Lemme de Gauss

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Un lemme de Gauss est utilisé en théorie des nombres dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique ^[1].

Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p.

On considère les entiers

et leurs plus faibles résidus modulo m.

Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors

où est le symbole de Legendre.

Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant

D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.

[modifier] Preuve

Une preuve assez simple de ce lemme peut être déduite du principe utilisé pour la démonstration du petit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons le produit suivant:

modulo p de 2 manières différentes.

Premièrement, ce produit vaut:

Le second calcul est plus délicat. Si x est un résidu non nul modulo p, définissions la "valeur absolue" de x comme

Comme n dénombre les multiples ka se trouvant dans le second intervalle, et que pour ces multiples, −ka se trouve dans le premier intervalle, on a:

Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, ..., (p−1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra = ±sa, et donc r = ±s (parce que a est inversible modulo p), sonc r = s car car ils appartiennent tous 2 a l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p−1)/2. Mais il y en a exactement (p−1)/2, donc cette séquence représente une permutation des entiers 1, 2, ..., (p−1)/2. On obtient

En comparant avec notre premier calcul, on peut supprimer les facteurs non nuls:

ce qui nous donne

a^{(p − 1) / 2} = ( − 1)ⁿ.

Ceci est le résultat souhaité, car la partie de gauche n'est qu'une réécriture du symbole de Legendre (a/p).

[modifier] Références

[modifier] Liens externes

• Une démonstration en ligne
• Introduction to Number Theory, Apostol, Springer.