Fermé (topologie)

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En topologie, un fermé est un ensemble dont le complémentaire est un ouvert.

[modifier] Définition

Soit (E,T) un espace topologique, où E est un ensemble et T un ensemble de sous-ensembles de E.

Un sous-ensemble F de E est un fermé sur (E,T) si son complémentaire dans E (c’est-à-dire l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas éléments de F) est un ouvert sur (E,T), c’est-à-dire un élément de T.

[modifier] Propriétés

• E et l'ensemble vide sont des fermés. Ceci permet de montrer qu'il peut exister des ensembles à la fois ouverts et fermés. Dans un espace connexe, E et l'ensemble vide sont par définition les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés.
• Toute réunion d'une classe finie de fermés est un fermé.
• Toute intersection (finie ou infinie) de fermées est un fermé.
• La propriété d'intersection permet de définir l'adhérence d'un ensemble A dans un espace E, comme étant le plus petit fermé de E dont A est un sous-ensemble ; de façon plus spécifique, l'adhérence de A est l'intersection de tous les fermés contenant A.
• F est un fermé si et seulement si tout point d'accumulation de F est un élément de F.
• La frontière d'un fermé est incluse dans celui-ci.

[modifier] Voir aussi

• Espace topologique
• Ouvert
• Topologie
• Théorème des fermés emboités