Noyau (algèbre) (encyclopédie mathématiques)

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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre générale, le noyau d'un morphisme mesure la non injectivité d'un morphisme.

Dans de nombreux cas, le noyau d'un morphisme est un sous-ensemble de l'ensemble de définition du morphisme : l'ensemble des éléments qui sont envoyés sur l'élément neutre de l'ensemble d'arrivée. Dans des contextes plus généraux, le noyau est interprété comme une relation d'équivalence sur l'ensemble de définition : la relation qui relie les éléments qui sont envoyés sur une même image par le morphisme.

Dans l'une ou l'autre de ces situations, le noyau est trivial si et seulement si le morphisme est injectif ; dans la première situation « trivial » signifie constitué uniquement de l'élément neutre, tandis que dans le second, cela signifie que la relation est l'égalité.

Le noyau d'un morphisme f est noté souvent $\operatorname{Ker} (f)$ , qui vient de Kern, qui en allemand signifie « noyau » (dans tous les sens du terme : l'analogie s'est propagée d'une langue à l'autre). Remarquons qu'en anglais, kernel signifie aussi noyau.

Cet article présente diverses définitions du noyau, pour les types les plus couramment utilisés de morphismes.

Sommaire

[modifier] Noyau d'un morphisme de groupes

Le noyau d'un morphisme de groupes f d'un groupe G vers un groupe H se compose de tous les éléments de G qui sont envoyés par f sur l'élément neutre e_H de H. Formellement :

$\operatorname{Ker} (f) = \{x \in G /\ f(x)=e_H \}\ .$

Le noyau est un sous-groupe distingué de G.

L'un des théorèmes d'isomorphisme énonce que le groupe quotient G / Ker ( f ) est isomorphe à l'image de f. Cet isomorphisme est induit par f lui-même. Une proposition légèrement plus générale est le théorème de factorisation des morphismes.

Le morphisme de groupes f est injectif si et seulement si son noyau est le groupe trivial.

D'après les propriétés de l'image réciproque, le noyau d'un morphisme composé $g\circ f$ est égal à :

$\operatorname{Ker} (g\circ f)=f^{-1}(\operatorname{Ker} (g)).$

[modifier] Noyau d'une application linéaire

Si f est une application linéaire d'un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W, alors le noyau de f est défini par

$\operatorname{Ker} (f)=\{x\in V/\ f(x)=0\}\ .$

Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace vectoriel quotient V / Ker ( f ) est isomorphe à l'image de f ; en particulier, le théorème du rang relie les dimensions :

$\dim \operatorname{Ker} (f)=\dim V - \dim \operatorname{Im}(f)\ .$

L'application linéaire f est injective si et seulement si Ker ( f ) = { 0 }.

Si V et W sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et p et si des bases de ces espaces sont données, alors f peut être représentée par une matrice $M \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , et le noyau peut être déterminé en résolvant le système homogène d'équations linéaires M X = 0.

Dans cette représentation, les solutions de ce système correspondent aux coordonnées des vecteurs du noyau de f, mais aussi aux vecteurs du noyau de l'application linéaire canoniquement associée à la matrice M.

La dimension du noyau est donnée par le nombre de colonnes de M moins le rang de M.

Résoudre des équations différentielles homogènes nous mène souvent à la détermination du noyau d'une certaine application linéaire.

Par exemple, si nous désirons déterminer les fonctions deux fois dérivables f de R dans R telles que

$\forall x \in \R,\ xf''(x)+3f'(x)=f(x)\ ,$

nous avons à considérer le noyau de l'application linéaire $\varphi:V\longrightarrow W$ , où V est l'espace vectoriel de toutes les fonctions deux fois dérivables de R dans R, W est l'espace vectoriel de toutes les fonctions de R dans R, et l'image par $\varphi$ d'un élément f de V est définie par la condition

$\forall x \in \R,\ (\varphi(f))(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)\ .$

[modifier] Noyau d'un morphisme d'anneau

Le noyau d'un morphisme d'anneaux f d'un anneau A dans un anneau B se compose de tous les éléments x de A pour lequel f ( x ) = 0. Formellement :

$\operatorname{Ker}(f)=\{x\in A/\ f(x)=0\}\ .$

Le noyau est un idéal bilatère de A.

Le théorème d'isomorphisme mentionné ci-dessus pour des groupes et des espaces vectoriels reste valable dans le cas des anneaux.

[modifier] Noyau d'un morphisme de corps

Le noyau d'un morphisme de corps (c'est-à-dire un morphisme d'anneau où les anneaux considérés sont des corps) est toujours réduit à l'élément neutre 0, de sorte que tout morphisme de corps est injectif.

[modifier] Noyau d'une forme quadratique

Sur un espace vectoriel réel E, une forme quadratique est une application polynomiale $q:V\rightarrow R$ qui est homogène de degré 2. Elle est associée à la forme bilinéaire symétrique

$B(u,v)=\frac{q(u+v)-q(u-v)}{4}$ .

Le noyau de q est le sous-espace vectoriel

$N=\{v\in E,\, \forall w,B(v,w)=0\}\, .$

La contraction de B par v désigne l'application linéaire $\iota(v)B:w\mapsto B(v,w)$ , et N apparaît comme le noyau de l'application linéaire

$v\mapsto \iota(v)B$ .

L'image est un sous-espace vectoriel de l'espace dual $E^*$ qui est l'annulateur du noyau N.

[modifier] Noyau en général

Toutes ces notions de noyaux se généralisent dans le cadre de la théorie des catégories abéliennes.

[modifier] Exemple

Soit l'application suivante

$f : \begin{array}[t]{lcl}\C & \rightarrow & \C^* \\ z & \mapsto & e^z \end{array}$

D'après la propriété de la fonction exp

$e^{z+z'}=e^z\times e^{z'}$

Donc f est un morphisme de groupe de $(\C,+)$ dans $(\C^*,\times)$ et donc

$z\in\operatorname{Ker}(f)\ \Leftrightarrow f(z)=1\ \Leftrightarrow e^z=1$

En notant $x=\Re(z)\ \text{et}\ y=\Im(z)$ , on obtient

$z\in\operatorname{Ker}(f)\ \Leftrightarrow e^{x+iy}=1\ \Leftrightarrow e^x\times e^{iy}=1\ \Leftrightarrow \begin{cases} e^x=1 \\ y=0\ \left[2\pi\right] \end{cases}\ \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=2k\pi,\ k\in\Z \end{cases}$

D'où

$\begin{align} \operatorname{Ker}(f) & = \left\{ i2k\pi,\ k\in\Z\right\} \\ & = 2i\pi\Z \\ \end{align}$

[modifier] Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kernel (algebra) » (voir la liste des auteurs)

[modifier] Articles connexes

Lemme des noyaux
Catégorie abélienne
Limite projective
Image d'une application

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme de Minkowski • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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