Loi de poisson

Loi de Poisson : encyclopédie mathématiques

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**Poisson**
Densité de probabilité / Fonction de masse L'axe horizontal est l'indice k. La fonction est seulement définie pour les valeurs entières de k.
Fonction de répartition L'axe horizontal est l'indice k. La fonction de répartition est seulement discontinue pour les valeurs entières de k.
Paramètres	$\lambda \in [0,\infty)$
Support	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Fonction de répartition	$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0$ (où $Γ(x, y)$ est la Fonction gamma incomplète)
Espérance	$\lambda\,$
Médiane (centre)	$\text{environ }\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
Mode	$\lfloor\lambda\rfloor$ et $λ - 1$ si $λ$ est un entier
Variance	$\lambda\,$
Asymétrie (statistique)	$\lambda^{-1/2}\,$
Kurtosis (non-normalisé)	$\lambda^{-1}\,$
Entropie	$\lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}$ (pour $λ$ grand) $\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} - \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)$
Fonction génératrice des moments	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Fonction caractéristique	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

En statistique, la loi de Poisson de paramètre $λ$ , ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant :

Sur une période T, un événement arrive en moyenne $λ$ fois. On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...

Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par

$p(k) = P(X = k)= \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\,$ pour tout entier naturel k,

où

e est la base de l'exponentielle (2,718...)
k! est la factorielle de k
$λ$ est un nombre réel strictement positif

C'est la loi de Poisson de paramètre $λ$

Sommaire

[modifier] Calcul de p(k)

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres (T; $λ$ /T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions $F k (t)$ = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.

[modifier] Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une loi de Poisson est $λ$ .

Démonstration

Si $X\,$ suit une loi de poisson de paramètre $\lambda\,$ , soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)\,$ .

Alors, on a par définition que $\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ et que:

$\begin{align}\mathbb{E}(X) &= \sum_{k=1}^{+{\infty}}k\,\mathbb{P}(X=k)\\&=\sum_{k=1}^{+{\infty}}k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\&=e^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^{+{\infty}}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}\\&=\lambda\,e^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^{+{\infty}}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}&=\lambda\,e^{-\lambda}\,e^{\lambda}\,=\lambda\end{align}$

Dans la dernière ligne, on reconnaît le développement en série entière de $e^{x}\,$ .

La variance d'une loi de Poisson est $λ$ .

Démonstration

$\begin{align}V(X) &= \mathbb{E}(X^2) - ( \mathbb{E}(X) ) ^2\\ &= \sum_{k=1}^{+{\infty}}k^2\,\mathbb{P}(X=k) - \lambda^2\\ &= \sum_{k=1}^{+{\infty}}k^2\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} - \lambda^2\\ &= \lambda\,e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{k\lambda^{k-1}}{(k-1)!} - \lambda^2\\ &= \lambda\,e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{d}{d\lambda}\frac{\lambda^k}{(k-1)!} - \lambda^2\\ &= \lambda\,e^{-\lambda} \frac{d}{d\lambda} \sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{\lambda^k}{(k-1)!} - \lambda^2\\ &= \lambda\,e^{-\lambda} \frac{d}{d\lambda}[\lambda\sum_{k=1}^{+{\infty}}\,\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}] - \lambda^2\\ &= \lambda\,e^{-\lambda} \frac{d}{d\lambda}[\lambda\,e^{\lambda}] - \lambda^2 \qquad \qquad \text{ car } \exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}\\ &= \lambda\,e^{-\lambda}(\lambda+1)\,e^{\lambda} - \lambda^2\\ &= \lambda\,(\lambda+1) - \lambda^2\\ &= \lambda\,\end{align}$

Son écart type est donc $\sqrt{\lambda}$

[modifier] Fonction génératrice

La fonction génératrice de la loi de poisson est $G_{X} (t) =\ e^{\lambda(t-1)}$

Démonstration

La fonction génératrice d'une loi X est définie par $G_{X} (t) =\ \mathbb{E}(t^X)$ . Ainsi on obtient :

$\begin{align}\mathbb{E}(t^X) &= \sum_{k=0}^{\infty} t^k \mathbb{P}(X=k)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} t^k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\\ &= e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} t^k \frac{\lambda^k}{k!}\\ &= e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t\lambda)^k}{k!}\\ &= e^{-\lambda} e^{t\lambda} \qquad \qquad \text{ car } \exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}\\ &= e^{\lambda(t - 1)}\end{align}$

[modifier] Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments d'une loi de poisson est: $M_{X}(t)\equiv \mathbb{E}(e^{tX})=\exp(\lambda (e^t-1))\,$

Démonstration

$\begin{align} M_{X}(t) &= \sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm{e}^{tk}\mathbb{P}(X=k)\\ &= \sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm{e}^{tk}\frac{\lambda^{k}}{k!}\,\mathrm{e}^{-\lambda}\\ &= \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda\, \mathrm{e}^{t})^{k}}{k!}\\ &= \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda\, \mathrm{e}^{t}} \qquad \qquad \text{ car } \exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}\\ &= \mathrm{e}^{\lambda(\mathrm{e}^{t}-1)} \end{align}$

[modifier] Domaine d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dûs aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie, la météorologie, la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…

[modifier] Diagrammes en bâtons

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

Lorsque le paramètre $λ$ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à $λ$ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

[modifier] Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.

Théorème — Si $X\sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu) \Rightarrow X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)$

Démonstration

La démonstration est faite ici par la fonction génératrice des moments. On sait en effet que: $M_{X_1+X_2}(t)=M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)$ et que la fonction génératric des moments détermine univoquement la fonction de densité.

En partant du résultat démontré plus haut: $M X (t) = exp(λ(e t - 1))$ .

On calcule: $M X + Y (t) = M X (t) M Y (t) = exp(λ(e t - 1))exp(μ(e t - 1)) = exp(λ(e t - 1) + μ(e t - 1)) = exp((λ + μ)(e t - 1))$

Le résultat de $M X + Y (t) = exp((λ + μ)(e t - 1))$ est simplement une loi de Poison de paramètre $λ + μ$

[modifier] La loi de Poisson en littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville de Londres durant la bataille d'Angleterre.