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Dérivée



Dérivée : encyclopédie mathématiques

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IcĂŽne de paronymie Cet article possĂšde un paronyme ; voir : DĂ©rive.

En analyse, le nombre dĂ©rivĂ© en un point d'une fonction Ă  variable et valeurs rĂ©elles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est donc dĂ©fini que si cette tangente — ou cette approximation — existe.) La dĂ©rivĂ©e en un point d'une fonction Ă  plusieurs variables rĂ©elles, ou Ă  valeurs vectorielles, est plus couramment appelĂ©e diffĂ©rentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitĂ©e ici.

La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

La notion de nombre dĂ©rivĂ© a vu le jour au XVIIe siĂšcle dans les Ă©crits de Leibniz et de Newton qui le nomme fluxion et qui le dĂ©finit comme « le quotient ultime de deux accroissements Ă©vanescents Â».

La dĂ©rivĂ©e de la fonction f\, est notĂ©e en mathĂ©matiques f'\, ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}. On utilise aussi des notations spĂ©cifiques (surtout en physique) pour dĂ©signer la dĂ©rivĂ©e par rapport au temps qui s'Ă©crit avec un point surmontant la lettre (\dot f), la dĂ©rivĂ©e seconde s'Ă©crivant alors grĂące Ă  un trĂ©ma surmontant la lettre. Cette notation est appelĂ©e « notation de Newton Â». On utilise dans le mĂȘme esprit, les notations prime et seconde pour noter la dĂ©rivĂ©e par rapport Ă  l'espace.

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problÚmes d'optimisation.

En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse.

On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champ complexe et on parle alors de dérivée complexe.

Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynÎme formel.

Approche intuitive[modifier | modifier le code]

En 0, la courbe est décroissante, donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point est négatif, et donc, le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1).

En 1, la courbe est toujours décroissante, mais la pente y est moindre (-0,5).

En 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0).

En 3, la courbe est croissante, donc le nombre dérivé y est positif (0,5).

Pour approcher cette notion de maniĂšre intuitive, commençons par nous donner une courbe reprĂ©sentative d'une fonction continue dans un repĂšre cartĂ©sien, c'est-Ă -dire tracĂ©e d'un seul trait de crayon, et bien « lisse Â»; on dira lĂ  que la fonction associĂ©e est dĂ©rivable.

Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-Ă -dire une droite qui Ă©pouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal Ă  distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte Â» (c'est-Ă -dire si la fonction associĂ©e est croissante), la tangente sera Ă©galement montante ; inversement, si la fonction est dĂ©croissante, la tangente sera descendante.

Si on se donne une abscisse x_0 pour laquelle la fonction f\, est dĂ©rivable, on appelle nombre dĂ©rivĂ© de f\, en x_0 le coefficient directeur de la tangente Ă  la courbe au point d'abscisse x_0. Ce rĂ©el donne de prĂ©cieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algĂ©brique de la vitesse Ă  laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction Ă  plusieurs variables, on parle de la dĂ©rivĂ©e partielle par rapport Ă  l'une de ses variables.

Ainsi, si le nombre dĂ©rivĂ© d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce mĂȘme intervalle. Inversement, s'il est nĂ©gatif, elle sera dĂ©croissante. Lorsque le nombre dĂ©rivĂ© est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.

Approche historique[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Histoire du calcul infinitĂ©simal.
Gottfried Wilhelm von Leibniz

DÚs la seconde moitié du XVIIe siÚcle, le domaine mathématique de l'analyse numérique connut une avancée prodigieuse grùce aux travaux de Newton et de Leibniz en matiÚre de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales.

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la premiĂšre moitiĂ© du XVIIe siĂšcle, a le premier menĂ© des Ă©tudes sur la notion de tangente Ă  une courbe - lui-mĂȘme les appelait « touchantes Â». Le marquis de l'Hospital contribuera Ă  diffuser le calcul diffĂ©rentiel de Leibniz Ă  la fin du XVIIe siĂšcle grĂące Ă  son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathĂ©maticien anglais (surtout connu pour la suite d'intĂ©grales qui porte son nom) contribua Ă©galement Ă  l'essor de l'analyse diffĂ©rentielle.

Jean Le Rond d'Alembert.

NĂ©anmoins cette thĂ©orie tout juste Ă©close n'est pas encore, Ă  l'Ă©poque, pourvue de toute la rigueur mathĂ©matique qu'elle aurait exigĂ©e, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dĂšs lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non nĂ©gligeable. C'est au XVIIIe siĂšcle que d'Alembert introduit la dĂ©finition plus rigoureuse du nombre dĂ©rivĂ© en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable Ă  celle qui est utilisĂ©e et enseignĂ©e de nos jours. Cependant, Ă  l'Ă©poque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problĂšme : \R n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres rĂ©els). C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIXe siĂšcle que le concept de dĂ©rivĂ©e sera entiĂšrement formalisĂ©.

C'est Ă  Lagrange (fin du XVIIIe siĂšcle) que l'on doit la notation f'(x), aujourd'hui tout Ă  fait usuelle, pour dĂ©signer le nombre dĂ©rivĂ© de f en x. C'est aussi Ă  lui qu'on doit le nom de « dĂ©rivĂ©e Â» pour dĂ©signer ce concept mathĂ©matique.

DĂ©finition formelle[modifier | modifier le code]

Soit f\, une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et x\,_0 appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition \mathcal{D}_f.

Pour tout h\in \R^* tel que [x_0,x_0+h]\sub \mathcal{D}_f, on appelle taux d'accroissement de f\, en x\,_0 et avec un pas de h\, la quantitĂ© :

t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}


Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec le taux d'Ă©volution d'une grandeur entre deux dates.

Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnĂ©es (x_0 , f(x_0)) et (x_0+h , f(x_0+h)). Si t_{x_0}(h) admet une limite finie lorsque h\, tend vers 0, on dit que f est dĂ©rivable en x_0, auquel cas le nombre dĂ©rivĂ© de f\, en x_0 est Ă©gal Ă  la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0\atop h\ne0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0\atop h\ne0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Ou, de maniĂšre Ă©quivalente :

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0\atop x\ne x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Tangente2.gif

Ce calcul de limite revient graphiquement Ă  rechercher la pente de la tangente Ă  la courbe en ce point.

Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.

La dĂ©rivation peut aussi ĂȘtre dĂ©finie pour des fonctions d'une variable rĂ©elle Ă  valeurs dans d'autres ensembles que \R.

Par exemple, une fonction f\, d'une variable rĂ©elle, Ă  valeurs dans \R^n, est dĂ©rivable en x\,_0 si et seulement si toutes ses coordonnĂ©es sont dĂ©rivables en x\,_0 ; et sa dĂ©rivĂ©e est la fonction dont les coordonnĂ©es sont les dĂ©rivĂ©es des coordonnĂ©es de f\,. C'est un cas particulier de fonctions de variable vectorielle et Ă  valeur dans un espace vectoriel normĂ© ou mĂ©trique.

Dérivabilité et lien avec la continuité[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : dĂ©rivabilitĂ©.

Typiquement, une fonction est dĂ©rivable si elle ne prĂ©sente pas « d'aspĂ©ritĂ© Â», de rupture de pente ni de partie « verticale Â».

Fonction signe.

Une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas dĂ©rivable : comme la fonction fait un saut, on ne peut pas dĂ©finir de tangente, la limite du taux de variation est infini (la pente de la courbe est verticale). C'est le cas par exemple de la fonction signe sgn(x) en 0 :

  • Ă  gauche de 0 (-∞ < x < 0), sgn(x) = -1 ;
  • en 0 : sgn(0) = 0 ;
  • Ă  droite de 0 (0 < x < +∞), sgn(x) = +1 ;

le taux de variation pour une largeur h vaut donc

(1 - (-1))/h

et tend vers +∞ quand h tend vers 0. Par contre, on peut dĂ©finir une dĂ©rivĂ©e Ă  gauche — dĂ©rivĂ©e partout nulle (tangente horizontale) sur ]-∞ ; 0[ — et une dĂ©rivĂ©e Ă  droite — dĂ©rivĂ©e Ă©galement nulle sur ]0 ; +∞[.

Fonction valeur absolue.
Fonction racine cubique.

Si une fonction est dérivable en un point alors elle est continue en ce point, mais la réciproque est fausse.

Par exemple : la fonction x\mapsto |x| est continue mais n'est pas dĂ©rivable en 0 :

  • Ă  gauche, la pente vaut -1 ;
  • Ă  droite, la pente vaut +1 ;

il y a une tangente Ă  gauche et une tangente Ă  droite diffĂ©rentes, la pente en 0 n'est pas dĂ©finie ; le taux de variation n'a pas de limite dĂ©finie. C'est le cas gĂ©nĂ©ral pour les courbes prĂ©sentant un point anguleux.

Il en est de mĂȘme de la fonction racine cubique, qui a une tangente verticale en x = 0 : le taux de variation a une limite infinie.

Fonction dérivée[modifier | modifier le code]

La dĂ©rivabilitĂ© est a priori une notion locale (dĂ©rivabilitĂ© en un point), mais si une fonction est dĂ©rivable en tout point d'un intervalle, on peut dĂ©finir sa fonction dĂ©rivĂ©e sur l'intervalle en question. La fonction dĂ©rivĂ©e de f, souvent notĂ©e f'\, (prononcer « f prime Â») est dĂ©finie sur \mathfrak{D}_f et le domaine de dĂ©rivabilitĂ© de f (ensemble des points de \R en lesquels f est dĂ©rivable) est dĂ©fini par :

f'\colon \mathfrak{D}_f\rightarrow\R,\quad x\mapsto f'(x)

C'est la fonction qui prend en tout point de \mathfrak{D}_f la valeur du nombre dérivé de f\, en ce point.

Ainsi, lorsque la fonction dĂ©rivable f est croissante, la fonction dĂ©rivĂ©e f'\, est positive. f'\, s'annule aux points oĂč f admet des tangentes horizontales.

Les fonctions dérivées sont utilisées notamment dans l'étude des fonctions réelles et dans les équations différentielles. La seule fonction (à une constante multiplicative prÚs) égale à sa dérivée est la fonction exponentielle de base e (celle-ci est solution de y'=y, cf. article détaillé).

Notations[modifier | modifier le code]

Il existe diffĂ©rentes notations pour exprimer la valeur de la dĂ©rivĂ©e d'une fonction f en un point a. On distingue :

  • la notation de Lagrange[1] : f'\left(a\right) ;
  • la notation de Leibniz : \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}(a) ou \left.\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}\right|_{x=a} ou mĂȘme, moins rigoureusement, \frac{{\mathrm d} \left(f(a)\right)}{{\mathrm d} x} ;
  • la notation d'Isaac Newton[2] : \dot{f}(a) qui est plutĂŽt utilisĂ©e en physique pour dĂ©signer une dĂ©rivĂ©e par rapport au temps ;
  • la notation d'Euler : D_x f(a).

Dérivées usuelles et rÚgles de dérivation[modifier | modifier le code]

Articles dĂ©taillĂ©s : DĂ©rivĂ©es usuelles et OpĂ©rations sur les dĂ©rivĂ©es.

f'\, peut souvent se calculer directement Ă  partir d'une expression de f\,, lorsqu'il s'agit d'une fonction « simple Â», en utilisant la table des dĂ©rivĂ©es usuelles. Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linĂ©aire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composĂ©e, on utilise un petit nombre de rĂšgles algĂ©briques dĂ©duites de la dĂ©finition donnĂ©e plus haut. Les rĂšgles les plus couramment utilisĂ©es sont les suivantes :

Nom RĂšgle Conditions
Linéarité (af)^\prime = af' Quels que soient la fonction dérivable f\, et le réel a.
Linéarité (f+g)^\prime = f' + g' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Produit (fg)^\prime = f'g+fg' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Inverse \left({1\over g}\right)' = {-g'\over g^2} Quelle que soit la fonction dérivable g\, qui ne s'annule pas

(cas particulier f =1 de la ligne suivante)

Quotient \left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over g^2} Quelles que soient la fonction dérivable f\, et la fonction dérivable g\, qui ne s'annule pas
Composée (g \circ f)' = (g'\circ f) \cdot f' Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) f\, et g\,
Réciproque (f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}} Quelle que soit la fonction f\, bijective de réciproque f^{-1}\,, dérivable de dérivée ne s'annulant en aucun point

En particulier, voici les rĂšgles courantes se dĂ©duisant de la dĂ©rivĂ©e de composĂ©es :

Nom RĂšgle Conditions
Puissance (f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f' Quel que soit \alpha \in \mathbb Z, et mĂȘme quel que soit \alpha \in \mathbb R si f est positive
Racine \left(\sqrt{\!f}\right)' = {f' \over 2\sqrt{\!f}} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive

(cas particulier α=1/2 de la ligne précédente)

Exponentielle (\mbox{e}^f)^\prime = \mbox{e}^f\cdot f' Quelle que soit f\, dérivable
Logarithme (\log_b f)^\prime = {f' \over f \cdot \ln b} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive
Logarithme (\ln f)^\prime = {f' \over f} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive (cas b=e de la ligne précédente)

Dérivation numérique[modifier | modifier le code]

Principe de la dérivation numérique

Dans le cas d'une courbe expĂ©rimentale, on ne possĂšde pas de fonction analytique pour la dĂ©crire, mais d'une sĂ©rie de valeurs (xi , yi ). On a donc recours Ă  une dĂ©rivation numĂ©rique, qui consiste simplement Ă  approcher la valeur de la dĂ©rivĂ©e en un point i calculer le taux de variation entre les points prĂ©cĂ©dent et suivant :

f'(x_i) \simeq \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{x_{i+1} - x_{i-1}}

Graphiquement, cela revient Ă  remplacer la tangente par la corde. Ceci peut se justifier par le thĂ©orĂšme des accroissements finis : on sait qu'il existe un point de l'intervalle [xi-1 , xi+1] pour lequel la dĂ©rivĂ©e est la pente de la corde, et si l'intervalle est petit, alors ce point est proche du milieu xi . Cette mĂ©thode est automatisable sur les calculatrices programmables et les ordinateurs.

LĂ , Il faut se poser la question de la prĂ©cision des rĂ©sultats. Une mise en informatique « naĂŻve Â» de la mĂ©thode de calcul peut mener Ă  des rĂ©sultats de prĂ©cision mĂ©diocre dans certains cas.

Dans un ordinateur, la prĂ©cision des nombres est limitĂ©e par le mode de reprĂ©sentation. Si l'on utilise la double prĂ©cision selon la norme IEEE 754, les nombres ont environ 16 chiffres significatifs. On a donc une prĂ©cision relative de l'ordre de 10-16 (en fait, 2-52). Notons r cette valeur : r = 10-16. Les calculatrices de poche admettent typiquement 10 chiffres significatifs, soit r = 10-10.

Supposons que la diffĂ©rence yi + 1 - yi - 1 soit infĂ©rieure Ă  r, alors le calculateur fera une erreur grossiĂšre sur le calcul et le rĂ©sultat sera mĂ©diocre ; voire, si la diffĂ©rence est trĂšs faible, il ne « verra pas Â» de diffĂ©rence entre les deux valeurs, et le rĂ©sultat sera 0. Si par exemple on veut avoir la dĂ©rivĂ©e autour de 2 de la fonction ƒ(x) = x2, en prenant un Ă©cart de 10-13 entre les points :

x1 = 1,999 999 999 999 9 ; x2 = 2 ; x3 = 2,000 000 000 000 1
ÎŽ = y3 - y1 = x32 - x12 ≈ 8·10-13

On voit que la différence entre les nombres, 8·10-13, est proche de r. On va donc avoir une erreur d'arrondi. De fait, le calcul nous donne sur un ordinateur

ƒ'(2) ≈ 3,997

alors que le résultat exact est

ƒ'(2) = 2×21 = 4

soit une erreur de 0,3 %. Sur une calculatrice, le rĂ©sultat est ƒ'(2) ≈ 0


Le point critique est le choix de l'Ă©cart h entre les valeurs de x. Une valeur de l'ordre de \sqrt{r} convient dans de nombreux cas. Il nous manque encore quelques Ă©lĂ©ments pour cette Ă©tude ; le problĂšme est abordĂ© dans la section PrĂ©cision de la dĂ©rivĂ©e numĂ©rique ci-dessous.

Donc :

  • pour un ordinateur calculant en double prĂ©cision, on peut prendre un Ă©cart de 10-8 entre les points ;
  • pour une calculatrice avec 10 chiffres significatifs, on peut prendre un Ă©cart de 10-5 entre les points.

DĂ©rivation graphique[modifier | modifier le code]

DĂ©rivation graphique : on convertit la pente des droites en utilisant un pĂŽle

On peut Ă©galement effectuer une dĂ©rivation graphique, sans utiliser de calcul. On approche les tangentes par les cordes comme pour la mĂ©thode numĂ©rique. Puis, on tire des parallĂšles Ă  ces droites passant par un point nommĂ© pĂŽle P. On considĂšre l'intersection de ces droites avec la verticale passant par O, le segment [OP] Ă©tant horizontal. La hauteur vi des segments ainsi dĂ©limitĂ©s est proportionnelle Ă  la pente ai :

v_i = \mathrm{OP} \times a_i

on peut donc reporter cette hauteur sur le graphique et obtenir une approximation de la courbe dérivée. L'échelle de l'axe des y est donc de OP:1.

Dérivée d'ordre n[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : DĂ©rivation itĂ©rĂ©e.

La dĂ©rivĂ©e seconde, notĂ©e ƒ", est la dĂ©rivĂ©e de la dĂ©rivĂ©e de ƒ, lorsqu'elle existe :

f'' = (f')'

et la dĂ©rivĂ©e troisiĂšme est la dĂ©rivĂ©e de la dĂ©rivĂ©e seconde, lorsqu'elle existe :

f''' = (f'')'.

De maniĂšre gĂ©nĂ©rale, on dĂ©finit la dĂ©rivĂ©e d'ordre n pour une fonction n fois dĂ©rivable par rĂ©currence :

\frac{{\mathrm d} ^{n+1}f}{{\mathrm d} x^{n+1}}=\frac{{\mathrm d} }{{\mathrm d} x} \frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n}

\frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n} est également notée f^{(n)}.

Formule de Leibniz[modifier | modifier le code]

Si f et g sont des fonctions n fois dĂ©rivables, alors, par application de la rĂšgle du produit :

(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k } f^{(k)}g^{(n-k)}.

En particulier pour n=2,

(fg)''=f''g+2f'g'+fg''~

On notera l'analogie avec la formule du binÎme de Newton. Cela provient de la bilinéarité de l'opérateur dérivation.

Propriétés des fonctions dérivables[modifier | modifier le code]

ThéorÚme de Rolle[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orĂšme de Rolle.

Soient a et b deux rĂ©els tels que a<b. Si f est continue sur [a,b], dĂ©rivable sur ]a,b[, et si f(a)=f(b), alors il existe (au moins) un rĂ©el c dans ]a,b[ tel que :

f'(c)=0~ .

ThéorÚme des accroissements finis[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orĂšme des accroissements finis.
ÉnoncĂ©
Si une fonction f est continue sur [a,b], avec a\ne b, et dérivable sur {]a,b[}, alors il existe un point x_0 de {]a,b[} tel que le nombre dérivé de f en ce point soit le taux de variation entre a et b
f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

En particulier, si f(a)=f(b), on retrouve le théorÚme de Rolle, qui sert aussi à démontrer le résultat plus général (voir l'article détaillé), c'est pourquoi on le rencontre souvent sous le nom de lemme de Rolle. Cette propriété est utilisée en cinématique pour déterminer une approximation du vecteur vitesse à partir d'un relevé de point.

ThéorÚme de Darboux[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orĂšme de Darboux (analyse).

Si f est dĂ©rivable, sa fonction dĂ©rivĂ©e f' n'est pas nĂ©cessairement continue. Cependant f' possĂšde la propriĂ©tĂ© des valeurs intermĂ©diaires. Ceci constitue le thĂ©orĂšme de Darboux, qui peut se formuler de deux façons Ă©quivalentes : si f dĂ©rivable est dĂ©finie sur I intervalle de R, f'(I) est un intervalle, ou : si f'(a)<f'(b), pour tout t de [f'(a),f'(b)], il existe c tel que f'(c)=t.

Dérivées de fonctions liées[modifier | modifier le code]

Beaucoup de problÚmes font intervenir plusieurs variables qui sont liées entre elles et qui varient en fonction du temps. La variation de l'une de ces variables donnera une variation correspondante des autres variables. Le lien entre ces variations dépendra des relations qui existent entre les variables.

Exemple  :
Vitesse (en m/s), mesurée du sommet de la tour, de l'homme s'éloignant à 8Km/h (ou 2,2 m/s) en fonction du temps (en s).

Un homme s'Ă©loigne d'une tour de 60 m de hauteur Ă  raison de 8 km/h soit environ .2,2 m/s A quelle vitesse s'Ă©loigne t-il du sommet de cette tour lorsqu'il est Ă  80 m du pied de la tour? On sait par relation de Pythagore que la distance entre le piĂ©ton et le sommet est alors de 100 m.

y et x, distances du piĂ©ton au sommet de la tour et au pied de celle-ci sont des fonctions du temps liĂ©es par la relation de Pythagore :

y^{2}=x^{2}+60^{2} implique y^{2}(t)=x^{2}(t)+60^{2}

En dĂ©rivant les 2 membres de cette Ă©galitĂ©, nous obtenons :

2y \frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} t}=2x \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} implique \frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} t}=\frac{{x} }{{y} } \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} :

la vitesse par rapport au sommet de la tour vaut le rapport entre la distance au sol entre le piĂ©ton et le pied de la tour et la distance entre le piĂ©ton et le sommet de la tour multipliĂ© par la vitesse du piĂ©ton. Lorsque le piĂ©ton est Ă  80 m du pied de la tour :

\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} t}=\frac{{80} }{{100} } \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t}=\frac{{8} }{{10} } \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t},

ce qui revient Ă  dire que la vitesse par rapport au sommet de la tour vaut \tfrac{{8} }{{10} }\cdot8\; \rm \tfrac{{km} }{{h} }=6,{}4\;  \tfrac{{km} }{{h} }.

L'expression prĂ©cĂ©dente permet en outre d'exprimer en fonction du temps la vitesse mesurĂ©e du sommet de la tour : si l'on note v(t) celle-ci et v la vitesse constante de dĂ©placement horizontal exprimĂ©es en m/s, on a les Ă©galitĂ©s

x(t)=vt, y(t)=\sqrt{60^2+v^2t^2} et  v(t)=\frac{vt}{\sqrt{60^2+v^2t^2}}v

Analyse d'une fonction dérivée[modifier | modifier le code]

En trouvant les valeurs de x pour lesquelles la dĂ©rivĂ©e vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de f permettent de trouver implicitement ses maxima et ses minima. En effectuant le test de la dĂ©rivĂ©e premiĂšre, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dĂ©rivĂ©e passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dĂ©rivĂ©e passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum. De plus, lorsque le signe de la dĂ©rivĂ©e premiĂšre est positif, la fonction est croissante ; s'il est nĂ©gatif, elle est dĂ©croissante. On ne conclut rien, si au point critique la fonction dĂ©rivĂ©e ne change pas de signe. En dĂ©rivant la dĂ©rivĂ©e premiĂšre, on a la dĂ©rivĂ©e seconde. En effectuant le test de la dĂ©rivĂ©e seconde, on trouve les nombres critiques de la dĂ©rivĂ©e premiĂšre pour les placer dans le mĂȘme tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la dĂ©rivĂ©e seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavitĂ© de la fonction. Un signe positif de la dĂ©rivĂ©e seconde signifie que la fonction est convexe et un signe nĂ©gatif de la dĂ©rivĂ©e seconde signifie que la fonction est concave. Connaissant les changements de concavitĂ© et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse de sa reprĂ©sentation graphique.

Dérivée et optimisation[modifier | modifier le code]

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

  1. Mathématisation
    • DĂ©finitions et dessin : on dĂ©finit les variables inconnues et on les reprĂ©sente sur un schĂ©ma.
    • Écrire la fonction objectif Ă  deux variables et prĂ©ciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donnĂ©e.
    • Trouver la relation entre les deux variables.
    • Écrire la fonction objectif Ă  une variable et prĂ©ciser le domaine de la fonction.
  2. Analyse
    • DĂ©river la fonction pour obtenir la dĂ©rivĂ©e premiĂšre.
    • Trouver les nombres critiques de la fonction, oĂč la dĂ©rivĂ©e premiĂšre vaut zĂ©ro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
    • Effectuer le test de la dĂ©rivĂ©e premiĂšre ou le test de la dĂ©rivĂ©e seconde pour dĂ©terminer le maximum ou le minimum recherchĂ© de la situation.
  3. On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Dérivée algébrique[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : PolynĂŽme formel.

Les algĂ©bristes donnent un sens un peu diffĂ©rent au terme dĂ©rivĂ©e. Ils l'appliquent Ă  une structure B appelĂ©e A-algĂšbre associative unitaire et commutative. Une application D, de B dans B est appelĂ©e une dĂ©rivation si :

  • L'application D est A-linĂ©aire.
  • b1 et b2 Ă©tant deux Ă©lĂ©ments de B, la dĂ©rivĂ©e de b1.b2 est Ă©gale Ă  la somme du produit de la dĂ©rivĂ©e de b1 et de b2 et du produit de b1 avec la dĂ©rivĂ©e de b2 :
     D(b_1\cdot b_2) = D (b_1)\cdot b_2 + b_1\cdot D(b_2)
    (en particulier, la dérivée de l'élément 1B neutre de B pour la multiplication est nulle).

Un exemple de dérivation définie de cette maniÚre est donné dans l'article détaillé.

Précision de la dérivée numérique[modifier | modifier le code]

On peut approcher la fonction ƒ par un polynĂŽme appelĂ© dĂ©veloppement limitĂ©[3]  :

f(x + h) = f(x) + f'(x) \cdot h + \frac{f''(x)}{2} \cdot h^2 + \mathrm{O}(h^2)

il en vient une approximation de la dĂ©rivĂ©e :

f'(x) \simeq \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{f''(x)}{2} \cdot h \simeq \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Ce faisant, on commet une erreur de troncature du second ordre

\mathrm{E_t} = \left | \frac{f''(x)}{2} \right |h

Par ailleurs, l'ordinateur commet une erreur d'arrondi : la prĂ©cision relative Ă©tant r, la prĂ©cision absolue sur ƒ(x) est |ƒ(x)|r, et donc l'erreur induite sur la dĂ©rivĂ©e

\mathrm{E_a} = \frac{| f(x)|r}{h}

L'erreur totale vaut donc

\mathrm{E} = \mathrm{E_t} + \mathrm{E_a} = \left | \frac{f''(x)}{2} \right | h + \frac{| f(x)|r}{h} Cette fonction est convexe, et admet un minimum en

\bar{h} = \sqrt{\frac{2r | f(x) |}{| f''(x)|}}

Cela dĂ©pend donc du rapport entre la valeur de ƒ et la courbure ƒ". Pour les zones oĂč la fonction ƒ est « modĂ©rĂ©e Â» — c'est-Ă -dire que ƒ/ƒ" est de l'ordre de l'unitĂ© —, on peut retenir

\bar{h} \simeq \sqrt{r}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Florian Cajori, A history of mathematical notations, section 575
  2. ↑ Florian Cajori, A history of mathematical notations, section 567
  3. ↑ MichaĂ«l Baudin, [Scilab is not naive], Consortium Scilab

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • CatĂ©gorie « DĂ©rivĂ©e »
  • Toute fonction continue Ă  dĂ©rivĂ©e nulle sauf sur un ensemble dĂ©nombrable est constante, d'aprĂšs le lemme de Cousin ou l'inĂ©galitĂ© des accroissements finis
  • Toute fonction absolument continue Ă  dĂ©rivĂ©e nulle presque partout aussi, Ă  nouveau d'aprĂšs le lemme de Cousin
  • Notations delta en sciences
  • Sous-diffĂ©rentiel d'une fonction convexe
  • DĂ©rivĂ©e de Radon-Nikodym d'une mesure par rapport Ă  une autre
  • Calcul infinitĂ©simal

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Derivative Â», MathWorld

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