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Algèbre géométrique (structure)



Algèbre géométrique (structure) : encyclopédie mathématiques

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L'algèbre gĂ©omĂ©trique est une algèbre multilinĂ©aire avec une interprĂ©tation gĂ©omĂ©trique mise au point par David Hestenes (en), reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisĂ© dans un sens plus gĂ©nĂ©ral pour dĂ©crire l'Ă©tude et l'application de ces algèbres : l'algèbre gĂ©omĂ©trique est l'Ă©tude des algèbres gĂ©omĂ©triques). Le but avouĂ© de l'auteur de cette algèbre est de fonder un langage propre Ă  unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes diffĂ©rents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombre complexe, spineurs, quaternions, formes diffĂ©rentielles…). Le nom choisi par David Henestes (Geometric Algebra) correspond au nom que Clifford voulait donner Ă  son algèbre, mais qui fut nommĂ© algèbre de Clifford.

L'algèbre géométrique se veut utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Ses partisans disent qu'elle fournit une description plus compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

Le produit géométrique[modifier | modifier le code]

Soit un espace vectoriel. Le produit gĂ©omĂ©trique est dĂ©fini, pour trois vecteurs \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, Ă  partir des règles suivantes :

  1. \mathbf{a}(\mathbf{b} \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\mathbf{b}) \mathbf{c}\, (associativité)
  2. \mathbf{a}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{a}\mathbf{c}\, (distributivité à droite)
  3. (\mathbf{a} + \mathbf{b})\mathbf{c} = \mathbf{a}\mathbf{c} + \mathbf{b}\mathbf{c}\, (distributivité à gauche)
  4. \mathbf{a}^2 = |\mathbf{a}|^2\, (contraction)

où |\mathbf{a}|\, est un nombre scalaire positif appelé magnitude (norme) de \mathbf{a}\, et où |\mathbf{a}|=0\, implique \mathbf{a}=0

Il faut noter l'absence de règle de commutativité. D'où la nécessité de postuler séparément les distributivités droite et gauche.

Décomposition canonique du produit géométrique[modifier | modifier le code]

À partir du produit géométrique, deux nouveau produits sont définis.

  • Le produit intĂ©rieur, symĂ©trique :

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{a}\right) = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}

  • Le produit extĂ©rieur, antisymĂ©trique :

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}-\mathbf{b}\mathbf{a}\right) =-\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}

  • On obtient ainsi la dĂ©composition canonique du produit gĂ©omĂ©trique:

\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

À partir de la règle de contraction (4), il peut être prouvé que le produit intérieur \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} donne un résultat scalaire, et qu'il peut donc être identifié au produit scalaire Euclidien. Le produit extérieur \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}, lui, est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée.

Bivecteur du produit intérieur.png

La légitimité d'ajouter des scalaires à des vecteurs ou des bivecteurs sera discutée plus loin.

Autres relations[modifier | modifier le code]

Si  \mathbf a \, \mathbf b sont perpendiculaires, on aura :

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0, d'oĂą

\mathbf{a}\mathbf{b}=- \mathbf{b}\mathbf{a}

Si  \mathbf a \, \mathbf b sont colinĂ©aire, on aura :

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=0, d'oĂą

\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{b}\mathbf{a}.

Bases et bivecteurs[modifier | modifier le code]

Pour un ensemble de vecteurs orthonormés  {\mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2},...}, les propriétés de multiplications peuvent être résumées sous cette forme.

\mathbf{\sigma_i} \cdot \mathbf{\sigma_j} = \frac{1}{2}\left(\mathbf{\sigma_i}\mathbf{\sigma_j} + \mathbf{\sigma_j} \mathbf{\sigma_i}\right)=\delta_{ij}

avec \delta_{ij}, symbole de Kronecker. Cette relation s'applique Ă  tout vecteur d'espace Euclidien, quelle que soit sa dimension, mais pour le moment nous nous concentrerons au cas Ă  deux dimensions.

Un bivecteur unitĂ© \mathbf{i}\, pour le plan contenant \mathbf{\sigma_1}\, et \mathbf{\sigma_2}\, est dĂ©terminĂ© par le produit :

\mathbf{i}=\mathbf{\sigma_1}\mathbf{\sigma_2}=\mathbf{\sigma_1} \wedge \mathbf{\sigma_2} = -\mathbf{\sigma_2}\mathbf{\sigma_1}

On a la propriété importante \mathbf{i^2}=-1\, .

\mathbf{i}\, est une version géométrique de \sqrt{-1}.

On aura Ă©galement les relations suivantes :

\mathbf{\sigma_2}=\mathbf{\sigma_1}\mathbf{i}=-\mathbf{i}\, \mathbf{\sigma_1}\,

et

\mathbf{\sigma_1}=\mathbf{i}\mathbf{\sigma_2}

C'est-Ă -dire que la multiplication \mathbf{i}\, tourne tout vecteur d'un quart de tour. Plus gĂ©nĂ©ralement, il s'ensuit que chacun des bivecteurs unitĂ© \mathbf{i}\, dĂ©termine un plan unique dans un espace euclidien. Chaque \mathbf{i}\, a deux interprĂ©tations complĂ©mentaires : soit une aire orientĂ©e, soit, en tant qu'opĂ©rateur, un angle droit orientĂ© dans ce plan.

Vecteurs et nombres complexes[modifier | modifier le code]

Interprétation du produit géométrique[modifier | modifier le code]

Le produit d'une paire de vecteurs unitaires \mathbf{a},\mathbf{b}\, gĂ©nère une nouvelle entitĂ© U\, dĂ©nommĂ© un ?tourneur? ?rotateur? (rotor en anglais), selon l'expression suivante :

U = \mathbf{a}\mathbf{b}

La direction relative des deux vecteurs est complètement caractérisée par l'arc orienté qui les relie, il est donc possible d'interpréter U comme une représentation de cet arc. Le nom tourneur est justifié par le fait que U transforme \mathbf{a}\, et \mathbf{b}\, l'un envers l'autre par rotation.

\mathbf{b}=\mathbf{a} U

\mathbf{a}=U \mathbf{b}

On peut noter Ă©galement que :

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = cos\theta

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \mathbf{i} sin\theta

Avec \theta\, , angle entre \mathbf{a}\, et \mathbf{b}

On pourra Ă©crire  :

U_{\theta} = cos \theta + \mathbf{i} sin\theta = e^{i\theta}

avec le bivecteur \mathbf{i}=\mathbf{\sigma_1}\mathbf{\sigma_2}

Le produit géométrique représente une rotation

Rotation geometrie Algebrique.png

Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.

Analogie entre tourneur et vecteurs.png

Une composition de rotation 2D s'exprimera par le produit de 2 vecteurs

U_{\theta}U_{\phi}=U_{\theta+\phi}

Composition de rotation.png

Nombres complexes[modifier | modifier le code]

Tout produit géométrique \mathbf{a}\mathbf{b} peut être interprété comme un nombre complexe

z =\lambda U = \lambda e^{\mathbf{i}\theta} = \mathbf{a}\mathbf{b}

de module  | z | = \lambda = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| .  z peut être interprété géométriquement comme un arc orienté d'un cercle de rayon  | z | . Conséquemment, la partie réelle de tout nombre complexe peut être vu comme le produit intérieur de deux vecteurs. De même, la partie imaginaire de tout nombre complexe peut être vu comme le produit extérieur de deux vecteurs. Le nombre complexe conjugué est

 z^{\dagger} = \lambda U^{\dagger} = \lambda e^{-\mathbf{i}\theta} = \mathbf{b}\mathbf{a}

qui revient à renverser l'ordre du produit géométrique. Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du nombre complexe z.

 |z|^2 = z z^{\dagger} = \lambda^2 = \mathbf{b}\mathbf{a}\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 = |a|^2|b|^2

Complexe et conjugué.png

Les nombres complexes peuvent ainsi ĂŞtre utilisĂ© directement sur les vecteurs :

\mathbf{b}=\mathbf{a}^{-1}z = z^{\dagger}\mathbf{a}^{-1}

avec l'inverse du vecteur \mathbf{a} donné par

\mathbf{a}^{-1} = \frac{1}{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{a}^2} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}

Ici, le nombre complexe z opère une rotation sur le vecteur \mathbf{a}, le met à l'échelle pour donner le vecteur \mathbf{b} (c'est une similitude).

Algèbre géométrique et physique classique[modifier | modifier le code]

Espace euclidien 3D et géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Soit l'espace vectoriel euclidien \mathcal{P}^3. Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique \mathcal{G}_3 = \mathcal{G}\left(\mathcal{P}^3\right). En particulier, une base pour l'algèbre géométrique peut être générée par l'ensemble des vecteur orthonormés \lbrace \mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2}, \mathbf{\sigma_3}\rbrace

Ă€ l'aide du produit gĂ©omĂ©trique, un trivecteur unique (un pseudoscalaire) peut ĂŞtre dĂ©fini :

i = \mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}

Éléments de l'algèbre géométrique.png

L'unité pseudoscalaire i représente un volume orienté.

On a Ă©galement la base de bivecteurs suivante

\mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2}=i\mathbf{\sigma_3},\, \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}=i\mathbf{\sigma_1},\, \mathbf{\sigma_3} \mathbf{\sigma_1}=i\mathbf{\sigma_2}

Base des bivecteurs de l'Algèbre géométrique.png

Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.

Le pseudoscalaire i a des propriĂ©tĂ©s spĂ©ciales qui facilitent le passage entre l'espace vectoriel Euclidien et l'algèbre gĂ©omĂ©trique. On a :

i^2=-1

Tout bivecteur \mathbf{B} de \mathcal{G}_3 est le dual d'un vecteur \mathbf{b} en considĂ©rant la relation :

\mathbf{B}=i\mathbf{b} = \mathbf{b}i

Ainsi l'opĂ©ration de dualitĂ© gĂ©omĂ©trique est simplement exprimĂ©e par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'Ă©crire le produit extĂ©rieur sous cette forme :

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = i \mathbf{a} \times \mathbf{b},

\mathbf{a} \times \mathbf{b} Ă©tant le "cross-product anglo-saxon", qui correspond au produit vectoriel dans la littĂ©rature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement notĂ© \wedge\, comme le produit extĂ©rieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement dĂ©fini comme le dual du produit extĂ©rieur. Par consĂ©quent, la dĂ©composition canonique du produit gĂ©omĂ©trique peut ĂŞtre mis sous la forme :

\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{a} \times \mathbf{b}

C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.

Les Ă©lĂ©ments dans tous les algèbres gĂ©omĂ©trique sont dĂ©nommĂ©s des multivecteurs. Les propriĂ©tĂ©s spĂ©ciales du pseudoscalaire i permettent d'Ă©crire tout multivecteur M de \mathcal{G}_3 dans sa forme Ă©tendue :

M = \alpha + \mathbf{a}+ i \mathbf{b}+i\beta,

où \alpha et \beta sont des scalaires et où \mathbf{a} et \mathbf{b} sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans \mathcal{G}_3 à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.

L'algèbre géométrique \mathcal{G}_3 est un espace linéaire de dimension 1+3+3+1=2^3=8

La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un "scalaire complexe" \alpha + i\beta augmenté d'un "vecteur complexe" \mathbf{a}+ i \mathbf{b}, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

Correspondances[modifier | modifier le code]

Avec les quaternions[modifier | modifier le code]
Algèbre géométrique Quaternions Interprétation
1 1 scalaire
\sigma_2\sigma_3 -i plan orienté yz
\sigma_3\sigma_1 -j plan orienté zx
\sigma_1\sigma_2 -k plan orienté xy
Avec les biquaternions[modifier | modifier le code]
Algèbre géométrique Biquaternions Interprétation
1 1 scalaire
\sigma_1 i i ligne orientée (vecteur selon l'axe x)
\sigma_2 i j ligne orientée (vecteur selon l'axe y)
\sigma_3 i k ligne orientée (vecteur selon l'axe z)
\sigma_1\sigma_2 -k plan orienté xy (bivecteur)
\sigma_2\sigma_3 -i plan orienté yz (bivecteur)
\sigma_3\sigma_1 -j plan orienté zx (bivecteur)
\sigma_1\sigma_2\sigma_3 i volume orienté xyz (trivecteur)
Avec l'algèbre des matrices[modifier | modifier le code]

L'algèbre gĂ©omĂ©trique \mathcal{G}_3 est analogue Ă  l'algèbre construite sur des matrice 2x2 Ă  coefficients complexes. Cette algèbre se retrouve en MĂ©canique Quantique, introduite par Pauli, pour modĂ©liser le spin des particules. Les matrices de base de cette algèbre sont l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 Ă— 2 suivantes :

  • Pour les vecteurs :
\sigma_1 = \sigma_x =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}
\sigma_2 = \sigma_y =\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3 = \sigma_z =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}
  • Pour les bivecteurs :
\sigma_1\sigma_2 = \sigma_{xy} =\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \end{pmatrix}
\sigma_2\sigma_3 = \sigma_{yz} =\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3\sigma_1 = \sigma_{zx} =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \end{pmatrix}
  • Pour les trivecteurs :

\sigma_1\sigma_2\sigma_3=\sigma_{xyz}=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & i \end{pmatrix}

  • Pour les scalaires :

\sigma_0=1=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}

Tout élément de \mathcal{G}_3 peut s'écrire comme une combinaison linéaire ces 8 éléments.

Discussion[modifier | modifier le code]

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique est défini en termes de produit vectoriel et produit scalaire de vecteurs comme

 \mathbf a \, \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b

L'espace vectoriel original \mathcal V est construit sur les nombres réels comme scalaires. Dorénavant, un vecteur est quelque chose dans \mathcal V lui-même. Les vecteurs seront représentés par des symboles en minuscules grasses.

La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.

Les objets géométriques comme  \mathbf a \wedge \mathbf b sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur  \mathbf a ou  \mathbf b est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté  B=\mathbf a \wedge \mathbf b est déterminé sans ambiguïté.

Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considĂ©rer un vecteur diffĂ©rent de zĂ©ro  \mathbf v , Ă  partir d'un point choisi comme origine, dans l'espace euclidien usuel, \mathbb{R}^3. L'ensemble de tous les vecteurs  \mathbf x \wedge \mathbf v = B ,  B dĂ©signant un bivecteur donnĂ© contenant  \mathbf v , dĂ©termine une ligne  l parallèle Ă   \mathbf v . Puisque  B est une aire orientĂ©e,  l est uniquement dĂ©terminĂ© en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les vecteurs  \mathbf x \cdot \mathbf v = s ,  s dĂ©signant un scalaire (rĂ©el) donnĂ©, dĂ©termine un plan P orthogonal Ă   \mathbf v . De nouveau, P est uniquement dĂ©terminĂ© en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information,  B et  s , peuvent ĂŞtre Ă©tablis indĂ©pendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le vecteur  \mathbf y qui satisfait le système { \mathbf y \wedge \mathbf v = B ,  \mathbf  y \cdot \mathbf v = s } ? GĂ©omĂ©triquement, la rĂ©ponse est claire : c'est le vecteur qui part de l'origine et aboutit Ă  l'intersection de  l et P. Par l'algèbre gĂ©omĂ©trique, mĂŞme la rĂ©ponse algĂ©brique est simple :  \mathbf y \mathbf  v = s + B  \Rightarrow  \mathbf y = (s + B)/ \mathbf v = (s + B) \mathbf v -1, oĂą l'inverse d'un vecteur diffĂ©rent de zĂ©ro est exprimĂ© par  \mathbf z -1  = \mathbf z /(\mathbf z \cdot \mathbf z ) .

Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur  s + B en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dĂ©pend pas de l'origine choisie.

Tel qu'il est dĂ©fini, le produit externe (ou produit extĂ©rieur, ou produit vectoriel) \wedge engendre l'algèbre graduĂ©e (algèbre extĂ©rieure de Hermann Grassmann) \wedge^n\mathcal{V}_n des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'Ă©lĂ©ments de degrĂ© k (k-vecteurs), oĂą k va de 0 (scalaires) Ă  n, la dimension de l'espace vectoriel original \mathcal V. Les multivecteurs sont reprĂ©sentĂ©s ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs ("0-vecteurs" et "1-vecteurs", respectivement).

La règle de contraction[modifier | modifier le code]

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez \langle x, x \rangle \ge 0).

La règle de contraction peut ĂŞtre mise sous la forme :

Q(\mathbf a) = \mathbf a^2 = \epsilon_a {\Vert \mathbf a \Vert}^2

où \Vert \mathbf a \Vert est le module du vecteur a et \epsilon_a=0, \, \pm1 est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via  \mathbb{R}_{1,3}\,. Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés "vecteurs de lumière", les vecteurs à signature négative sont appelés "vecteurs d'espace" et les vecteurs à signature positive sont appelés "vecteurs de temps" (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise \mathbb{R}_{3,1} à la place).

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur \mathbb{R}^3\,) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique \mathcal{G}_3\, comme le produit interne

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a})

(qui est symétrique) et le produit externe

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a})

avec

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -i(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})

(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de degré deux). Le i ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue i^2 = -1\,.

Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.

Soient \mathbf{a},\, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} un vecteur et un multivecteur homogène de degrĂ© k. Leur produit interne est alors :  \mathbf a \cdot \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} + (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k+1} \mathbf A_{\langle k \rangle} \cdot \mathbf{a} et leur produit externe est

 \mathbf a \wedge \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} - (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k} \mathbf A_{\langle k \rangle} \wedge \mathbf{a}

Applications de l'algèbre géométrique[modifier | modifier le code]

Un exemple utile est \mathbb{R}_{3, 1}, et la façon dont il engendre \mathcal{G}_{3, 1}, un exemple d'algèbre géométrique appelé algèbre de l'espace-temps par Hestenes. Le champ tensoriel électromagnétique, dans ce contexte, devient juste un bivecteur \mathbf{E} + i\mathbf{B} où l'unité imaginaire est l'élément de volume, donnant un exemple de réinterprétation géométrique de "tours" traditionnels.

Les accélérations dans cet espace métrique lorentzien ont la même expression e^{\mathbf{\beta}} que la rotation dans l'espace euclidien, où \mathbf{\beta} est bien sûr le bivecteur engendré par le temps et les directions d'espace impliquées, considérant dans le cas euclidien que c'est le bivecteur engendré par les deux directions d'espace, renforçant l'"analogie" de la quasi-identité.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'algèbre gĂ©omĂ©trique de David Hestenes (en) et al. (1984) rĂ©interprète les algèbres de Clifford sur les rĂ©els et son objectif est de revenir au nom et Ă  l'interprĂ©tation que Clifford avait originellement prĂ©vus. L'ouvrage d'Emil Artin Geometric Algebra discute des algèbres associĂ©es avec chacune des nombreuses gĂ©omĂ©tries, dont la gĂ©omĂ©trie affine, la gĂ©omĂ©trie projective, la gĂ©omĂ©trie symplectique et la gĂ©omĂ©trie euclidienne.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Geometric algebra Â» (voir la liste des auteurs).
  • (en) W. E. Baylis, ed., Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering, 1996, Boston, Birkhäuser
  • (en) W. E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach, 2002, 2e Ă©d., Birkhäuser (ISBN 0-8176-4025-8)
  • N. Bourbaki, ÉlĂ©ments de mathĂ©matique – Algèbre, 1980, Paris, Hermann, chap. 9 : Algèbres de Clifford
  • G. Casanova, Algèbre vectorielle, 1976, PUF (ISBN 978-2130343059)
  • (en) Chris Doran et Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, 2003, Cambridge University Press
  • (en) David Hestenes et G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus, 1987, Springer
  • (en) D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, 1999, 2e Ă©d., Springer
  • (en) David Hestenes, Reforming the Mathematical Language of Physics, Oersted Medal Lecture 2002
  • (en) J. Lasenby, A. N. Lasenby et C. J. L. Doran, « A Unified Mathematical Language for Physics and Engineering in the 21st Century Â», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A, vol. 358, 2000, p. 1-18

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Algèbre de l'espace physique (en)

Liens externes[modifier | modifier le code]

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