Identité remarquable (mathématiques élémentaires)

Identité remarquable (mathématiques élémentaires) : encyclopédie mathématiques

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On appelle identités remarquables, en mathématiques, les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité de la multiplication, en développant et factorisant des expressions.

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

Second degré

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\,$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2\,$

Pour a, b et c trois nombres réels (ou plus généralement trois éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\,$

$(a+b+c)(-a+b+c) = -a^2 + b^2 + c^2 + 2bc\,$

$(a+b+c)(a-b+c) = a^2 - b^2 + c^2 + 2ca\,$

$(a+b+c)(a+b-c) = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab\,$

Troisième degré

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,$

$a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)\,$

$a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)\,$

Sommaire

[modifier] Utilité

Les identités remarquables sont une sorte de formule magique pour rendre les factorisations beaucoup plus simples. Bien connaître ses identités remarquables permet d'obtenir un gain de vitesse important ! Face à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquables sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l'expression à factoriser. Elles permettent aussi de simplifier considérablement des équations.

[modifier] Exemple

Pour calculer mentalement un carré, l'expression

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,$

peut être utilisée facilement

Ainsi, le carré de 27, peut être considéré comme le carré de 20 + 7

Par l'identité, nous trouvons que c'est $202$ + $72$ + 2×20×7, soit 400 + 49 + 280 = 729

[modifier] Démonstrations algébriques

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\,$ ( $ab = ba\,$ )

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\,$

$(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\,$

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)\,$

$(a + b + c)^2 = a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2\,$ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \,$

$(a + b + c)(-a + b + c) = -a^2 + ab + ac - ba + b^2 + bc - ca + cb + c^2\,$ $(a + b + c)(-a + b + c) = -a^2 + b^2 + c^2 + 2bc\,$

$(a + b + c)(a - b + c) = a^2 - ab + ac + ba - b^2 + bc + ca - cb + c^2 \,$ $(a + b + c)(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2 + 2ca\,$

$(a + b + c)(a + b - c) = a^2 + ab - ac + ba + b^2 - bc + ca + cb - c^2 \,$ $(a + b + c)(a + b - c) = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab\,$

$(a + b)^3 = (a + b)^2 (a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 +a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,$

$(a - b)^3 = (a - b)^2 (a - b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - 2a^2b + ab^2 -a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,$

$(a + b) (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3\,$

L'identité avec $(a^3 - b^3)\,$ s'obtient de celle avec $(a^3 + b^3)\,$ en remplaçant $b\,$ par $-b\,$ .

[modifier] Démonstrations géométriques

Carré de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide et aussi (Maths élémentaire d'Euclide). La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers éléments du formulaire.
1. On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (a²), des aires des rectangles bleus (ab pour chacun) et de l'aire du carré vert (b²).
2. On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré vert vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire a² deux rectangles jaunes et bleus d'aire ab et en rajoutant une fois b² car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.