Diviseurs de zéro

 Ne pas confondre avec la notion de division par zéro en arithmétique.

En mathématiques, dans un anneau, un diviseur de zéro est un élément non nul dont le produit par un certain élément non nul est égal à zéro^[1].

[modifier] Définition formelle

Soient un anneau et tel que , où est l'élément neutre pour la loi .

On dit que est un diviseur de zéro à gauche dans si^[2]

On dit que est un diviseur de zéro à droite dans si

On dit que est un diviseur de zéro dans si est un diviseur de zéro à gauche dans ou un diviseur de zéro à droite dans ^[3].

Un élément de est dit régulier s'il n'est ni nul, ni diviseur de zéro.

Un diviseur de zéro ne peut pas être inversible ; en particulier, un corps commutatif (ou même un corps gauche) ne contient pas de diviseur de zéro. En effet, soit un élément d'un anneau diviseur de zéro. On suppose que est inversible. Alors par définition il existe non nul tel que , et en composant par à gauche il vient , contradiction.

[modifier] Anneau intègre

Un anneau commutatif est dit intègre s'il n'est pas réduit à zéro et n'admet aucun diviseur de zéro.

[modifier] Exemples

[modifier] Entiers relatifs et nombres réels

L'anneau Z des entiers relatifs est intègre, ainsi que le corps commutatif des nombres rationnels, ou réels, ou complexes (tout corps de manière générale).

[modifier] Anneau Z / n Z

Dans l'anneau , la classe de 4 est un diviseur de zéro, car est congru à 0 modulo 6, alors que 3 et 4 ne sont pas congrus à 0 modulo 6.

Plus généralement, dans l'anneau Z / n Z, les diviseurs de zéro sont exactement les classes modulo des entiers relatifs qui ne sont pas premiers avec . Cette affirmation est une simple reformulation du théorème de Bachet-Bézout.

[modifier] Matrices

L’anneau des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes réelles contient des diviseurs de zéro. Par exemple, la matrice

est un diviseur de zéro, en effet elle est non nulle, et nous avons

Plus généralement les diviseurs de zéro à droite dans une algèbre de matrices à coefficients dans un corps sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives. Lorsque , les diviseurs de zéro à gauche et à droite coincident et ce sont les matrices non-inversibles.

[modifier] Algèbre de fonctions

L'ensemble des fonctions de dans lui-même est un anneau qui admet des diviseurs de zéro. En effet si nous prenons la fonction caractéristique des rationnels ainsi que la fonction caractéristique des irrationnels, il est clair que ces deux fonctions sont différentes de la fonction nulle, pourtant leur produit donne bien la fonction nulle, car un nombre réel est rationnel ou bien irrationnel.

Plus généralement, si est une algèbre associative, désignons par l'algèbre des fonctions , où est un ensemble non vide quelconque. Les diviseurs de zéro de sont exactement les fonctions non nulles admettant zéro ou un diviseur de zéro dans leur image.

[modifier] Notes et références