Hermitien

Hermitien : encyclopédie mathématiques

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Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.

Sommaire

[modifier] Produit scalaire hermitien et espace hermitien

Articles détaillés : Produit scalaire et Espace hermitien.

Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si

Quels que soit les vecteurs X, Y, Z , et a, b des scalaires :

f est semi-linéaire par rapport à la première variable

$\ f(aX+Y,Z)=\overline{a}f(X,Z)+f(Y,Z)$ , et

f est linéaire par rapport à la deuxième variable

$\ f(X,bY+Z)=bf(X,Y)+f(X,Z)$ .

Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus $f(X,Y)=\overline{f(Y,X)}$ .

Elle est dite hermitienne définie positive si $f(X,X)>0\,$ pour tout vecteur $X\,\not=0\,$ .

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire hermitien.

Les deux exemples de base d'espaces munis de formes hermitiennes sont $\mathbb{C}^n\,$ , avec

$f(U,V)=\sum_{i=1}^n\overline{u_i}{v_i}$

et $L^2(I)\,$ pour un intervalle $I\subset\R\,$ , avec

$f(g,h)=\int_I\overline{g(t)}h(t)dt$

(On considère des fonctions à valeurs complexes : En théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les exponentielles complexes ( $e 2 i π n x$ ) qu'avec les fonctions réelles sinus et cosinus, ce qui explique l'intervention de la notion de forme hermitienne dans la décomposition spectrale de Fourier.)

Les deux propriétés de base d'un produit scalaire réel subsistent :

l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
$x\mapsto\sqrt{f(x,x)}$ est une norme (elle vérifie l'inégalité triangulaire).

[modifier] Opérateur hermitien

Article détaillé : Endomorphisme autoadjoint.

Un opérateur u d'un espace hermitien E est dit hermitien si :

$\forall x \in E, \forall y \in E, (u(x)|y) = (x|u(y))$

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Dans une base orthonormale, la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de sa conjuguée, on dit que la matrice est hermitienne (ou auto-adjointe). Notons : $A^{\dagger} = {}^t(\bar{A})$ . Alors si $A = A^{\dagger}$ , A est la matrice d'un opérateur hermitien.

[modifier] Matrice hermitienne

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

la matrice est égale à la matrice transconjuguée (matrice transposée de la matrice conjuguée).
En d'autres termes, $(a_{i,j}) = (\overline{a_{j,i}})$

Exemple: $A=\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix}$ est une matrice hermitienne :; $\overline{A}=\begin{pmatrix}3&-i&5i\\i&-2&5\\ -5i&5&10\end{pmatrix}$ et $(\overline{A})^T=\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix}=A$

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice hermitienne est orthogonalement diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles ; ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.

[modifier] Polynômes orthogonaux d'Hermite

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation uniforme des fonctions. En physique, on les retrouve dans la résolution de l'équation de la chaleur, mais aussi en mécanique quantique où ils donnent les fonctions d'ondes de l'oscillateur harmonique.

La suite des polynômes d'Hermite, notés $H n$ , est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

$<\! f,g\! >\, = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)\,g(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}}{dx}$ .

Ces polynômes sont définis de telle manière que $H n$ soit de degré n, le premier d'entre eux étant $H 0 = 1$ .

Cette suite satisfait les relations suivantes :

$H^{}_{n+1}(x)-2x\,H_n(x)+2n\,H_{n-1}(x)=0$
$H^{'}_n(x)=2n\,H_{n-1}(x)$
$H_n^{''} - 2x\,H_n^{'} + 2n\,H_n = 0$
$H_n(x)=(-1)^{n}\mathrm{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(\mathrm{e}^{-x^2}\right)$

[modifier] Constantes d'Hermite

L'empilement de n-hypersphères (jusqu'à n=8) le plus dense, en dimension n, donne des structures se rapprochant des n-simplexes (c'est-à-dire triangle, tétraèdre, etc... mais aussi hexagone ou cuboctaèdre). Ces n-simplexes peuvent être entre autres caractérisés par un n-hypervolume ou des nombres: ainsi, les nombres triangulaires sont de la forme $a (a + 1) / 2$ , les nombres tétraédriques: $a (a + 1)(a + 2) / 6$ , etc... la limite du rapport "nombre" sur l'hypervolume, pour "a" tendant vers

$+\infty$ , élevée à la puissance 2/n, donne les constantes d'Hermite. Cette définition n'est cependant pas rigoureuse.

D'autres informations sur [1]

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire

Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme symplectique • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz

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