

Or, cette écriture est une identité remarquable ; ainsi, toute identité remarquable de la forme $(a - b) 2$ a pour discriminant 0, et sa racine double peut être aisément trouvée, sans même calculer le discriminant.

[modifier] Si Δ < 0

On rappelle que la forme canonique du trinôme est :

$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$ ,

donc résoudre $f (x) = 0$ revient à résoudre :

$\left (x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta }{4a^2}= 0$

[modifier] Résolution dans l'ensemble des réels

Soit $α$ un réel, tel que :

$\alpha = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ .

On sait qu'un carré est toujours positif ou nul, donc $\alpha \ge 0$ . Mais $Δ < 0$ implique $- Δ > 0$ , or la somme de deux nombres positifs dont l'un est strictement positif n'est jamais égale à zéro. Donc, si $Δ < 0$ , il n'existe aucune racine réelle au trinôme.

[modifier] Résolution dans l'ensemble des complexes

Cependant, il existe deux racines complexes $z 1$ et $z 2$ . Sachant que $Δ = b 2 - 4 a c$ et que $Δ = - Δ. i 2$ , posons $\delta = \sqrt{-\Delta} = \sqrt{4ac - b^2}$ . Ainsi, $Δ = δ 2 . i 2$ .

En reprenant la factorisation déjà utilisée dans le cas où $Δ > 0$ , on trouve :

$z_1 = \frac{-b - i\delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\delta}{2a}$ .

La fonction se factorise alors :

$az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)~$

Remarquons que dans tous les cas, un polynôme du second degré possède deux racines : soit deux racines réelles distinctes, soit deux racines réelles confondues (c'est-à-dire une racine double), soit deux racines complexes (conséquence du théorème de d'Alembert-Gauss).

[modifier] Exemples

$7 x + 15 - 2 x 2 = 0$ a un discriminant $Δ = 169$ strictement positif donc admet deux solutions réelles : $x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\cdot(-2)}=\frac{-7-13}{-4} =\frac{20}{4}= 5$ et $x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\cdot(-2)} = \frac{-7+13}{-4}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$ .
$x 2 - 2 x + 1 = 0$ a un discriminant $Δ$ nul donc a pour solution double $x_0=-\tfrac{-2}{2}=1$
$x 2 + 3 x + 3 = 0$ n'a pas de solution dans l'ensemble des réels car $Δ = - 3 < 0$ . Cependant, dans l'ensemble des complexes, elle admet deux solutions $x 1$ et $x 2$ telles que $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2}$ et $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}$

[modifier] En utilisant les racines évidentes

Les racines d'un polynôme du second degré ont plusieurs propriétés intéressantes – appelées relations de Viète – et qui peuvent simplifier leur recherche. Soit $S$ la somme des racines, on a

$S = x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Soit $P$ le produit des racines, on a

$\begin{align} P = x_1x_2 &= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} \\ & = \frac{-(\sqrt{\Delta} - b)(\sqrt{\Delta} + b)}{4a^2} = \frac{-(\Delta - b^2)}{4a^2} = \frac{-(b^2 - 4ac - b^2)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \end{align}$

Pour la fonction quadratique

f (x) = x 2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)

de la variable réelle

x

, on obtient facilement la coordonnée

x

des points où le graphe touche l'axe des

x

. Dès lors,

x = - 1

x = 2

sont les racines de l'équation du second degré :

x 2 - x - 2 = 0

Il est donc très facile de calculer ces deux valeurs. Et dès que l'on a trouvé une des deux racines d'un polynôme (en faisant un peu de calcul mental et en essayant des valeurs simples à calculer comme 0, 1, 2, -1...), la seconde racine devient évidente: $x_2 = S - x_1 = -\tfrac{b}{a} - x_1$ ou encore $x_2 = \tfrac{P}{x_1} = \tfrac{c}{ax_1}$ . Ainsi, avec le trinôme $x 2 + 3 x - 4$ , on trouve comme première racine $x 1 = 1$ et comme $\tfrac{c}{a} = -4$ , on n'a même plus besoin de calculer pour trouver la deuxième racine $x 2 = - 4$ . Finalement, l'utilisation de racines évidentes et des propriétés des racines d'un polynôme permet d'accélérer grandement la recherche de ces racines.

Remarque :

Si $c$ est nul, 0 est racine évidente du polynôme.
Si $a + b + c = 0$ , 1 est racine évidente du polynôme.
Si $a - b + c = 0$ , -1 est racine évidente du polynôme.
Si $4 a + 2 b + c = 0$ , 2 est racine évidente du polynôme.
Si $4 a - 2 b + c = 0$ , -2 est racine évidente du polynôme

[modifier] Gain de précision dans la résolution numérique

Lorsque $Δ > 0$ , si $b$ est positif, l'expression de $x 1$ conduit à calculer la différence des deux nombres $\sqrt{\Delta}$ et $b$ . Si ce calcul est fait numériquement, par une méthode de virgule flottante sur un ordinateur par exemple, cela entraîne une perte de précision, d'autant plus grave que $\sqrt{\Delta}$ est très proche de $b$ , ou que $4 a c$ est petit par rapport à $b 2$ .

Utilisant les propriétés des racines, on calcule $x 1$ sans perte de précision :

$x_1 = \frac c {a x_2}$

Si $b$ est négatif, on calcule $x 2$ tel que :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ $x_2 = \frac c {a x_1}$

[modifier] Discriminant réduit

Si $b$ est pair, on peut utiliser le discriminant réduit.

On pose $b' = \tfrac{b}{2}$

Discriminant réduit : $Δ' = b' 2 - a c$

Si $Δ' > 0$ , les solutions sont $x 1$ et $x 2$ :

$x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$ $x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$

Si $Δ' = 0$ , il y a une racine double $x_0 = \tfrac{-b'}{a}$

[modifier] Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes

On écrit

On distingue deux cas selon que le discriminant $Δ = b 2 - 4 a c$ est nul ou pas.

Si $\Delta\neq 0$ alors on peut poser $δ 2 = Δ$ et on obtient alors la factorisation :

$f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}-\frac{\delta}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a}+\frac{\delta}{2a}\right)\right]$

On en déduit que l'équation admet deux solutions:

$\frac{-b+\delta}{2a}$

$\frac{-b-\delta}{2a}$

Si $Δ = 0$ alors

$f(x) = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$

L'équation admet une unique solution

$\frac{-b}{2a}$

Remarque : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.