K-théorie (encyclopédie mathématiques)

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Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch, fondateurs de la K-théorie topologique (en)

En mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la K-théorie topologique (en) sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique (en).

Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Après ses méthodes ont été utilisées dans beaucoup de sujets comme la géométrie algébrique, l'algèbre, théorie des nombres, théorie des opérateurs, etc.

Sommaire

[modifier] Histoire

C'est Alexandre Grothendieck qui a fait la première construction d'un groupe de K-théorie dans son travail sur le théorème maintenant connu comme le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch (en). Il a introduit la complétion du monoïde de faisceaux de groupes abéliens avec la somme directe en utilisant des inverses formels. Cette idée a été reprise par Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch pour définir le groupe $K(X)$ d'un espace topologique, en faisant la même construction pour les classes d'isomorphisme de fibrés vectoriels. Cette construction a été la première « théorie cohomologique extraordinaire » en topologie algébrique. Son utilisation a été fondamentale pour la démonstration du célèbre « théorème de l'indice » de Michael Atiyah et Isadore Singer, travail qui a fait obtenir au premier auteur la Médaille Fields en 1966, et aux deux, le prix Abel en 2004.

Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à énoncer la conjecture de Serre : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin (en) en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs $K^n$ , en utilisant de la théorie homotopique.

[modifier] Périodicité de Bott

$K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2),$ et $K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2;$ $H$ $S^2=\mathbb CP^1$ .
$\tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X)$
$\Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z$ .

[modifier] Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

$A$	$K_0(A)$	$K_1(A)$
$\C$	$\Z$	$0$
$\mathbb M_n$	$\Z$	$0$
$\mathbb K$	$\Z$	$0$
$\mathbb B$	$0$	$0$
$\mathbb B/\mathbb K$	$0$	$\Z$
$C_0(\R^{2n})$	$\Z$	$0$
$C_0(\R^{2n+1})$	$0$	$\Z$
$C(\mathbb T^n)$	$\Z^{(2^{n-1})}$	$\Z^{(2^{n-1})}$
$C(S^{2n})$	$\Z^2$	$0$
$C(S^{2n+1})$	$\Z$	$\Z$
$A_\theta$	$\Z^2$	$\Z^2$
$C_r^*(F_n)$	$\Z$	$\Z^n$
$\mathcal T$	$\Z$	$0$

où

$\mathbb M_n$ est l'ensemble des matrices complexes de dimension $n$ ;
$\mathbb K$ est l'ensemble des opérateurs compacts d'un Hilbert de dimension infinie ;
$\mathbb B$ est l'ensemble des applications linéaires bornées d'un Hilbert de dimension infinie ;
$C_0(\R^{2n})$ est l'ensemble des fonctions continues de $\R^{2n}$ qui admettent une limite nulle à l'infini ;
$\mathbb T^n$ est le tore de dimension $n$ ;
$S^n$ est la sphère de dimension $n$ ;
$A_\theta$ est le tore non commutatif associé au nombre irrationnel $\theta$ ;
$C_r^*(F_n)$ est la C*-algèbre réduite (en) du groupe libre $F_n$ sur n éléments ;
$\mathcal T$ est l'algèbre de Toeplitz.

Notons que le tore non commutatif et le tore (commutatif) de dimension 2 ont la même K-théorie.

La notion de tore non commutatif se généralise facilement aux dimensions supérieures. Ces tores non commutatifs de dimensions supérieures ont la même K-théorie que leurs analogues commutatifs.

[modifier] Fondateurs

Alexandre Grothendieck
Michael Atiyah
Friedrich Hirzebruch
Jean-Pierre Serre
Max Karoubi (de)
Daniel Quillen

[modifier] K-théorie et physique

En théorie des cordes, la K-théorie a fourni une bonne description des charges permises de D-branes.

[modifier] Références

(en) N. E. Wegge-Olsen (en), K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993
(en) M. Pimsner et D.-V. Voiculescu, « K-groups of reduced crossed products by free groups », dans J. Operator Theory, vol. 8, n° 1, 1982, p. 131–156

[modifier] Liens externes

(en) Le livre d'Allen Hatcher (en) Vector Bundles & K-Theory est disponible gratuitement en formats PDF et PostScript.
(en) K-theory de PlanetMath
(en) Examples of K-theory groups de PlanetMath
(en) Algebraic K-theory de PlanetMath
(en) Examples of algebraic K-theory groups de PlanetMath
(en) Fredholm module de PlanetMath
(en) K-homology de PlanetMath

K-théorie

Sommaire

[modifier] Histoire

[modifier] Périodicité de Bott

[modifier] Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

[modifier] Fondateurs

[modifier] K-théorie et physique

[modifier] Références

[modifier] Liens externes

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