Carré (géométrie)

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Un carré ABCD

Un carré est un polygone régulier à quatre côtés, tous de même longueur. C'est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle car il a quatre angles droits, et un losange car ses quatre côtés ont la même longueur.

L'expression « carré d'un nombre Â» désigne également l'élévation de ce nombre à la puissance 2, sans doute en référence à la manière de calculer l'aire à partir du côté. L'expression « a² Â» peut se lire « a au carré Â» et « a carré Â».

[modifier] Notions de bases

Un carré est un à la fois un losange et un rectangle et il a donc les propriétés de ces deux quadrilatères :

• quatre angles droits ;
• tous les côtés ont la même longueur ;
• les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux.

On peut définir entièrement un carré par la longueur c de ses côtés.

L'aire d'un carré est c×c = c² ; son périmètre mesure 4c et chaque diagonale mesure c√2. Ses diagonales ont la même longueur, se coupent en leurs milieux en angle droit et séparent le carré en quatre triangles rectangles isocèles semblables. La somme des carrés de ses diagonales est égales à la somme des carrés des 4 côtés.

[modifier] Symétries

Le carré est invariant par les rotations de centre O et d'angles Ï€/4, Ï€/2 ou 3Ï€/4 ; la rotation d'angle Ï€/2 équivaut à une symétrie centrale : le carré a donc O pour centre de symétrie. Il est invariant par symétrie axiale selon les bissectrices des côtés et selon les diagonales.

Toute droite passant par O divise le carré en deux parties superposables.

[modifier] Construction au compas seul

On souhaite construire le carré de sommets ABCD connaissant seulement les points A et B. Posons R la distance entre Aet B ; alors, on procède comme suit :

• On trace C₁le cercle de centre A et de rayon R (qui contient alors B)

on a un troisième point du carré sur cette courbe.

• On trace C₂ le cercle de centre Bet de rayon R (qui contient alors A)

le quatrième point du carré se trouve sur cette courbe.

• Posons G un point d'intersection de C₁ avec C₂ ; on construit alors C₃ centré en G et de rayon R. Ce cercle intersecte C₁ en B et en un autre point H.
• C₄, de centre H et de rayon R, intersecte C₁ en G et en un nouveau point I.
• Posons S la distance entre G et I ; on construit alors C₅ de centre I et de rayon S (il contient forcément G).
• C₆ s'obtient en prenant pour centre B et pour rayon S (il contient forcément H). On note J le point d'intersection entre C₆ et C₅ qui est du même côté que G par rapport à la droite AB.
• Si T est la distance entre A et J, on construit C₇ le cercle de centre A et de rayon T (il contient forcément J).

Le point C est obtenu par intersection entre C₇ et C₂.

• On construit alors C₈ de centre C et de rayon R.

L'intersection de C₈ et C₁ est le point D.

[modifier] Voir aussi

• Cube
• Hypercube
• Racine carrée de deux

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