Formule intégrale de Cauchy (encyclopédie mathématiques)

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La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Sommaire

[modifier] Expression

Soient

$U$ un ouvert simplement connexe du plan complexe ℂ,
$f : U$ →ℂ une fonction holomorphe sur $U$ ,
$γ$ un chemin fermé inclus dans $U$ et
$z$ un point de $U$ n'appartenant pas à ce chemin.

On a alors la formule suivante :

$f(z)\cdot Ind_\gamma (z) = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over \xi-z}~\mathrm d\xi$

où $Ind γ (z)$ désigne l'indice du point $z$ par rapport au chemin $γ$ . Cette formule est particulièrement utile dans le cas où $γ$ est un cercle C orienté positivement, contenant $z$ et inclus dans $U$ . En effet, l'indice de $z$ par rapport à C vaut alors 1, d'où :

$f(z) = {1 \over 2\pi i} \int_C {f(\xi) \over \xi-z}~\mathrm d\xi.$

[modifier] Principale conséquence

Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit $a\in U$ , $r>0$ tel que $D(a,r)\subset U$ .

Soit $z\in D(a,r)$ , et $\gamma$ le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par $\theta\in[0,2\pi]$ .

On a pour tout $\theta\in[0,2\pi]$ : $\left|\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}\right|=\frac{|z-a|}{r}<1$ ,
ce qui prouve la convergence uniforme sur $[0,2\pi]$ de la série de terme général $\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}}$ vers

$\frac{1}{\gamma(\theta)-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}}=\frac{1}{\gamma(\theta)-z}$ ,

et comme $f\circ \gamma$ est continue sur $[0,2\pi]$ compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série

$\sum_{n=0}^\infty f(\gamma(\theta))\cdot\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}}$ sur $[0,2\pi]$ ,
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r):

$f(z) = \sum _{n=0}^\infty c_n(z-a)^n$ avec $c_n= {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi$

et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.

On remarque aussi que, en donnant une expression aux coefficients du développement de f, cette formule explicite les dérivées n-ièmes de f en a:

$f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi$ .

[modifier] Démonstration de la formule

On définit une fonction $g$ par :

$g(\xi)=\begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}& \text{si }\xi\neq z,\\ f'(z)& \text{si }\xi=z.\end{cases}$

Cette fonction est continue sur $U$ et holomorphe sur $U\{z0$ }. On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy :

$\int_\gamma g(\xi)~\mathrm d\xi=0.$

En remplaçant $g (ξ)$ par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu.

[modifier] Autres conséquences

Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus.

[modifier] Article connexe

Intégrale de contour (en)

[modifier] Référence

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

v · d · m Travaux d’Augustin Louis Cauchy
Règle de Cauchy • Produit de Cauchy • Suite de Cauchy • Critère de Cauchy • Théorème de Cauchy-Lipschitz • Équations de Cauchy-Riemann • Inégalité de Cauchy • Théorème de Cauchy • Loi de Cauchy • Formule de Binet-Cauchy
Théorème de la moyenne de Cauchy • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa • Théorème intégral de Cauchy • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Formule intégrale de Cauchy

Formule intégrale de Cauchy

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[modifier] Principale conséquence

[modifier] Démonstration de la formule

[modifier] Autres conséquences

[modifier] Article connexe

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