Divisibilité

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La notion de divisibilité fonde l'arithmétique.

Cet article traite de la divisibilité dans l'ensemble des nombres entiers ().

[modifier] Définition

Soient a et b deux entiers.

On dit que a divise b (ou a est un diviseur de b, ou b est un multiple de a), et on note a | b, lorsque :

[modifier] Propriétés de la divisibilité

Soient a, b et c trois entiers.

• a | a (réflexivité)
• -a | a
• a | 0
• 1 | a
• (transitivité)
• 
• (conservation par combinaison linéaire)
• a | bc et a est premier avec b, alors a | c (lemme de Gauss permettant de prouver l'unicité de la factorisation)
• (antisymétrie)

[modifier] Relation d'ordre

La divisibilité est une relation d'ordre partielle sur mais pas sur .

Propriétés de cette relation d'ordre :

• 0 est le maximum de .
• 1 est le minimum de
• Un nombre premier est minimal dans
• Le est la borne inférieure de l'ensemble
• Le est la borne supérieure de l'ensemble

muni de la divisibilité, du pgcd et du ppcm est un treillis.

[modifier] Voir aussi

• Critères de divisibilité
• Nombres premiers
• Plus grand commun diviseur
• Division euclidienne
• Congruence sur les entiers