Groupe symétrique (encyclopédie mathématiques)

Ne doit pas être confondu avec Groupe de symétrie.

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. Un sous-groupe du groupe symétrique de E est appelé un groupe de permutations (de E).

Sommaire

[modifier] Définition

Soit $E$ un ensemble. On appelle groupe symétrique de $E$ l'ensemble des applications bijectives de $E$ sur $E$ muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note $S(E)$ ou $\scriptstyle\mathfrak{S}(E)$ (ce caractère est un S Fraktur).

Un cas particulier courant est le cas où $E$ est l'ensemble fini {1, 2, … , n}, n étant un entier naturel ; on note alors $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ ou $S_n$ ^[1] le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ sont appelés permutations et $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ est appelé groupe des permutations de degré n ou groupe symétrique d'indice n.

Si deux ensembles sont équipotents alors leurs groupes symétriques sont isomorphes. En effet, si f est une bijection de E dans F, alors l'application de S(E) dans S(F) qui à σ associe f∘σ∘f^-1 est un isomorphisme. En particulier si $E$ est un ensemble fini à $n$ éléments, alors $\scriptstyle\mathfrak{S}(E)$ est isomorphe à $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ . En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ pour en déduire celles du groupe $\scriptstyle\mathfrak{S}(E)$ . C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ .

[modifier] Origine et importance

Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe.

Un théorème de Cayley assure que tout groupe peut être considéré comme sous-groupe d'un groupe symétrique.

[modifier] Propriétés

Le groupe $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ est d'ordre $n!$ .

Cette propriété peut être prouvée en dénombrant les permutations. Il est également possible de faire une démonstration par récurrence, en donnant ainsi un lien entre les groupes symétriques de degrés n–1 et n.

Démonstration par récurrence sur $n$

$\scriptstyle\mathfrak{S}_0$ possède un seul élément.

Supposons que $\scriptstyle\mathfrak{S}_{n-1}$ possède $(n-1)!$ éléments. Considérons l'application

$\varphi : \left\lbrace \begin{array}{ccc} \mathfrak{S}_n &\to &\{1,\ldots,n\}\times \mathfrak{S}_{n-1} \\ \sigma & \mapsto & (\sigma(n), \sigma') \end{array} \right.$

où $\sigma'$ est la restriction à $\{1,\ldots,n-1\}$ de la permutation $(n, \sigma(n)) \sigma$ . $\sigma'$ appartient bien à $\scriptstyle\mathfrak{S}_{n-1}$ car $\sigma'(n)=n$ donc $\sigma'(i) < n$ pour tout $1\leq i < n$ .

On montre la bijectivité de $\varphi$ en exhibant l'application réciproque. On en déduit que le cardinal de $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ est égal à celui de $\scriptstyle\{1,\ldots,n\}\times \mathfrak{S}_{n-1}$ c'est-à-dire $n.(n-1)!=n!$ .

Le groupe symétrique est isomorphe au groupe formé par les matrices de permutation muni de la loi produit : ce sont les matrices ayant un unique coefficient 1 dans chaque ligne et chaque colonne, tous les autres étant nuls.

[modifier] Générateurs du groupe symétrique

Une transposition est un 2-cycle, c'est-à-dire une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On note par $(i,j)$ la transposition qui échange l'élément $i$ avec l'élément $j$ .

Il existe un algorithme permettant de décomposer une permutation en produit de transpositions. Ainsi l'ensemble des transpositions forme un système de générateurs de $\scriptstyle{\mathfrak S}_n$

Il est possible de se limiter aux transpositions de la forme $\tau_i=(i,i+1)$ puisque, pour $i<j$ , il est possible de décomposer

$(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)\;$

Ces générateurs permettent de donner une présentation du groupe symétrique, avec les relations

${\tau_i}^2 = 1\,$ ,
$\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si } |j-i| > 1\,$ ,
${(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.\,$

Il s'agit donc d'un cas particulier de groupe de Coxeter.

Il est possible également de prendre pour système de générateurs les $n-1$ transpositions de la forme $(1,i)$ pour $i>1$ . Enfin on peut se contenter de deux générateurs : la transposition $(1,2)$ et le cycle $(1,2,$ … $,n)$ .

[modifier] Signature

On suppose dans cette section que l'entier $n$ est supérieur ou égal à 2.

Article détaillé : Signature d'une permutation.

Toute permutation se décompose en un produit de transpositions. Ce produit n'est pas unique, mais la parité du nombre de termes d'un tel produit ne dépend que de la permutation. On parle alors de permutation paire ou impaire.

La signature d'une permutation $\sigma$ est l'application notée ${\mathrm sgn}$ ou $\varepsilon$ et définie par :

$\operatorname{sgn}(\sigma)=\varepsilon(\sigma)=\left\{\begin{array}{cl} +1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est paire } \\ -1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est impaire } \end{array}\right.$

Avec cette définition, la signature est un morphisme de groupes de $\scriptstyle(\mathfrak S_n,\circ)$ dans $\scriptstyle\left(\{-1,1\},\times\right)$ . Le noyau de ce morphisme, c’est-à-dire l'ensemble des permutations paires, est appelé le groupe alterné de degré n, noté $\scriptstyle\mathfrak{A}_n$ (ce caractère est un A Fraktur). $\scriptstyle\mathfrak{A}_n$ est donc un sous-groupe normal de $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ et le groupe quotient $\scriptstyle\mathfrak S_n/\mathfrak A_n$ est isomorphe à l'image {-1,1} du morphisme signature. Par conséquent, $\scriptstyle\mathfrak A_n$ est d'indice 2 dans $\scriptstyle\mathfrak S_n$ , donc d'ordre $n!/2$ . (Ou plus concrètement : $\scriptstyle\mathfrak{A}_n$ et son complémentaire dans $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ sont de même cardinal car pour $t$ transposition de $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ , $f:\sigma\longmapsto t \circ \sigma$ est une bijection de $\scriptstyle\mathfrak{A}_n$ dans son complémentaire.)

De plus, la suite exacte courte

$1\to\mathfrak A_n\to\mathfrak S_n\to\{-1,1\}\to 1$

est scindée à droite, donc $\scriptstyle\mathfrak S_n$ est un produit semi-direct de $\scriptstyle\mathfrak A_n$ par le groupe cyclique à deux éléments.

[modifier] Classes de conjugaison

Si $\sigma$ est une permutation, sa classe de conjugaison est l'ensemble des conjuguées de $\sigma$

$C(\sigma)=\{\tau \circ \sigma\circ \tau^{-1}, \tau \in {\mathfrak S}_n\}$

Les conjuguées de $\sigma$ sont les permutations dont la décomposition en produit de cycles à supports disjoints a la même structure que celle de $\sigma$ : même nombre de cycles de chaque longueur.

Ainsi, si on considère dans $\scriptstyle{\mathfrak S}_5$ les différentes classes de conjugaison, on trouve celle de l'identité, des transpositions (ab), les permutations composées de deux transpositions de supports disjoints (ab)(cd), les cycles d'ordre 3 (abc), les permutations composées d'un cycle d'ordre 3 et d'un d'ordre 2 : (abc)(de), puis les cycles d'ordres 4 : (abcd) et 5 : (abcde).

Les permutations (1,2,3)(4,5) et (1,3,4)(2,5) sont dans la même classe de conjugaison et la permutation (1,3)(2,5) non.

Démonstration

Soit $\sigma=c_1$ … $c_m$ une permutation de $\scriptstyle{\mathfrak S}_n$ décomposée en produit de cycles disjoints.

Pour toute permutation $\tau$ , la conjuguée $\sigma'=\tau\sigma\tau^{-1}$ est le produit des $c'_i=\tau c_i\tau^{-1}$ , qui sont des cycles disjoints de mêmes longueurs que les $c_i$ . En effet, pour tout cycle $c=(a_1,$ … $,a_k)$ , la permutation conjuguée $\tau c\tau^{-1}$ n'est autre que le cycle $(\tau(a_1),$ … $,\tau(a_k))$ .
Réciproquement, soit $\sigma'=c'_1$ … $c'_m$ une permutation décomposable en produit de cycles disjoints $c'_i$ de mêmes longueurs respectives que les $c_i$ . Alors $\sigma'$ est conjuguée de $\sigma$ , par n'importe quelle permutation $\tau$ qui envoie (en respectant l'ordre, à permutation circulaire près) le support de chaque $c_i$ sur celui de son homologue $c'_i$ .

Le nombre de classes de conjugaisons est donc égal au nombre de « partages » de l'entier $n$ , et si la décomposition d'une permutation contient $k 1$ 1-cycles, … , $k m$ $m$ -cycles, alors le nombre de ses conjuguées vaut^[2] :

$\frac{n!}{1^{k_1}k_1!\ldots m^{k_m}k_m!}.$

(On voit apparaître un coefficient multinomial.)

[modifier] Propriétés issues de l'étude du groupe alterné

Article détaillé : Groupe alterné.

Le résultat fondamental dans l'étude du groupe alterné $\scriptstyle{\mathfrak A}_n$ est que celui-ci est un groupe simple pour $n$ différent de 4.

Il en résulte notamment que le groupe dérivé de $\scriptstyle{\mathfrak S}_n$ est $\scriptstyle{\mathfrak A}_n$ . Pour $n$ ≥5, c'est là le seul sous-groupe distingué propre de $\scriptstyle{\mathfrak S}_n$ .

$\scriptstyle\mathfrak S_n$ est résoluble si et seulement si $n$ ≤ 4, ce qui a d'importantes conséquences sur la résolubilité par radicaux des équations polynomiales.

[modifier] Propriétés diverses

$\scriptstyle\mathfrak{S}_6$ est le seul groupe symétrique dont le groupe d'automorphismes extérieurs est non trivial.
Tout sous-groupe d'indice n de $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ est isomorphe à $\scriptstyle\mathfrak{S}_{n-1}$ . Si n est différent de 6, un tel sous-groupe est forcément le stabilisateur d'un élément de { 1, … , n }.
Par ailleurs, $\scriptstyle\mathfrak{S}_6$ possède un sous-groupe d'indice 6 qui n'est pas le stabilisateur d'un point.

Démonstration

$S_5$ contient vingt-quatre 5-cycles, donc six sous-groupes d'ordre 5. L'action par conjugaison de $S_5$ sur ces sous-groupes fournit donc un morphisme de $S_5$ dans $S_6$ . Ce morphisme est injectif car son noyau est un sous-groupe normal de $S_5$ distinct de $S_5$ et $A_5$ (car, par exemple, $(123)(12345)(321)=(14523)$ n'est pas une puissance de $(12345)$ ). Enfin, d'après les théorèmes de Sylow, cette action est transitive donc ne fixe aucun point.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Automorphismes des groupes symétriques et alternés (en)
Groupe complet
Groupe symétrique généralisé (en)
Groupe de tresses
Représentations de S₃ et S₄
Tableau de Young
Théorie des représentations du groupe symétrique (en)

[modifier] Bibliographie

Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]

[modifier] Notes et références

↑ R. Goblot, Algèbre linéaire, Paris, 2005, p. 58, utilise la notation $S_n$ . Les auteurs anglo-saxons écrivent en général $S_E$ au lieu de $\scriptstyle\mathfrak{S}(E)$ et $S_n$ au lieu de $\scriptstyle\mathfrak{S}_n$ .
↑ (en) William Fulton et Joe Harris (de), Representation Theory, A First Course, Springer, coll. « GTM » (n^o 129), 1991, 3^e éd. (ISBN 978-0-387-97495-8), p. 55

Groupe symétrique