Géométrie riemannienne

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La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit le concept fondateur de variété. Elle étend les méthodes de la géométrie analytique en utilisant des coordonnées locales pour effectuer l'étude d'espaces courbes sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur.

Les concepts les plus notables de la géométrie riemannienne sont la courbure de l'espace étudié et les géodésiques, courbes résolvant un problème de plus court chemin sur cet espace. Plus généralement, la géométrie riemannienne a pour but l'étude locale et globale des variétés riemanniennes, c'est-à-dire les variétés différentielles munies d'une métrique riemannienne, voire des fibrés vectoriels riemanniens.

Il existe aussi des variétés pseudo-riemanniennes, généralisant les variétés riemanniennes, qui en restent assez proches par bien des aspects, et qui permettent notamment de modéliser l'espace-temps en physique.

[modifier] Histoire

Le premier pas de la géométrie riemannienne remonte aux travaux de Bernhard Riemann au dix-neuvième siècle et en particulier lors d'une conférence inaugurale intitulé Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen^[1] (Soit en français: Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie ). C'est une généralisation directe de la géométrie différentielle des surfaces de Gauss en n dimensions. Ces nouvelles idées ont mené directement à la géométrie non euclidienne et à la relativité générale par exemple.

La géométrie riemannienne s'est fortement développée durant la seconde moitié du XX^e siècle. Mais les premiers travaux dans ce domaine se confondent avec la naissance du concept de variété différentielle.

[modifier] Le cadre

Prenons une variété différentielle, on peut définir une métrique riemannienne en chaque point de celle-ci. Ceci permet de définir une variété riemannienne. Cette métrique permet de caractériser localement la géométrie de la variété et donc de donner une notion de distance, surface, volume etc. Le fait qu'elle dépende continument de sa position sur la variété permet de considérer des variété très complexes et de pouvoir définir des notions de géodésiques et de courbure par exemple (très utilisé en relativité générale).

• Problèmes de plus courts chemins
  • Géodésiques : aspects local et global
  • Transport parallèle

[modifier] Courbure et topologie

• Courbure positive, théorème de Toponogov (en), théorème de Cheeger-Gromoll (en), théorème de Synge
• Courbure négative, théorème de Cartan-Hadamard (en)
• Courbure constante, forme d'espace (en)

[modifier] Notes et références

• (en) Jürgen Jost (de), Riemannian Geometry and Geometric Analysis [détail des éditions]
• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail des éditions]
  Comme l'indique son titre, le grand géomètre français nous convie ici à une longue (824 pages) promenade panoramique dans le monde de la géométrie riemannienne ; les divers résultats sont pour la plupart donnés sans démonstrations détaillées, mais avec les références idoines pour le lecteur qui souhaiterait mettre « les mains dans le cambouis Â» ; le dernier chapitre donne les bases techniques du domaine.