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Limites de référence



Limites de référence : encyclopédie mathématiques

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Cette page est une annexe de l'article Limite (math√©matiques √©l√©mentaires), con√ßue pour √™tre une liste la plus compl√®te possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout o√Ļ il y a lieu d'√©tudier une limite, c'est-√†-dire aux bornes du domaine de d√©finition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition D \,\! donc si a \in D \,\!, on a \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!.

Fonctions polyn√īmes et rationnelles[modifier | modifier le code]

Fonctions constantes[modifier | modifier le code]


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \lambda \\
     \end{array}
avec \lambda\in\R
  • \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda \,\!

Mon√īmes...[modifier | modifier le code]


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & x^n \\
     \end{array}
avec n\in\N^*
  • En +\infty \,\! : \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \,\!
  • En -\infty \,\! :
    • Pour n pair : \lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\,\!
    • Pour n impair : \lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\,\!

...et leurs inverses[modifier | modifier le code]


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R^* & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \cfrac{1}{x^n} \\
     \end{array}
avec n\in\N^*
  • En \pm \infty \,\! : \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \,\!
  • En 0 \,\! les fonctions ne sont pas d√©finies :
    • Pour n pair : \lim_{x \to 0\atop x \neq 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!
    • Pour n impair :
      • \lim_{x \to 0\atop x < 0} \frac{1}{x^n} = -\infty \,\!
      • \lim_{x \to 0\atop x > 0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!

Polyn√īmes[modifier | modifier le code]

Les limites en \pm\infty \,\! d'une fonction polyn√īme P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,\! avec a_n \neq 0 \,\! sont les m√™mes que celles du terme de plus haut degr√© a_n x^n \,\!, dit terme pr√©dominant.

On se rapporte donc √† l'√©tude des mon√īmes, et on conclut selon la parit√© de n \,\! et le signe de a_n \,\!.

Mon√īmes de puissance quelconque[modifier | modifier le code]

Puissances positives :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & x^\alpha \\
     \end{array}
avec \alpha>0
  • \lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty
  • Cas particulier :
    \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, donc \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty

Puissances n√©gatives :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & x^\alpha \\
     \end{array}
avec \alpha<0
  • \lim_{x \to 0\atop x > 0} x^\alpha  = +\infty
  • \lim_{x \to +\infty} x^\alpha = 0

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances[modifier | modifier le code]

Logarithmes[modifier | modifier le code]

Logarithme n√©p√©rien (ou naturel) :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \ln(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to 0 \atop x > 0} \ln(x) = -\infty
  • \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

Logarithme de base a :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R_+^* & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \log_a(x)
     \end{array}
avec a>0
  • Base a > 1 :
    • \lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = -\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = +\infty \,\!
  • Base a < 1 :
    • \lim_{x \to 0 \atop x > 0} \log_a(x) = +\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = -\infty \,\!

Exponentielle et puissance d'un réel positif[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & {\rm e}^x
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} {\rm e}^x = 0
  • \lim_{x \to +\infty} {\rm e}^x = +\infty

Fonction exponentielle de base a :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & a^x = {\rm e}^{x\ln a}
     \end{array}
avec a>0
  • Base a > 1 :
    • \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \,\!
  • Base a < 1 :
    • \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \,\!

Fonctions trigonométriques et hyperboliques[modifier | modifier le code]

Fonctions trigonométriques[modifier | modifier le code]

Tangente :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
     \end{array}
Remarque :
\R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi - \cfrac{\pi}{2}; k\pi + \cfrac{\pi}{2} \right[
  • Pour tout entier relatif k \in \Z :
    • \lim_{x \to -\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x > -\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = -\infty \,\!
    • \lim_{x \to +\frac{\pi}{2} + k \pi \atop x < +\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = +\infty \,\!

Cotangente :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \cot(x) = \cfrac{\cos(x)}{\sin(x)}
     \end{array}
Remarque :
\R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi; (k+1)\pi \right[
  • Pour tout entier relatif k \in \Z :
    • \lim_{x \to k \pi \atop x > k \pi} \cot(x) = -\infty \,\!
    • \lim_{x \to (k + 1) \pi \atop x < (k + 1) \pi} \cot(x) = +\infty \,\!

Autres fonctions trigonom√©triques :

Fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Sinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{sh}(x) = \cfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}{2}
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{sh}(x) = -\infty \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{sh}(x) = +\infty \,\!

Cosinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{ch}(x) = \cfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{2}
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!

Tangente hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{th}(x) = \cfrac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{th}(x) = -1 \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{th}(x) = 1 \,\!

Fonctions réciproques[modifier | modifier le code]

Arc tangente :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Arctan}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan}(x) = \frac{\pi}{2} \,\!

Argument sinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & \R & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Argsh}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to -\infty} \operatorname{Argsh}(x) = -\infty \,\!
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argsh}(x) = +\infty \,\!

Argument cosinus hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & [1;+\infty[ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Argch}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argch}(x) = +\infty \,\!

Argument tangente hyperbolique :


     \begin{array}{ccccc}
       f & : & ]-1;1[ & \rightarrow & \R \\
       & & x & \mapsto & \operatorname{Argth}(x)
     \end{array}
  • \lim_{x \to -1} \operatorname{Argth}(x) = -\infty \,\!
  • \lim_{x \to 1} \operatorname{Argth}(x) = +\infty \,\!

Suites usuelles[modifier | modifier le code]

Une suite est en g√©n√©ral d√©finie terme-√†-terme en fonction de n :

\forall n \in \N, \ u_n=f(n) \,\!

ou alors d√©finie par son premier terme u_0 \in \R \,\! et une relation de r√©currence :

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \varphi(u_n) \,\!

Dans le premier cas l'√©tude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction f \,\! en +\infty \,\! ; dans le second l'√©tude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : suite arithm√©tique.

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + r \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=x+r \,\! et r \in \R \,\! est appel√© la raison de la suite u \,\! : on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n=u_0+nr \,\!.

  • Si r>0 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si r<0 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = -\infty \,\!

Suites géométriques[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : suite g√©om√©trique.

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=q x \,\! et q \in \R \,\! est encore appel√© la raison de la suite u \,\! : on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n=q^n u_0 \,\!.

  • Si |q|<1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = 0 \,\!
  • Si q=1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = u_0 \,\!
  • Si q>1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si q<-1 \,\! alors u \,\! n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs v√©rifient :
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!

Suites arithmético-géométriques[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : suite arithm√©tico-g√©om√©trique.

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n + r \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=q x + r \,\! (avec q \neq 1 \,\!) et on peut donner une expression directe de u_n \,\! : \forall n \in \N, \ u_n = q^n u_0 + r \frac{q^n-1}{q-1} \,\!.

  • Si |q|<1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = \frac{r}{1-q} \,\!
  • Si q>1 \,\! on a : \lim_{n \to +\infty} (u_n) = +\infty \,\!
  • Si q<-1 \,\! alors u \,\! n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs v√©rifient :
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!
\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!

Suites homographiques[modifier | modifier le code]

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} \,\!

Dans ce cas \varphi(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \,\! (avec c \neq 0 \,\! et ad-bc \neq 0 \,\!) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de u_n \,\!. Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant \Delta = (a-d)^2 + 4bc \,\! de l'équation\varphi(x) = x \,\!.

  • Si \Delta < 0 \,\! la suite ne peut pas avoir de limite.
  • Si \Delta = 0 \,\! la seule limite \ell \,\! possible est \frac{a-d}{2c} \,\!.
  • Si \Delta > 0 \,\! les seules limites \ell \,\! possibles sont \frac{a-d-\sqrt{\Delta}}{2c} \,\! ou \frac{a-d+\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!.

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial u_0 \,\! la distance |u_n-\ell| \,\! pour chaque valeur éventuelle de \ell \,\!.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Op√©rations sur les limites
  • Propri√©t√©s des limites
  • Th√©or√®me des croissances compar√©es
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