Ouvert (topologie)

Ouvert (topologie) : encyclopédie mathématique

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, une partie ouverte, ou aussi un ouvert, est un ensemble qui fait partie d'une topologie donnée. Il s'agit d'une notion élémentaire et fondamentale par sa transversalité dans presque tous les domaines des mathématiques.

Sommaire

[modifier] Définition

On définit un espace topologique par la donnée d'un couple $(X, T)$ , où $X$ est un ensemble et $T$ sa topologie, c'est-à-dire un ensemble de parties de $X$ ( $T \subset \mathcal P (X)$ ) vérifiant les 3 propriétés suivantes:

$X$ et $\emptyset \in T$
stable par intersection finie
stable par réunion quelconque.

Par définition, un ensemble  $U$  est un ouvert de  $(X, T)$  si  $U$  est un élément de  $T$  : la topologie est donc l'ensemble des ouverts.

Cette définition est générale, elle montre que le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne : n'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine, alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

[modifier] Propriétés

Toute partie $S$ d'un espace topologique $(X, T)$ contient au moins un ouvert (éventuellement vide) ; le plus grand de ces ouverts est appelé l'intérieur de $S$ et peut être construit en considérant l'union de tous les ouverts inclus dans $S$ .

Soit deux espaces topologiques $E$ et $F$ . Une fonction $f:E \longrightarrow F$ est continue si l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ . Si c'est l'image directe d'un ouvert qui est ouverte, on parle d'application ouverte.

[modifier] Cas particuliers

[modifier] Espaces métriques

[modifier] Définitions

Soit $(E, d)$ un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points de $E$ dont la distance à $x$ est strictement inférieure à $r$ :

$B(x,r)=\{ y\in E/\ d(x,y)<r\}$ .

Une partie $U$ de cet espace est ouverte si et seulement si pour tout point $x$ de $U$ , il existe une boule centrée sur $x$ et incluse dans $S$ :

$U \subset E\ \mathrm{ouvert\ de\ E} \Longleftrightarrow \forall x \in U,\ \exists r>0,\ B(x,r) \subset U$

De façon équivalente, $U$ est ouverte si et seulement si tout point de $U$ possède un voisinage inclus dans $U$ .

Cela signifie que $U$ est un ouvert de $E$ si pour chacun de ses points $x$ , il contient également les points suffisamment proches de $x$ : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point de $U$ n'est au bord de $U$ .

[modifier] Exemples

$\emptyset$ et $E$ sont des ouverts.
Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
Sur l'espace des réels, la définition métrique des ouverts coïncide pour les intervalles avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de $\R$ définis par des inégalités strictes. De plus les ouverts de $\R$ sont les réunions disjointes au plus dénombrables d'intervalles ouverts.
Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps topologique a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine qui rende continue les formes linéaires : ainsi pour $\R^n$ , elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions de produits d'intervalles ouverts.