Densité de probabilité

Densité de probabilité : encyclopédie mathématiques

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Sommaire

[modifier] Densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle

Lien entre la densité, f et la fonction de répartition (haut), et, plus généralement, les probabilités (bas)

Définition — En mathématiques statistiques ou en probabilité, on dit qu'une fonction $\scriptstyle\ f\$ est une densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle $\scriptstyle\ X\$ si, pour tout réel $\scriptstyle\ x,$

$\mathbb{P}(X\le x)= \int_{-\infty}^{x}\ f(u)du.$

La probabilité $\scriptstyle\ \mathbb{P}(a < X \le b)\$ se calcule alors par la relation suivante :

$\mathbb{P}\left( a < X \le b \right)=\int_a^b f\left( u \right)\,du.$

En traçant la représentation graphique de la densité de probabilité, la probabilité $\scriptstyle\ \mathbb{P}(a < X \le b)\$ se lit comme l'aire sous la courbe sur l'intervalle $\scriptstyle\ [a , b].$

[modifier] Définition informelle de la densité de probabilité

La définition qui suit est une reformulation de la définition intégrale proposée en début d'article. C'est la définition utilisée en général par les physiciens, en particulier ceux issus du domaine de la physique statistique.

Si $\scriptstyle\ dt\$ est un nombre réel positif infiniment petit, alors la probabilité que $\scriptstyle\ X\$ soit inclus dans l'intervalle $\scriptstyle\ [t,t+dt]\$ est égale à $\scriptstyle\ f\left(t\right)\mathrm dt,$ soit:

$\mathbb{P}\left(t < X < t+ \mathrm dt \right)= f\left(t\right)\, dt.$

Cette "définition" est très utile pour comprendre intuitivement à quoi correspond une densité de probabilité, et est correcte dans beaucoup de cas importants. On peut tracer une analogie avec la notion de densité de masse, ou encore avec la notion de densité de population. Une formulation plus mathématique serait

$\mathbb{P}\left(t < X < t+ h \right)= f\left(t\right)\,h+o(h),$

ce qui permet de comprendre en quoi la définition donnée en physique n'est pas complètement rigoureuse :

$\mathbb{P}\left(t < X < t+ h \right)= \int_t^{t+h}\ f\left(u\right)\,du,$

et il est alors facile de vérifier que si $\scriptstyle\ f\$ possède une limite à droite en $\scriptstyle\ t\$ , notons-là $\scriptstyle\ f(t_+),$ on a alors

$\int_t^{t+h}\ f\left(u\right)\,du = f\left(t_+\right)\,h+o(h),$

ce qui corrobore la définition physique lorsque $\scriptstyle\ f\$ est continue à droite en $\scriptstyle\ t,$ mais la met en défaut quand $\scriptstyle\ f(t)\neq f(t_+).$ Bien sûr, les densités de probabilités usuelles sont continues à droite sauf éventuellement en un nombre fini (et en un petit nombre) de points.

Notons que ce genre d'interprétation infinitésimale (ou issue de la physique) s'étend aux dimensions $\scriptstyle\ d\ge 2,$ voir la section suivante.

Densité de la médiane de 9 variables i.i.d. :

Soit $\scriptstyle\ (X_i)_{1\le i\le 9}\$ une suite de 9 v.a. r. i.i.d. de même densité $\scriptstyle\ f,$ et de même fonction de répartition $\scriptstyle\ F.$ Notons $\scriptstyle\ M\$ la médiane de cette suite. Alors :

$\mathbb{P}\left(t < M < t+ dt \right)=\mathbb{P}\left(\text{parmi les 9 v.a.r., 4 exactement sont}\le t\text{ et 4 sont}\ge t+dt\right).$

On peut voir cela comme une suite de 9 expériences aléatoires indépendantes faites dans les mêmes conditions, avec à chaque fois 3 issues : " $\scriptstyle\ X_i\le t\$ ", " $\scriptstyle\ t<X_i<t+dt\$ " et " $\scriptstyle\ t+dt\le X_i\$ ", de probabilités respectives $\scriptstyle\ F(t),$ $\scriptstyle\ f(t)dt\$ et $\scriptstyle\ 1-F(t+dt),$ donc la probabilité ci dessus est donnée par la loi multinomiale de paramètres 3, 9 et $\scriptstyle\ \left(F(t),\ f(t)dt,\ 1-F(t+dt)\right).$ Ainsi :

$\mathbb{P}\left(t < M < t+ dt \right)={9\choose 4,1,4}F(t)^4\left(f(t)dt\right)^1\left(1-F(t+dt)\right)^4,$

et la densité de $\scriptstyle\ M\$ est

$f_M(t)={9\choose 4,1,4}F(t)^4\left(1-F(t)\right)^4f(t)=630\,F(t)^4\left(1-F(t)\right)^4f(t).$

Nota : Un résultat plus général se trouve sur la page "Statistique d'ordre".

[modifier] Critères d'existence d'une densité

En vertu d'un théorème dû à Borel, la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle $\scriptstyle\ X,$ étant croissante, est dérivable presque partout sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ , et la dérivée ainsi obtenue est positive et intégrable sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ , d'intégrale inférieure ou égale à 1.

Critère 1 — $\scriptstyle\ X\$ possède une densité de probabilité si et seulement si l'intégrale de la dérivée de la fonction de répartition est exactement égale à 1. Cette dérivée est alors une des densités de probabilité de $\scriptstyle\ X.$

Critère 2 — Si la fonction de répartition de $\scriptstyle\ X\$ est de classe $\scriptstyle\ \mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ et est, d'autre part, continue sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ , alors la dérivée de la fonction de répartition de $\scriptstyle\ X\$ est une des densités de probabilité de $\scriptstyle\ X.$

Densité de la médiane de 9 variables i.i.d. (bis) :

Une solution plus rigoureuse mais plus lourde est de calculer la fonction de répartition de la médiane, puis de la dériver. On reconnait un schéma de Bernoulli : le nombre d'indices $\scriptstyle\ i\$ tels que $\scriptstyle\ \{X_i\le t\}\$ suit une loi binomiale de paramètres 9 et $\scriptstyle\ F(t).$

$\begin{align} \mathbb{P}\left(M\le t\right) &= F_{M}(t) = \mathbb{P}\left(\text{au moins 5 des 9 }X_i\text{ sont }\le t\right) \\ &=\sum_{j=5}^9{9 \choose j}F(t)^j(1-F(t))^{9-j}. \end{align}$

En dérivant, on trouve :

$\begin{align} f_{M}(t) & {} ={dF_{M} \over dt}(t)\\ & {} =\sum_{j=5}^9{9 \choose j}\left(jF(t)^{j-1}f(t)(1-F(t))^{9-j} +F(t)^j (9-j)(1-F(t))^{9-j-1}(-f(t))\right) \end{align}$

Après quelques manipulations sur les coefficients binomiaux, tous les termes de cette somme se télescopent, sauf une partie du premier terme, ce qui donne :

$f_{M}(t) = {9! \over 4!4!} F(t)^{4} (1-F(t))^{4} f(t)\ =\ {9 \choose 4,1,4}F(t)^{4} (1-F(t))^{4} f(t),$

puis

$\int_{\mathbb R}F(t)^{4} (1-F(t))^{4} f(t)dt =\int_{0}^1 x^{4} (1-x)^{4}dx =\frac{\Gamma(5)^2}{\Gamma(10)} =\frac{4!4!}{9!},$

donc $\scriptstyle\ f_M\$ satisfait le critère 1. CQFD

[modifier] Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Définition — On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ une fonction $\scriptstyle\ f\$ telle que pour toute partie borélienne $\scriptstyle\ A\subset \mathbb{R}^d,$

$\mathbb{P}(X\in A)= \int_{\mathbb{R}^d}\ 1_A(u)\,f(u)\,du= \int_{A}\ f(u)\,du.$

Cette définition est en particulier valable pour $\scriptstyle\ d=1,$ et est donc équivalente à la première définition, dans le cas particulier $\scriptstyle\ d=1.$

Théorème — Soit une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ , de densité $\scriptstyle\ f,$ et soit $\scriptstyle\ \varphi\$ une fonction borélienne de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}.$ Alors, dès qu'un des deux termes de l'égalite suivante

$\mathbb{E}\left[\varphi(X)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}\ \varphi(u)\,f(u)\,du$

a un sens, alors l'autre aussi, et l'égalité a lieu. Réciproquement, si l'égalité ci-dessus a lieu pour tout $\scriptstyle\ \varphi\$ borélien borné, alors $\scriptstyle\ f\$ est une densité de $\scriptstyle\ X.$

Il existe des variables aléatoires, réelles ou bien à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ , qui ne possèdent pas de densité de probabilité, par exemple les variables aléatoires discrètes. Les variables aléatoires qui possèdent une densité de probabilité sont appelées parfois variables à densité, parfois variables continues.

Si une fonction $\scriptstyle\ f\$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ , cette fonction vérifie les propriétés suivantes

$\scriptstyle\ f\$ est intégrable sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ ;
$\int_{\mathbb{R}^d}f(t)\,dt = 1$ ;
$\scriptstyle\ f\$ est presque sûrement positive ou nulle sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ .

Réciproquement, si une fonction $\scriptstyle\ f\$ vérifie les 3 propriétés ci-dessus, on peut construire une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ ayant $\scriptstyle\ f\$ pour densité de probabilité.

[modifier] Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire réelle à densité

Si $\scriptstyle\ X\$ est une variable aléatoire réelle ayant $\scriptstyle\ f\$ pour densité de probabilité, alors $\scriptstyle\ X\$ possède un moment d'ordre $\scriptstyle\ k\$ si et seulement si

$\int_{-\infty}^{\infty}\ |t|^k\,f(t)\,dt <+\infty.$

On a alors

$\mathbb{E}\left[X^k\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\ t^k\,f(t)\,dt,$

et en particulier

$\mathbb{E}\left[X\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\ t\,f(t)\,dt,$

$\mathbb{E}\left[X^2\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\ t^2\,f(t)\,dt,$

et, d'après le théorème de König-Huyghens,

$V\left(X\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\ t^2\,f(t)\,dt-\left(\int_{-\infty}^{\infty}\ t\,f(t)\,dt\right)^2.$

[modifier] Existence de la densité de probabilité

En vertu du Théorème de Radon-Nikodym, le vecteur aléatoire $\scriptstyle\ Z\$ possède une densité si et seulement si, pour chaque borélien $\scriptstyle\ A\$ de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a

$\mathbb{P}\left(Z\in A\right)=0.$

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que $\scriptstyle\ Z\$ possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire $\scriptstyle\ Z=(X,Y)\$ possède une densité, alors

$\mathbb{P}\left(X=Y\right)=0$ ,
$\mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=0$ ,
$\mathbb{P}\left(Y=\varphi(X)\right)=0$ ,
$\mathbb{P}\left(\psi(X,Y)=0\right)=0$ ,

pour des fonctions $\scriptstyle\ \varphi\$ et $\scriptstyle\ \psi\$ suffisamment régulières^[1], parce que la mesure de Lebesgue (i.e. la surface) de la 1ère bissectrice (resp. du cercle unité, du graphe de la fonction $\scriptstyle\ \varphi,$ ou de la courbe d'équation $\scriptstyle\ \psi=0$ ) sont nulles.

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité : par exemple, si

$Z=\left(\cos \Theta, \sin \Theta\right),$

où $\scriptstyle\ \Theta\$ désigne une variable aléatoire à valeur dans $\scriptstyle\ [0,2\pi],$ p.e. $\scriptstyle\ \Theta\$ suit la loi uniforme sur $\scriptstyle\ [0,2\pi],$ alors $\scriptstyle\ Z\$ ne possède pas de densité car

$\mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=1.$

[modifier] Non-unicité de la densité de probabilité

Si $\scriptstyle\ f\$ et $\scriptstyle\ g\$ sont deux densités de probabilités de la même variable aléatoire $\scriptstyle\ X,$ alors $\scriptstyle\ f\$ et $\scriptstyle\ g\$ sont égales presque partout. Réciproquement, si g est presque partout égale à une densité de probabilité de $\scriptstyle\ X,$ alors g est une densité de probabilité de $\scriptstyle\ X.$ Ainsi une variable aléatoire à densité possède-t-elle toujours une infinité de densités de probabilité : par exemple, en perturbant l'une des densités de $\scriptstyle\ X\$ de manière arbitraire en un nombre fini de points, on obtient encore une densité de $\scriptstyle\ X.$

[modifier] Densité jointe de plusieurs variables aléatoires réelles

On dit que la fonction $\scriptstyle\ g\$ définie de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ est une densité jointe de la suite de variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ \left(Z_1,Z_2,\dots,Z_d\right)\$ si $\scriptstyle\ g\$ est une densité de probabilité du vecteur aléatoire $\scriptstyle\ Z\$ à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d,$ défini par

$Z=\left(Z_1,Z_2,\dots,Z_d\right).$

On peut alors calculer la probabilité d'événements concernant les variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ \left(Z_1,Z_2,\dots,Z_d\right)\$ de la manière suivante :

Exemple :

Si $\scriptstyle\ d=2,$ $\scriptstyle\ \mathbb{P}(Z_2\le Z_1)\$ s'écrit $\scriptstyle\ \mathbb{P}(Z\in A),$ où $\scriptstyle\ A\$ désigne le demi-plan sous la première bissectrice $\scriptstyle\ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y\le x\}.$ On a alors, par définition de la densité,

$\begin{align} \mathbb{P}(Z_2\le Z_1) &=\int_A\,g(z_1,z_2)dz_1\,dz_2, \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\,1_A(z_1,z_2)g(z_1,z_2)dz_1\,dz_2, \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\,1_{z_2\le z_1}g(z_1,z_2)dz_1\,dz_2. \end{align}$

Si par exemple $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2\$ sont indépendants et ont même densité de probabilité $\scriptstyle\ f,$ alors une densité de $\scriptstyle\ Z\$ est $\scriptstyle\ g=f\otimes f\$ , i.e. une densité de $\scriptstyle\ Z\$ est $\scriptstyle\ g\$ défini par $\scriptstyle\ g(z_1,z_2)=f(z_1)f(z_2)\$ . En ce cas,

$\begin{align} \mathbb{P}(Z_2\le Z_1) &=\int_{\mathbb{R}^2}\,1_{z_2\le z_1}f(z_1)f(z_2)dz_1\,dz_2, \\ &=\int_{\mathbb{R}}\,\left(\int_{-\infty}^{z_1}f(z_2)\,dz_2\right)f(z_1)dz_1, \\ &=\int_{\mathbb{R}}F(z_1)f(z_1)dz_1 \\ &=\frac12\left[F^2\right]_{-\infty}^{+\infty}=\frac12. \end{align}$

Si par contre $\scriptstyle\ Z_2=Z_1\$ p.s., le vecteur $\scriptstyle\ (Z_1,Z_2)\$ a les mêmes lois marginales ( $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2\$ ont $\scriptstyle\ f\$ pour densité de probabilité), mais n'a pas la même loi jointe, puisqu'alors $\scriptstyle\ \mathbb{P}(Z_2\le Z_1)=1.$ Ainsi la donnée des densités marginales de $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2,$ seules, ne permet pas de calculer la probabilité d'événements faisant intervenir à la fois $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2,$ comme par exemple l'évènement $\scriptstyle\ \{Z_2\le Z_1\}.$ Pour effectuer le calcul, on utilise ordinairement la loi jointe de $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2,$ définie dans le cas ci-dessus par leur densité jointe.

[modifier] Densité marginale

Soit $\scriptstyle\ Z\$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^2\$ de densité $\scriptstyle\ f_Z\$ et pour $\scriptstyle\ \omega\in\Omega,$ soit $\scriptstyle\ X(\omega)\$ et $\scriptstyle\ Y(\omega)\$ les deux coordonnées de $\scriptstyle\ Z(\omega)\$ . On notera

$\ Z=(X,Y).$

Alors

Propriété — Les variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ possèdent toutes deux des densités, notons les $\scriptstyle\ f_X\$ et $\scriptstyle\ f_Y\$ , et ces densités sont données par

$\begin{align}f_X(x)&= \int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dy,\\f_Y(y)&= \int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dx.\end{align}$

Les densités de probabilités $\scriptstyle\ f_X\$ et $\scriptstyle\ f_Y\$ sont appelées les densités marginales de $\scriptstyle\ f_Z.$

Démonstration

Calculons $\scriptstyle\ \mathbb{E}\left[\varphi(X)\right],$ où $\scriptstyle\ \varphi\$ est une fonction borélienne bornée. Pour cela on peut voir $\scriptstyle\ \varphi(X)\$ comme une fonction de $\scriptstyle\ Z,$ disons $\scriptstyle\ \psi(Z),$ où $\scriptstyle\ \psi=\varphi\circ\text{pr}_1\$ et $\scriptstyle\ \text{pr}_1\$ désigne la projection sur la première coordonnée. Alors

$\begin{align} \mathbb{E}\left[\varphi(X)\right] &=\mathbb{E}\left[\psi(Z)\right] \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\ \psi(z)\,f_Z(z)\,dz \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\ \psi(x,y)\,f_Z(x,y)\,dx\,dy \\ &=\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\ \psi(x,y)\,f_Z(x,y)\,dy\right)\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\ \varphi(x)\,f_Z(x,y)\,dy\right)\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}}\varphi(x)\,\left(\int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dy\right)\,dx. \end{align}$

Cela a lieu pour tout $\scriptstyle\ \varphi\$ borélien borné, car $\scriptstyle\ \psi(Z)=\varphi(X)\$ est borné donc intégrable, et $\scriptstyle\ \mathbb{E}\left[\psi(Z)\right]\$ est donc bien défini. En comparant le premier et le dernier terme de la série d'égalités ci-dessus, on voit que la marginale $\scriptstyle\ \int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dy\$ satisfait la condition requise pour être une densité de probabilité de $\scriptstyle\ X.$ CQFD

Le cas de $\scriptstyle\ Y\$ peut être traité de la même manière.

Plus généralement, si $\scriptstyle\ f\$ définie de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ est une densité jointe de :

$Z=\left(Z_1,Z_2,\dots,Z_d\right),$

on peut calculer une densité $\scriptstyle\ g\$ de (par exemple) $\scriptstyle\ Y=\left(Z_2,Z_5,Z_6\right)\$ de la manière suivante (si $\scriptstyle\ d=8,$ par exemple):

$g(x_2,x_5,x_6) =\int_{\mathbb{R}^5}\ f(x_1,x_2,\dots,x_8)\,dx_1dx_3dx_4dx_7dx_8,$

i.e. en intégrant par rapport à toutes les coordonnées qui ne figurent pas dans le triplet $\scriptstyle\ Y.$ La fonction $\scriptstyle\ g\$ est elle aussi appelée densité marginale ou marginale de $\scriptstyle\ f.$ Une formulation générale serait lourde. La démonstration générale est calquée sur la démonstration de la propriété ci-dessus.

Densité de la médiane de 9 variables i.i.d. (ter) :

La densité jointe des 9 statistiques d'ordre, notées ici $\scriptstyle\ (Z_i)_{1\le i\le 9},$ de l'échantillon $\scriptstyle\ (X_i)_{1\le i\le 9},$ est donnée par :

$g(z)= 9!\ \prod_{i=1}^9 f(z_i)\ 1_{z_1<z_2<z_3<\dots<z_9}.$

Il se trouve que, par définition des statistiques d'ordre, la médiane $\scriptstyle\ M\$ est aussi la 5-ème statistique d'ordre, $\scriptstyle\ Z_5.$ On a donc :

$f_M(z_5)=\int_{\mathbb{R}^8}g(z)dz_1dz_2dz_3dz_4dz_6dz_7dz_8dz_9.$

Ainsi, de proche en proche,

$\begin{align} \int_{\mathbb{R}}g(z)dz_1 &=9!\ F(z_2)\ \prod_{i=2}^9 f(z_i)\ 1_{z_2<z_3<\dots<z_9}, \\ \int_{\mathbb{R}^2}g(z)dz_1\,dz_2 &=\frac{9!}{2!}\ F(z_3)^2\ \prod_{i=3}^9 f(z_i)\ 1_{z_3<\dots<z_9}, \\ \int_{\mathbb{R}^4}g(z)dz_1\,dz_2\,dz_3\,dz_4 &=\frac{9!}{4!}\ F(z_5)^4\ \prod_{i=5}^9 f(z_i)\ 1_{z_5<\dots<z_9}, \\ \int_{\mathbb{R}^4}g(z)dz_1\,dz_2\,dz_3\,dz_4\,dz_9 &=\frac{9!}{4!1!}\ F(z_5)^4\ \left(1-F(z_8)\right)\ \prod_{i=5}^8 f(z_i)\ 1_{z_5<\dots<z_8}, \\ f_M(z_5) &=\frac{9!}{4!4!}F(z_5)^4\left(1-F(z_5)\right)^4f(z_5). \end{align}$

[modifier] Lien entre distribution discrète et distribution continue

La définition ci-dessus permet de représenter la variable associée à une distribution continue de probabilités comme un ensemble de variables discrètes binaires associées à des intervalles [a ; b]^[2].

Il est également possible de représenter certaines variables aléatoires discrètes à l'aide d'une densité de probabilité, par l'intermédiaire de la fonction δ de Dirac.

Par exemple, considérons la variable aléatoire binaire discrète prenant pour valeurs -1 ou 1, avec pour probabilité ½ chacune. Alors la densité de probabilité associée à cette variable est :

$f\left(t \right) = \frac{1}{2} \left( \delta \left( t+1 \right) +\delta\left(t-1\right) \right)$

Plus généralement, si une variable discrète est susceptible de prendre n valeurs parmi les nombres réels, alors la densité de probabilité associée est :

$f\left(t\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nP_i\,\delta\left(t-x_i\right),$

où $x_1, \ldots , x_n$ sont les valeurs discrètes accessibles à la variable et $P_1, \ldots , P_n$ sont les probabilités associées à ces valeurs.

Cette expression permet de déterminer les caractéristiques statistiques telles que l'espérance, la variance et la kurtosis d'une telle variable discrète à partir des formules prévues pour une distribution continue.

En physique, cette description est également utile pour caractériser l'instant initial d'un mouvement brownien.

[modifier] Somme de variables aléatoires indépendantes

La densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes U et V, chacune ayant une densité $f U$ et $f V$ , est donnée par une convolution de ces densités:

$f_{U+V}(x) = \int_{-\infty}^\infty f_U(y) f_V(x - y)\,dy.$

Pour déterminer la densité de la somme de variables indépendantes, on peut aussi passer^[3] par la Fonction génératrice des moments ou la Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. C'est ainsi qu'est démontré le Théorème de la limite centrale.

[modifier] Changement de variable

Notons $\scriptstyle\ f_X\$ la densité de la variable aléatoire réelle $\scriptstyle\ X.$ Il est possible de considérer un changement de variable, dépendant de x. La transformation est la suivante: y = g(x) où la fonction g est monotone. La densité de la transformée $f Y (y)$ est

Théorème — $f_Y(y) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}(y)).$

où g⁻¹ représente la fonction réciproque de g et g' la dérivée de g.

Démonstration

Ce résultat découle du fait que les probabilités sont invariantes par changement de variable:

$F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \le y) = \mathbb{P}(g(X) \le y) = \mathbb{P}(X \le g^{-1}(y)) = F_X( g^{-1}(y))$

En différenciant, on obtient

$f_Y(y) = \left| \frac{dx}{dy} \right| f_X(x) = \left| \frac{1}{g'(x)} \right| f_X(x) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right|f_X(g^{-1}(y)).$

qui s'écrit encore

$\left| f_Y(y)\, dy\right| = \left| f_X(x)\, dx\right|,$

Pour une transformation g non monotone, la densité de probabilité de y est

$f_Y(y) = \sum_{k}^{n(y)} \left| \frac{1}{g'(g^{-1}_{k}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}_{k}(y))$

où n(y) est le nombre de solutions en x de l'équation g(x) = y, et $g^{-1}_{k}(y)$ sont les solutions.

Exemple :

Prenons l'exemple où on prend le carré d'une variable; on sait que:

$F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \le y) = \mathbb{P}(X^2 \le y) = \mathbb{P}(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$

et en dérivant, on trouve

$f_y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\right]$

ce qui est conforme à la formule.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes et références

↑ en effet il faut éviter des phénomènes de type "Courbe de Peano".
↑ Par exemple, une variable valant 1 si $\scriptstyle\ X\$ est dans [a ; b], où 0 sinon.
↑ c'est en fait la même méthode, puisque tout est lié à la Transformée de Fourier: la fonction caractéristique est la transformée de Fourier de la densité.