Diagonale principale (encyclopédie mathématiques)

En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d'ordre 3, qui suit a des 1 sur sa diagonale principale:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Il s'agit en particulier de la matrice identité d'ordre 3.

Ici, la diagonale principale est composée de 1 et on a également 2 diagonales "secondaires" de part et d'autre de la diagonale principale, composées par des 2 et l'autre par des 3.

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

Une matrice qui a tous les coefficients en dehors de la diagonale principale nuls est appelée matrice diagonale.

Les coefficients de la diagonale principale de certaines matrices indiquent si elles sont inversibles ou non, ou donnent les valeurs propres:

une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous les coefficients de la diagonale principale sont non nuls,
une matrice triangulaire a toutes ses valeurs propres sur la diagonale principale.

La trace qui est la somme des coefficients de la diagonale principale, est égale à la somme des valeurs propres.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme de Minkowski • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Diagonale principale

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