Champ électrique

Champ électrique : encyclopédie mathématique

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Représentation du champ électrique en quelques points de l'espace dû à une charge élémentaire postive

Champ électrique associé à son propagateur qu'est le photon.

Michael Faraday est celui qui introduit la notion de champ électrique.

En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules électriquement chargées. Un tel champ permet de déterminer en tout point de l'espace la force électrique exercée à distance par ces charges. Dans le cas de charges fixes dans le référentiel d'étude le champ électrique est appelé champ électrostatique^[1]. Lorsque les charges sont en mouvement dans ce référentiel il faut y ajouter un champ électrique induit dû aux déplacements des charges pour obtenir le champ électrique complet^[1].

La portée du champ électrique est théoriquement infinie, ses valeurs en tout point dépendant de la distribution de charges ou de la nature des matériaux remplissant l'espace. Noté généralement par $\vec{E}\,$ , sa propagation est régie par les équations de Maxwell. Historiquement il fut introduit au milieu du XIX^e siècle par Michael Faraday pour expliquer dans ses expériences certaines actions à distance, cette interaction est aujourd'hui reconnue comme portée par le photon.

Associé au champ magnétique, il forme le champ électromagnétique qui est à la base d'une des quatre interactions fondamentales de l'univers : l'interaction électromagnétique.

[modifier] Introduction

Illustration des vecteurs de champ électrique (en bleu) entre une charge positive (en rouge) et une charge négative (en vert)

Diagrammes de lignes de champs entre deux charges de mêmes signe (gauche) et deux charges de signe opposé (droite). La force qui en résulte est répulsive pour le premier et attractive pour le deuxième.

Le champ électrique est la force qui résulterait de l'action à distance de particules électriquement chargées sur une particule test de charge unité au repos dans le référentiel d'étude. C'est donc la force subie par la particule au repos divisée par la charge de cette particule. Il s'agit d'un champ vectoriel qui à tout point de l'espace associe une direction, un sens, et une grandeur (amplitude). La norme de ce vecteur s'exprime en volt par mètre (V/m) ou en newton par coulomb (N/C) dans le système international d'unités.

[modifier] Champ électrostatique

Lorsque que les charges qui créent le champ sont au repos dans le référentiel d'étude on parle de champ électrostatique. Ce champ est alors directement déduit de l'expression de la loi de Coulomb (ou interaction électrostatique).

[modifier] Expression du champ électrostatique créé par charge ponctuelle Q

L'expression du champ électrique est directement issue de l'expression de la force électrostatique donnée par la loi de Coulomb, et dépend du point de l'espace où l'on se place. Dans le cas où l'on ne considère qu'une seule particule chargée Q comme source du champ, celui-ci est orienté des sources vers le point considéré et a pour valeur $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon}\frac{Q}{r^2}$ où $Q$ désigne la charge électrique, $\epsilon\,$ la permittivité du milieu et $r\,$ la distance entre la source et le point considéré.

[modifier] Mesure effective

Pour mesurer l'influence des sources, on peut utiliser une autre particule, elle aussi chargée électriquement avec une charge $q\,$ (l'unité SI de charge électrique est le Coulomb, noté C), qui sert de particule test. Alors si on appelle $\vec{E}\,$ le champ électrique créé par les sources à l'endroit où se trouve la charge test (on va donner plus bas les détails sur la façon de déterminer $\vec{E}$ ) cette dernière subit une force électrique $\vec{F}_e$ donnée par

$\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$

[modifier] Relation avec le potentiel électrostatique

Le champ électrostatique est directement relié au potentiel électrique V par la formule :

$\vec{E} = - \vec{grad} V$

on dit que le champ dérive du potentiel par l'intermédiaire d'un gradient.

[modifier] Effets

Le champ électrique peut ainsi mettre en mouvement des particules chargées. À la différence du champ magnétique il est capable de les accélérer. Bien que négligeable à une grande échelle devant l'interaction gravitationnelle car la matière est globalement neutre électriquement (c'est le cas de la majorité des systèmes planétaires), le champ électrique a un effet prépondérant à des échelles microscopiques, et est utilisé pour l'étude de la matière dans les accélérateurs de particules.

Un champ électrique peut être créé relativement facilement entre deux plaques de condensateur, c’est-à-dire deux plaques dont la tension entre les deux est non nulle. Voir plus bas pour un calcul détaillé.

[modifier] Analogie avec le champ gravitationnel

Il existe une analogie forte entre le champ électrique et le champ gravitationnel : l'expression du champ et du potentiel ne diffèrent que d'une constante, et les principaux théorèmes de calcul (comme celui de superposition ou de Gauss) s'appliquent. La principale différence tient au fait que le champ électrique peut être attractif (entre deux charges de signe opposé) ou répulsif (entre deux charges de même signe) alors que le champ gravitationnel est purement attractif.

[modifier] Cas de particules en mouvement

Lorsque les particules chargées qui créent le champ sont en mouvement dans le référentiel d'étude il convient d'ajouter au champ électrostatique un champ électrique induit E_i dû au mouvement de ces charges. Ce champ électrique induit est directement relié au champ magnétique B créé par ces charges en mouvement par l'intermédiaire du potentiel vecteur A

$\vec{E}_i = - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ où $\vec{B} = \vec{rot} \vec{A}$

le champ électrique total est alors

$\vec{E} = - \vec{grad} V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

C'est ce champ qu'il faut prendre en compte dans le cas général pour exprimer la force de Lorentz.

[modifier] Approfondissements

[modifier] Particules créant un champ

Dans la vie courante^[2] ces sources du champ électrique sont la plupart du temps des électrons, chargés négativement, ou des protons, chargés positivement.

[modifier] Moment dipolaire

Lignes de champ électrique d'un dipôle

[modifier] Définition

On appelle généralement dipôle électrique un ensemble constitué de deux charges de même valeur, de signes opposées, et placées proches l'une de l'autre (du point de vue de l'observateur). Le moment dipolaire est alors le vecteur $\vec{p}=q\vec{NP}$ , où $q$ est la valeur de l'une des charge (positive) et $\vec{NP}$ le vecteur allant de la charge négative à la charge positive.

[modifier] Application aux noyaux atomiques

Lorsque la matière se présente sous forme d'atome la charge électrique des électrons compense celle des protons qui en constituent le noyau. Si on se place à une distance importante d'un atome par rapport à sa taille, on parle d'échelle macroscopique, ce dernier est donc assimilable à un corps neutre électriquement. Le champ électrique qu'il créé est donc relativement très faible. En astrophysique par exemple, le champ électrique créé par la matière ordinaire qui constitue les planètes est négligeable devant l'influence exercée par cette même matière par l'intermédiaire de la gravitation. Mais bien que les atomes et les molécules soient neutres vus de loin, les charges positives et négatives ne sont pas localisées au même endroit^[3]. Si on se place à une distance de l'ordre de la taille de l'atome ou de la molécule, c'est ce qu'on appelle l'échelle microscopique, on s'aperçoit que cette dissymétrie de disposition des charges engendre ce qu'on appelle un moment dipolaire électrique^[4]. Un tel dipôle électrique engendre lui aussi un champ électrique mais d'intensité beaucoup plus faible que celle d'une charge électrique. On appelle forces de van der Waals les forces exercées entre les atomes et molécules du fait des champs électriques créés par tous ces dipôles microscopiques.

[modifier] Champ et localité

La notion de champ électrique, bien que naturelle aujourd'hui, est en réalité assez subtile et est étroitement liée à la notion de localité en physique. Il est intéressant de s'attarder dessus un instant.

Si on considère une charge électrique source $q_s\,$ et une charge test $q_t\,$ placée en un point $P\,$ de l'espace alors la seule quantité effectivement mesurable expérimentalement est la force électrique $\vec{F}_{s\rightarrow t}\,$ de la première sur la seconde. Il est important de réaliser qu'a priori la force électrique est donc définie comme une action à distance d'une charge sur une autre. L'avancée conceptuelle de la notion de champ est la suivante: il est possible de remplacer cette action à distance de $q_s\,$ par l'existence en tout point de l'espace d'une nouvelle quantité, de nature mathématiquement vectorielle, appelée champ électrique et dont la valeur $\vec{E}(P)\,$ résume l'influence de $q_s\,$ en chaque point de l'espace. Pour déterminer l'évolution de la charge test $q_t\,$ il n'est donc plus besoin de se référer constamment à la charge source située au loin mais seulement de lire l'information contenue localement dans le champ électrique à l'emplacement de $q_t\,$ . La force est alors obtenue selon l'équation

$\vec{F}_{s\rightarrow t}=q_t\vec{E}(P) \,$

Ce principe de localité n'est absolument pas anodin. En particulier une conséquence non-triviale de celui-ci est que si on considère deux configurations de sources électriques et que par ailleurs on peut montrer qu'en un certain point de l'espace les champs électriques créés par ces deux distributions sont les même alors nécessairement l'effet de ces deux jeux de source en ce point sont absolument indistinguables.

Un exemple de situation où la notion de champ, ou de façon équivalente la localité de la théorie électromagnétique, prend toute son ampleur apparait lorsque se pose la question de déterminer les propriétés de transformation d'un champ électrostatique sous les transformations de Lorentz^[5]: considérons un boost de Lorentz donné par un vecteur vitesse $\vec{v}\,$ et la décomposition du champ électrique $\vec{E}(P_0)=\vec{E}_{\parallel}(P_0)+\vec{E}_{\perp}(P_0)\,$ . Ce champ est créé par une distribution arbitraire de sources. Par localité, en se limitant au point $P_0\,$ on peut remplacer la distribution de charges par un condensateur plan contenant $P_0\,$ et créant un champ électrique uniforme égal à $\vec{E}(P_0)\,$ en tout point $P\,$ intérieur à son enceinte(on note $\sigma\,$ la densité surfacique de charge associée).

Supposons d'abord que $\vec{v}\,$ se trouve dans le plan de cette distribution surfacique fictive (ce qui est le cas si le champ électrique est transverse au mouvement) on en déduit que dans le nouveau référentiel,

$\sigma'=\beta\sigma \,$

par contraction des longueurs, avec $\beta=(1-{v^2\over c^2})^{-1/2}$ , et donc^[6]

$\vec{E}'(P_0)=\beta\vec{E}(P_0) \,$

Si par contre le champ est longitudinal alors la distribution surfacique des charges fictives est transverse et donc inaffectée par le changement de référentiel et alors

$\vec{E}'(P_0)=\vec{E}(P_0) \,$

Dans le cas le plus général d'une direction quelconque on a alors par principe de superposition

$\begin{matrix} \vec{E}_{\parallel}'(P_0)=\vec{E}_{\parallel}(P_0)\\ \vec{E}_{\perp}'(P_0)=\beta\vec{E}_{\perp}(P_0) \end{matrix}$

On a donc déduit très simplement le champ électrique dans le nouveau référentiel sans jamais se poser la question de la distribution des sources réelles dans le nouveau référentiel (si la distribution d'origine était compliquée alors reproduire ce résultat de façon directe serait très difficile en général). Insistons enfin encore une fois sur l'absence de champ magnétique dans le référentiel original pour dériver ce résultat.

[modifier] Exemples simples de calcul du champ électrique

Les quelques exemples qui suivent sont des applications simples du théorème de Gauss.

[modifier] Champ créé par une charge ponctuelle

Soit une charge ponctuelle q située en un point O. Soit un point de l'espace M. Le champ électrique que provoque q en M vaut :

$\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon OM^2} \cdot \frac{\overrightarrow{OM}}{OM}$ avec : $\varepsilon_0$ la permitivité du vide qui vaut 8,85.10^-12 C²N^-1m^-2

Le module du champ électrique décroît proportionnellement avec le carré la distance d . Sa direction passe par le point O (champ radial). L'expression de son module à une distance d est :

$E = \frac {q}{4 \pi \varepsilon d^2}$

L'atténuation de l'effet d'une charge ponctuelle dépend du carré de la distance. L'effet de la charge $\frac {q}{\varepsilon }$ devant se répartir sur la surface d'une sphère $4π d 2$ qui est d'autant plus étendue que l'on s'éloigne de la charge.

Si l'on considère la charge créée par une sphère uniformément chargée en un point qui ne lui est pas intérieur (c'est-à-dire que la distance du point au centre O de la sphère est supérieur au rayon de la sphère), le champ créé par cette sphère est alors identique au champ créé par une charge ponctuelle placée en O et de valeur la charge totale de la sphère.

[modifier] Champ créé par un fil infiniment long et uniformément chargé

On défini la charge linéique par :

$\lambda =\frac QL \,$ en C.m^-1

Q étant la charge d'une portion (élément de longueur) du fil et L est la longueur de cette portion

Le module champ électrique décroît proportionnellement avec la distance d . Sa direction est perpendiculaire au fil et passe par le fil (champ radial). L'expression de son module à une distance d est :

$E = \frac {\lambda}{2 \pi \varepsilon d}\,$

L'atténuation de l'effet d'un fil infiniment long dépend de la distance. L'effet de la charge $\frac {\lambda}{\varepsilon }\,$ devant se répartir sur le périmètre d'un cercle $2 \pi d\,$ qui est d'autant plus étendu que l'on s'éloigne de la charge.

[modifier] Champ créé par une plaque plane infinie, uniformément chargée

On définit la charge surfacique par :

$\sigma =\frac QA \,$ en C.m^-2

Q étant la charge d'une région (élément de surface) de la plaque et A est la superficie de cette région.

Le champ électrique créé est uniforme : sa direction est une perpendiculaire au plan et l'expression de son module est la même en tout point de l'espace et elle est indépendante de la position :

$E = \frac {\sigma}{2 \varepsilon}\,$

[modifier] Champ créé par un condensateur plan

L'association de deux plaques planes identiques, parallèles et séparées par une distance d constitue un condensateur plan de capacité :

$C = \frac {S \varepsilon}d$ en F (Farad)

Le champ électrique à l'intérieur vérifie :

$\vec{E} = \frac {\sigma}{\varepsilon} \vec{u}$ avec

σ

la charge surfacique portée par les armatures et $\vec{u}$ un vecteur unitaire perpendiculaire aux plaques dans le sens des potentiels décroissants.

[modifier] Notes et références

↑ ^a ^b Élie Lévy, Dictionnaire de Physique, Presses universitaires de France, Paris, 1988, page 141.
↑ Le Modèle Standard de la physique des particules nous informe toutefois qu'il existe d'autres particules chargées électriquement. Plus précisément, le proton n'est en fait pas une particule élémentaire mais est constitué de trois quarks qui sont, eux, de véritables particules élémentaires. Tous les types de quarks sont ainsi chargés électriquement
↑ Cette façon de voir les choses est issue d'une représentation classique de l'atome. Néanmoins les résultats sont ici qualitativement les mêmes que si l'on faisait usage de la mécanique quantique.
↑ certains atomes sont toutefois tellement symétriques que leur moment dipolaire électrique est nul. C'est le cas par exemple de l'atome d'hydrogène. Cependant lorsqu'on les soumet à un champ électrique extérieur les charges positives et négatives réagissent de façon opposée à ce champ. Il est résulte alors un moment dipolaire électrique induit.
↑ E n présence d'un champ magnétique et de courants la loi de transformation est un peu plus compliquée
↑ dans le nouveau référentiel, même si les charges sont en mouvement et qu'on sort du cadre de l'électrostatique la loi de Gauss s'applique encore. C'est un résultat issu de l'expérience.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

Jacques Boutigny, Le Champ électrique dans les milieux matériels , éd. Vuibert, 1997, (ISBN 2-71174-092-7)
Jacques Boutigny, Le Champ électrique dans le vide , éd. Vuibert, 1997, (ISBN 2-71174-095-1)

[modifier] Articles connexes

Condensateur
Électrostatique
Loi de Coulomb

[modifier] Liens externes

Électrostatique : Champ électrique · Charge électrique · Loi de Coulomb · Potentiel électrique

Magnétostatique : Gauss · Champ magnétique · Moment magnétique · Loi de Biot et Savart

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