Pierre de Fermat (encyclopédie mathématiques)

Pierre de Fermat

Naissance	Première décennie du xvii^e siècle Beaumont-de-Lomagne (France)
Décès	12 janvier 1665 Castres (France)
Nationalité	Française
Champs	Mathématiques et droit
Institutions	Académie des Sciences Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse Parlement de Toulouse
Renommé pour	Dernier théorème de Fermat Géométrie analytique Petit théorème de Fermat Probabilité
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Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVII^e siècle^[1]^,^[2], à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres^[3]^,^[4], est un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ». Il est en même temps un habile helléniste. Il s'est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le principe de Fermat en optique.

[modifier] Biographie

[modifier] Origines familiales

Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé de Beaumont-de-Lomagne, doué en calcul. Ce bourgeois et second consul de la ville est connu comme marchand de cuir (et autres denrées) ; il s'est marié successivement à Françoise Cazeneuve, fille d'un marchand aisé (et ce jusqu'en 1603 au moins), puis à Claire de Long, fille de Clément de Long seigneur de Barès (et ce avant 1607). On ne sait cependant laquelle de ces deux femmes fut la mère du mathématicien^[5]^,^[4]. Plusieurs actes témoignent de la naissance d'un enfant Fermat du nom de Pierre, l'un baptisé le 31 octobre 1605, l'autre durant l'année 1608^[6].

La maison où est né le mathématicien, et qui abrite de nos jours l'office de tourisme, est une maison familiale sur laquelle il n'y a pas de doute car elle fut occupée, de 1577 à 1707, par quatre générations de Fermat^[7]. Pour autant, on ne sait pas davantage où Pierre de Fermat a fait ses études primaires. Par la suite, il suit des études de droit à Toulouse et à l'université d'Orléans, de laquelle il sort bachelier de droit civil en 1631^[8].

[modifier] Premiers pas

Dès 1627, Fermat, avocat à Bordeaux, fréquente vraisemblablement les milieux scientifiques autour du président Jean d'Espagnet^[4] et de son fils, Étienne. Il y rencontre le secrétaire royal Jean de Beaugrand et s'initie aux notations algébriques de Viète au travers d'un exemplaire prêté par son ami d'Espagnet. Selon les affirmations contenues dans ses lettres à Mersenne, il entretient Étienne d'Espagnet de sa méthode de maximis et minimis dès cette époque. Il affirme également avoir produit une méthode pour les carrés magiques. Hormis cela, sa formation en tant que mathématicien n'est que peu connue ; il semble qu'il se soit même éloigné de ces recherches pendant un temps.

En 1631, il achète une première charge de commissaire aux requêtes dans laquelle il est installé le 14 mai^[7]. Les commissaires aux requêtes du palais ne faisaient pas partie de la cour proprement dite. Autrefois composée des plus vieux conseillers, cette chambre servait, au contraire, depuis longtemps déjà, de début aux jeunes conseillers, qui de là passaient plus tard à la cour. Il habite Toulouse ; Conseiller du roi auprès du Parlement de Toulouse, il épouse à Beaumont, le 1^er juin (bans le 20 avril) de cette année-là, Louise de Long, fille de Clément de Long, un des principaux conseillers du parlement, cousine éloignée^[7], avec laquelle il aura cinq enfants ; Clément-Samuel, Jean, Claire, Louise et Catherine.

Le 30 décembre 1637, Jean de Beaugrand signe les lettres patentes de Pierre de Fermat, comme conseiller aux enquêtes du parlement de Toulouse (Fermat sera installé le samedi 16 janvier suivant^[9]).

[modifier] Fermat et l'académie de Mersenne

Pierre de Fermat

Dès 1636, il entre en correspondance avec Marin Mersenne, et dans sa première lettre, il lui demande quelles nouveautés ont paru en mathématiques depuis les cinq dernières années. La même année, il publie sa traduction d'Apollonius de Perga, De Locis planis, Des lieux plans. En 1638, il expose au public sa méthode des minima. Le 18 janvier, Descartes l'attaque dans une lettre à Mersenne pour sa passion commune à Viète, à Ghetaldi et à Snell de s'appliquer à restaurer les grecs.

Quoiqu'il ne semble pas être monté à Paris, ses amis mathématiciens le représentent auprès Mersenne. Ce sont Beaugrand, Étienne Pascal et Roberval, qu'il charge de soutenir ses idées, lorsque, en 1640, il y a la première controverse avec Descartes au sujet de l'optique.

Il correspond avec Carcavi, Torricelli et Huygens. Comme il demande systématiquement de démontrer par la preuve les théories qu'il avance, cette exigence ravive quelquefois l'ire des autres envers lui. N'écrit-il pas à Mersenne : « J'ay si peu de commodité d'escrire mes démonstrations, que je me contente d'avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver, lorsque j'auray le loisir de le faire. » Et à Roberval : « Je ne doute pas que la chose n'eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de tous les hommes. »

L'année qui suit, Descartes provoque une nouvelle dispute à propos de la généralité de la méthode de Fermat (méthode de maximis et minimis) à déterminer correctement les tangentes d'une courbe algébrique. Celle-ci se fait encore par la médiation de Mersenne. Roberval et Étienne Pascal, convaincus par la méthode de Fermat, même s'ils la maîtrisent mal, prennent son parti, tandis que Descartes est soutenu par Claude Mydorge et Claude Hardy.

Pour mettre fin à la polémique, Fermat transmet à Descartes une lettre où il décrit plus précisément sa méthode^[10], lettre qui commence par ces mots :

« La méthode générale pour trouver les tangentes des lignes courbes mérite d'être expliquée plus clairement qu'elle ne semble l'avoir été. »

Descartes lui répond^[11] :

« Je n'ai pas eu moins de joie de recevoir la lettre par laquelle vous me faites la faveur de me promettre votre amitié, que si elle me venait d'une maîtresse dont j'aurais passionnément désiré les bonnes grâces. » […] « Et voyant la dernière façon dont vous usez pour trouver les tangentes des lignes courbes, je n'ai autre chose à y répondre, sinon qu'elle est très bonne et que si vous l'eussiez expliquée au commencement en celte façon, je n'y eusse point du tout contredit. »

Ainsi Descartes admet la pertinence de la méthode de Fermat, méthode qui deviendra par la suite le fondement du calcul différentiel.

Article détaillé : Les controverses du cartésianisme.

[modifier] Castres

Mais en dépit de cette activité épistolaire, et mathématique, Fermat remplit ses tâches de Conseiller avec fidélité et assurance ; il achète, en 1638, une charge plus importante, celle de Conseiller à la Cour en la première Chambre des enquêtes. Il siège à Castres cette année-là ; et en 1642, il obtient d'être nommé dans cette ville, membre de la Chambre de l'Édit. Il siège en cette cour en 1644, 1645, 1648, 1649, il en apprécie le séjour et cherche plusieurs fois à s'y faire renommer.

Des nombreuses lettres échangées avec l'érudit Jacques de Ranchin, membre de la Chambre de l'Édit de Castres et traducteur d'ouvrages grecs, il ne nous reste, hélas, qu'une seule lettre de la main de Fermat. Par ailleurs, c'est à Castres, qu'il rencontre le médecin polymathe Pierre Borel. Celui-ci le présente à Claude Hardy, autre polymathe parisien. Dans ces cercles d'érudits, il est courant qu'on s'adresse à Fermat pour éclaircir une traduction ou confirmer une citation. Ainsi, a-t-on prétendu, avec vraisemblance, qu'il fut membre des Lanternistes. Néanmoins, des études de 1858 tendent à montrer qu'il s'agit de son fils, Clément Samuel^[7].

Ces activités littéraires et scientifiques ne l'empêchent pas pour autant de progresser dans sa carrière. En 1652, la peste qui ravage la France s'attaquera à lui, mais il y fera face et la combattra. Il exerce à partir de cette année-là à la Tournelle (la Chambre Criminelle du parlement) et enfin, deux ans plus tard, à la Grand’ Chambre où il lit son premier rapport. Profond jurisconsulte, Fermat semble avoir exercé ses fonctions de magistrat avec jugement mais sans passion pour son emploi ; il n'est pas des amis de Fieubet, le président du Parlement et si un de ses amis de Castres, l'avocat Pierre Saporta, affirme qu'il fut d'une grande intégrité dans les affaires du Palais, d'autres rapports sont plus sévères sur son activité en ce domaine.

Parmi ses amis et ses correspondants de Toulouse et de Castres, on compte encore le père jésuite Lalouvère et le minime Emmanuel Maignan, qui ont quelques connaissances mathématiques. Néanmoins, ses talents s'exercent généralement à part de son travail de magistrat, au travers de ses lettres avec le Père Mersenne, et en 1654, au travers de sa correspondance avec Blaise Pascal, puis en 1659 par ses échanges avec Carcavi et la publication de sa « relation des nouvelles découvertes en la science des nombres » qui le font connaître comme un des mathématiciens les plus ingénieux de son temps.

[modifier] Derniers travaux

Plaque où Fermat a été enterré, place Jean Jaurès, à Castres

Les grands écrits que l'on a retrouvés de lui sont des annotations dans des textes renommés tels l'Arithmetica de Diophante et une partie de sa correspondance avec les scientifiques du XVII^e siècle. Ce n'est qu'en 1670 que son théorème est exposé au public. Il commente, en l'étendant, Diophante, et rétablit avec une admirable sagacité plusieurs ouvrages perdus d'Apollonius et d'Euclide. Tant par sa vie, assez peu connue, que par la rareté de sa production, Fermat laisse après lui l'image d'un savant dissimulant ses méthodes, et laisse le regret que quelques-unes se soient perdues avec lui.

En 1662 il publie son mémoire, écrit cinq ans plus tôt : Synthèse pour les réfractions. Il s'oppose ainsi de façon définitive à Descartes, qui dans sa dioptrique, expliquait les lois de l'optique en comparant la lumière à une balle soumise à diverses forces. Fermat se base sur le principe qui anime toute sa vie : « La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples. » Les discussions reprennent avec les épigones du philosophe de la Haye, Clerselier et Cureau de la Chambre. Élégant comme à son habitude, Fermat finit par abandonner la lutte, pourvu qu'on lui reconnaisse ses mérites de géomètre. La suite de l'histoire des sciences lui donnera raison.

Durant toute sa vie, le magistrat-mathématicien a participé aux activités de sa commune, présidant les conseils et prenant une part active dans la municipalité. On le disait très charitable. Deux de ses filles, Catherine et Louise, y furent baptisées, les 20 août 1641 et 28 juin 1655. Après 1660, sa santé devint chancelante. Le 9 janvier 1665 il fit le rapport d'une affaire à la Chambre du parlement de Castres ; le 12 du même mois, il cessait de vivre. Aucune pompe n'entoura ses funérailles. Un éloge de Charles Perrault fut publié un mois après sa mort dans le Journal des Savants (le 7 février)^[7].

[modifier] Après sa mort

Il ne reste après son décès qu'une importante correspondance dispersée dans toute l'Europe.

Le fils de Pierre de Fermat publie, en 1670, une édition de l'Arithmetica de Diophante annotée par son père, puis en 1679 une série d'articles et une sélection de sa correspondance sous le nom de Varia opera mathematica^[12].

En 1839, Guglielmo Libri tente de soustraire un certain nombre de manuscrits, dont une partie seulement sera récupérée.

Charles Henry (en) et Paul Tannery publient, au début du XX^e siècle, les Œuvres de Fermat en quatre volumes ; un supplément sera ajouté par C. de Waard en 1922.

[modifier] Contributions

François Viète

Il partage avec Viète, dont il utilise les notations^[13]^,^[14], et Descartes, avec qui il fut en conflit^[15]^,^[16]^,^[17]^, ^[18]^,^[19], la gloire d'avoir appliqué l'algèbre à la géométrie.

D'Alembert voyait dans ses travaux la première application du calcul infinitésimal, jugement que partagèrent Arbogast, Lagrange et Laplace^[7]. Il imagina, en effet, pour déterminer les tangentes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel et le premier à utiliser des formules de dérivation (le concept de nombre dérivé remonterait au premier des grands mathématiciens indiens, l'astronome Aryabhata)^{[réf. nécessaire]}.

Fermat contribue dans son échange épistolaire avec Blaise Pascal à élaborer les bases du calcul des probabilités, une mathématique du hasard que provoque l'étude du problème des partis du chevalier de Méré^[20]. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la « théorie moderne des nombres. »

Il est très connu pour deux « théorèmes » :

le « petit théorème de Fermat » ;
le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n'était qu'une conjecture et l'est resté durant plus de trois siècles de recherches fiévreuses.

[modifier] Les querelles avec Descartes

Article détaillé : Les controverses du cartésianisme.

Une illustration de La Dioptrique de Descartes

[modifier] La dioptrique

Descartes publie en 1637 son traité de la méthode et une dioptrique, dans laquelle il expose les Lois de Snell-Descartes. Celles-ci décrivent le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux. L'énoncé de la loi des sinus est attribuée à Snell dans le monde entier (sauf en France) ; et il est possible que Descartes ait eu connaissance de celle établie auparavant par Snell, le professeur Rivet, professeur de théologie en relation avec le Père Mersenne^[21] pourrait fort bien l'avoir communiquée à Descartes tout comme son ami Isaac Beeckman, ancien élève de Snell.

Lorsqu'il tente de justifier cette loi, Descartes commet cependant quelques bévues. Considérant le trajet de la lumière comme celui d'une balle, il explique la déviation subie par le trajet à ce que dans un milieu plus dense, la vitesse en est accélérée. Cette explication (infirmée par Léon Foucault), sera fort justement critiquée par Fermat :

« Jean de Beaugrand ayant parcouru le manuscrit de la « dioptrique » se hâta de l'envoyer à Toulouse par la voye de Bordeaux, pour le faire lire à Monsieur De Fermat, conseiller au parlement de Languedoc, qui avait témoigné une passion plus qu'ordinaire pour voir ce qui viendrait de la plume de M Descartes. »

affirme Adrien Baillet. La réalité semble moins romanesque : consulté par Mersenne, Fermat décèle dans cette dioptrique deux erreurs importantes^[22] ; il ne trouve pas convaincante « l'inclination au mouvement » par laquelle Descartes croit pouvoir expliquer les angles d'incidence des phénomènes de réfraction. Dans les raisons qu'il donne à ce que les milieux traversés ne s'opposent pas de la même façon au mouvement d'une balle et à celui de la lumière, Descartes prétend à la fois que le mouvement de la lumière est instantané et qu'elle va moins vite dans l'air que dans l'eau. En septembre 1637, Fermat rédige ses impressions à Mersenne. Il y relève la contradiction. Descartes, alerté, répond aussitôt à Mersenne :

« le défaut qu'il trouve en ma démonstration n'est qu'imaginaire et montre assez qu'il n'a regardé mon traité que de travers. […] et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu'il prend de rêver encore sur cette matière… »

La querelle qui s'en suit permet alors à Fermat de faire montre de rigueur et de sang-froid^[22] :

« Ce n'est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j'estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d'autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

Pour autant, la querelle sur la dioptrique en reste là. Ce n'est qu'après la mort de Descartes, quinze ans plus tard, que le mathématicien de Beaumont parviendra à une formulation satisfaisante de son principe de durée minimale (Œuvres de Fermat, t. III, 149-156), expliquant le trajet de la lumière dans des milieux d'indices différents. C'est ainsi qu'il met à jour le principe de Fermat, principe fondamental de l'optique géométrique qui décrit la forme du chemin optique d'un rayon lumineux et s'énonce ainsi : La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit extrémale. Il permet de retrouver la plupart des résultats de l'optique géométrique, en particulier les lois de la réflexion sur les miroirs, les lois de la réfraction…

[modifier] La méthode des tangentes

René Descartes.

À la fin de l'année 1637, Descartes reçoit de Mersenne l'essai de Fermat intitulé Methodus ad disquirendam maximám et minimam et le philosophe reprend son « procès en mathématiques » contre monsieur Fermat en janvier 1638. Il écrit au père Minime que son contradicteur propose dans sa règle de formation des tangentes une reprise de la méthode dite de fausse position. Il lui reproche de raisonner par l'absurde (méthode de raisonnement qui passe à ses yeux pour la façon de démontrer la moins estimée et la moins ingénieuse de toutes celles dont on se sert en Mathématiques). Il vante auprès du père minime sa propre méthode, tirée, selon ses mots, d'une connaissance de la nature des équations et qui suit, selon lui, la plus noble façon de démontrer qui puisse être…

Jean de Beaugrand publie alors un pamphlet pour défendre Fermat contre le S. des C. (sans mentionner les noms des protagonistes). Il expose les résultats de Fermat sur la détermination des tangentes. Il dénonce ceux, plus compliqués, de Descartes dont la méthode consiste à définir le cercle osculateur pour déterminer la tangente à partir de ce cercle.

Jean Itard lit dans les publications de Beaugrand la preuve de la supériorité de Pierre de Fermat dans la compréhension de la nature affine du problème des contacts^[23]. Selon ses mots, Fermat n'avait rien, ou presque, pour expliquer la nature affine de l'existence (et de la construction) des tangentes à une courbe ; car il ne s'agit pas d'un problème métrique. C'est pourtant ce qui le placera au-dessus de Descartes dans ce problème des tangentes où l'orthogonalité des axes de coordonnées n'est d'aucune importance. C'est ce que souligne Beaugrand dans son pamphlet anonyme.

[modifier] Petit théorème de Fermat

Article détaillé : Petit théorème de Fermat.

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors $^{a^{p-1} \equiv 1\pmod{p}}$ .

Voir aussi : Théorème d'Euler, dont ce théorème est un cas particulier.

Gottfried Wilhelm Leibniz a rédigé en 1683 une démonstration qu'il ne publie pas. Leonhard Euler a démontré le théorème en 1736 par les mêmes arguments. Il communique cette preuve le 2 août 1736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg et publie cette première démonstration en 1741. Elle repose sur une récurrence et l'utilisation du développement du binôme.

Fermat n'a pas fourni sa démonstration ; le 18 octobre 1640^[24], il écrit à Frénicle de Bessy :

« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1… Il ajoute : Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long. »

Une opinion sur le point de savoir si Fermat tenait une démonstration correcte peut dépendre de l'opinion qu'on adopte sur une autre question, à savoir si Fermat a prétendu ou non avoir démontré sa conjecture (erronée) sur les nombres qui portent son nom.

Les méthodes de Fermat ont évolué avec le temps^[25] et il paraît difficile de reconstruire ce qu'a pu être son raisonnement.

[modifier] Théorème des deux carrés de Fermat

Article détaillé : Théorème des deux carrés de Fermat.

Le théorème général affirme : « Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire. »

Albert Girard l'énonce en 1625, dans sa première «traduction» des œuvres de Stevin^[26].

Dans le cas où le nombre est premier Fermat énonce quinze ans après cette première formulation qu'« un nombre premier impair est la somme de deux carrés si, et seulement si, il est congru à 1 modulo 4. »

Les historiens des sciences s'accordent à penser que Fermat n'a pas lu Girard.

Afin de fournir la preuve de son théorème, Fermat met au point une méthode, dite de la descente infinie. Possède-t-il pour autant une preuve de son théorème^[27] ? Il déclare à Carcavi en août 1659 :

« Lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. »

Il laisse toutefois l'indication qui suit :

« Si un nombre premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés. »

dont l'idée forte permit à Euler de donner, un siècle après, une preuve complète du théorème des deux carrés^[28].

[modifier] Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux

Buste dans la salle des Illustres du Capitole de Toulouse

Tout entier s'écrit :

comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
comme somme d'au plus 4 nombres carrés
comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
etc.
- nombres triangulaires :
  $1;3(=1+2);6(=1+2+3);10(=1+2+3+4)...\!$ : le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
- nombres carrés :
  $1;4(=1+3);9(=1+3+5);16(=1+3+5+7)... \,\!$ : le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
- nombres pentagonaux :
  $1;5(=1+4);12(=1+4+7);22(=1+4+7+10)... \,\!$ : le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
- nombres polygonaux d'ordre m :
  $1 ; 1+(m-1) ; 1+(m-1)+(2m-3) ; 1+(m-1)+(2m-3)+(3m-5) ; ... \,\!$ : le n-ième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo (m-2).

Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au XVIII^e siècle (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.

[modifier] Dernier théorème de Fermat

Article détaillé : Dernier théorème de Fermat.

Cette édition de 1670 de Diophante reprend le texte de la note que Fermat avait écrite (en latin) en regard du problème II.VIII de Diophante, sur son exemplaire de l'édition de 1621 : « […] la marge est trop petite pour contenir la démonstration. »

« Il n'existe pas d'ensemble d'entiers strictement positifs $x\,\!$ , $y\,\!$ , $z\,\!$ vérifiant l'équation $x^n + y^n = z^n\,\!$ lorsque $n$ est un entier tel que $n > 2\,\!$ . »

Ce théorème^[29] fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics. Une bonne centaine de mathématiciens dans le monde sont capables de saisir tous les détails de cette démonstration^[30].

Pierre de Fermat lui-même annotait dans la marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit :

« J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Il semble assez improbable que Pierre de Fermat ait réellement réussi à démontrer ce théorème dans le cas général^[31] ; en effet, la démonstration réalisée par Andrew Wiles (même si le dernier théorème de Fermat n'en est qu'un corollaire) utilise des outils mathématiques d'une grande complexité dont on ne semble guère pouvoir se passer. Compte tenu des connaissances de son époque, Fermat ne pouvait pas les soupçonner^[32]^, ^[33].

Les cas des exposants n = 3, 4 puis 5 et 7 ont été traités respectivement par Euler^[34], Legendre et Cauchy.

Euler transforme l'équation en $z 3 = x 3 + y 3 = 2 a (a 2 + 3 b 2)$ . L'étude des propriétés des nombres de la forme $(a 2 + 3 b 2)$ seront omis de sa preuve. La même omission sera reprise par Legendre

Gauss donne une autre preuve dans le cas du cube. Il travaille dans $\Q(\sqrt{-3})$ et nomme à l'occasion entiers les complexes de $\Z[j]$ .
Vers 1800, Gabriel Lamé prétendit avoir trouvé la solution de ce problème. Il ne fut que le premier d'une liste de mathématiciens amateurs tentés par ce difficile problème. Il parvient à la résolution dans le cas 7 en 1839.
En 1816, L'académie des sciences de Paris offre une médaille d'or et un prix de 3000 francs à celui qui résoudrait la question.
Vers 1825, Dirichlet propose une preuve incomplète du cas 5. Elle est publiée et complétée dans le journal de Crelle en 1828. En 1832, Dirichlet donne le cas 14.

Un théorème important de Sophie Germain résout la conjecture pour 5, et Legendre en déduit une généralisation, portant sur une famille entière de nombres n premiers.
En 1850, le prix de l'académie est renouvelé.
En 1857, Ernst Kummer franchit un pas décisif en démontrant le dernier théorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100. À cette fin, il introduit l'étude systématique des corps cyclotomiques, qui le conduit à introduire les nombres idéaux. Il en déduit que ce dernier théorème tombe dans le cas de nombres premiers réguliers. Ces études renouvellent également l'intérêt pour les nombres de Bernouilli.

Ainsi, apparaît le réel intérêt de ce théorème négatif : c'est un moteur puissant qui va obliger pour le résoudre à étudier les structures algébriques d'objets dont on aurait eu peine à imaginer l'existence même au temps de Fermat. L'idée s'affirme alors que ce dernier théorème, loin d'être une fin en soi, n'est qu'un début pour l'étude de questions bien plus profondes et qui sont au cœur de l'invention mathématiques contemporaine.

En 1856, Johann August Grunert (de) étudie la taille des solutions éventuelles.

En 1894, Ernst Wendt donne un critère pour appliquer les théorèmes de Sophie Germain et leur généralisation. Ces études se prolongeront en 1935 avec Emma Lehmer (en), et 1959, avec Leonard Carlitz.
En 1908, l'université de Göttingen et la fondation Wolfskehl offrent un prix de 100 000 marks à qui trouverait la démonstration avant cent ans.

En 1931, Massoutié^[35] et Pomey^[36] donnent des conditions de divisibilité sur d'éventuelles solutions. Ils sont suivis dans cette voie par Swistak en 1969^[37], par M. Mihaljinec (1952) et par Rameswar Rao (1969).
En 1961, La relation n'était prouvée que pour les entiers $n < 269$ .
Les progrès fulgurants des trente années précédant la démonstration de Wiles sont liés à des travaux de Jean-Pierre Serre, d'Yves Hellegouarch^[38] et de Robert Langlands^[39] sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires.

[modifier] Méthode de la descente infinie

Fermat est l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie : Supposons qu'une proposition P dépendant d'un rang entier n (> 0) vérifie la propriété : « Si P est vraie à un rang quelconque r, elle l'est à un certain autre rang q strictement inférieur à r ». Alors on peut conclure que P est fausse pour tout rang. En effet, pour tout r, l'application récurrente de la propriété permet de construire une chaîne infinie de rangs décroissants r > q >...>... Or les rangs étant entiers positifs, la longueur de la chaîne ne peut pas être supérieure à r.

La descente infinie peut être utilisée pour démontrer le cas particulier n = 4 du dernier théorème de Fermat.

[modifier] Principe de Fermat (optique)

Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui optimise le temps de parcours. Voir l'article principe de Fermat.

[modifier] Fermat dans la culture populaire

[modifier] La fête à Fermat

Tous les ans, depuis 2003^[40], l'association Fermat Lomagne organise à Beaumont-de-Lomagne (82), sous le parrainage d'Ahmed Djebbar, une fête populaire en l'honneur du mathématicien, nommée « fête à Fermat »^[41]. Des conférences mathématiques, des ateliers, des expositions, des animations et des spectacles. La ville consacre par ailleurs une partie de son site à son homme de génie^[42].

[modifier] Le lycée Pierre-de-Fermat

Situé parvis des Jacobins à Toulouse, Fermat fut fondé en 1806. Il a pris le nom du mathématicien en 1957, sur proposition du maire de Toulouse Raymond Badiou. Il y compta un temps pour professeurs Georges Canguilhem et Jean-Pierre Vernant.

[modifier] Cinéma

Dans le film espagnol de Luis Piedrahita et Rodrigo Sopeña La habitación de Fermat (es) (La cellule de Fermat^[43]), cinq mathématiciens se retrouvent sur l'invitation anonyme d'un certain "Fermat" (Federico Luppi). Affublés de noms de mathématiciens célèbres, leurs pseudonymes pour la soirée, l'hôte leur soumet une des dernières énigmes scientifiques de notre temps. Hilbert est un vieux chercheur, Pascal un ingénieur obnubilé par les applications commerciales ; Galois et Oliva sont deux jeunes génies… Arrivés dans leurs chambres, les mathématiciens comprennent qu'ils sont piégés. Ce thriller mathématique aux effets garantis n'entretient cependant qu'un lointain rapport avec le mathématicien de Beaumont et la Conjecture de Goldbach.

[modifier] D'autres occurrences

Un « contre exemple » au dernier théorème de Fermat se trouve illustré par un montage mettant en scène Homer Simpson^[44] où apparaît l'égalité : $178212 + 1841 12 = 1922 12$ . En réalité, l'égalité n'est pas vérifiée (la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair n'est évidemment pas un nombre pair), mais la différence dépasse les capacités de calcul des calculatrices standard.

Dans le deuxième tome de Millenium La fille qui rêvait d'un bidon d'essence et d'une allumette, de Stieg Larsson (1954-2004), Lisbeth dénoue le théorème de Fermat en trois semaines.

Le roman Le Théorème du Perroquet de Denis Guedj publié en 1988, traite par la fiction, du dernier théorème de Fermat et de l'histoire des mathématiques. On y lit un hommage à la méthode des minima, si injustement décriée par Descartes :

« Avec soixante ans de retard, M. Ruche comprit ce que plus de trois siècles plus tôt Fermat avait compris : un arc infiniment petit d’une courbe peut être assimilé au segment correspondant de la touchante^[45]. »

Dans le roman historique La conjecture de Fermat de Jean d'Aillon, Louis Fronsac doit apporter à Blaise Pascal un imaginaire unique exemplaire de la démonstration du dernier théorème rédigée par Fermat. Les péripéties de sa mission amènent évidemment à la destruction du manuscrit.

Le 17 août 2011, Google célèbre la naissance de Pierre de Fermat en modifiant son logo pour un tableau vert sur lequel est inscrite une formule mathématique^[46].

[modifier] Bibliographie

Émile Brassinne, Précis des œuvres mathématiques, Toulouse, 1853.
Paul Tannery, Charles Henry (en) et C. de Waard, Œuvres de Fermat, publiées sous les auspices du Ministère de l'instruction publique, Paris, Gauthier-Villars et cie, 1891-1922, 5 vol. 23×29 cm [lire en ligne]
Paul Féron, Pierre de Fermat : un génie européen (avec le concours de Jacques Arlet, Henri Gilles, Georges Passerat [et al.]), Toulouse : Presses de l'Université des sciences sociales de Toulouse et Éditions toulousaines de l'Ingénieur, 2002, 224 p. (ISBN 2-909628-83-3)
Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat (ISBN 2-7096-1854-0)
André Dupuy, Pierre Fermat, un génie occitan, Les Cahiers de la Lomagne
Giulio Giorello et Corrado Sinigaglia (trad. A. Masé, G. Idabouk et al.), Pierre Fermat [« Pierre de Fermat, I sogni di un magistrato alle origini della matematica moderna »], Pour la Science, coll. « Dossiers Pour la Science / Les génies de la science », octobre 2007, n°32, magazine, 102 p. (ISBN 2-84245-091-1)(ISSN 1298-6879) [présentation en ligne]
Norbert Meusnier, « Fermat et les prémices d'une mathématisation du hasard », dans Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, vol. XVII, n^o spécial, 2009, p. 87-118

[modifier] Références

↑ Il existe des pièces justificatives contradictoires. Un acte de baptême de 1601 a été souvent pris pour preuve, par exemple par l'éditeur de Fermat, Paul Tannery. Un monument funéraire, repéré au XIX^e siècle par Charles Henry, suggère une autre date, 1607 ou 1608, que le mathématicien Klaus Barner a récemment remis à l'ordre du jour, voir How old did Fermat become?. Pierre Gairin, historien local de Beaumont-de-Lomagne a récemment trouvé plusieurs actes pertinents, mais ils ne permettent pas de conclure.
↑ Il semblerait toutefois qu'il ne soit pas né le 17 août 1601. Celui qui aurait été baptisé à cette date « Pierre Fermat » serait un demi-frère mort jeune qui portait le même nom, demi-frère car il serait le fils de Françoise Cazeneuve, la première femme (morte en 1603) de son père, Dominique Fermat. Le mathématicien Pierre (de) Fermat (né Pierre Fermat, également) serait, quant à lui, né en novembre de l'an 1607. Sa mère était Claire de Long, qui a épousé son père en 1604. On remarquera que la femme de Pierre de Fermat s'appelait Louise de Long.
↑ L'épitaphe du musée des Augustins de Toulouse stipule qu'il était âgé de 57 ans,
↑ ^{a, b et c} Michel Serfati et Dominique Descotes, Mathématiciens français du XVIIe siècle : Descartes, Fermat, Pascal
↑ En 1844, Louis Taupiac, un des premiers biographes de Fermat, donne Claire (mais en 1601, date que contredit les recherches récentes de l'Abbé Dugros)
↑ Les lacunes des registres entre 1607 et 1611 rendent impossible toute certitude. Voir : « Pierre Gairin se penche sur le mystère Pierre Fermat » in La Dépêche du Midi
↑ ^{a, b, c, d, e et f} Émerand Forestié : Biographie de Tarn-et-Garonne: études historiques et bibliographiques
↑ Catherine Goldstein (de), Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Presses universitaires de Vincennes, 1995 (ISBN 978-2-91038110-3), p. 23
↑ Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat page 22 compléments, Tome 4.
↑ Méthode de maximis et minimis expliquée et envoyée par M. Fermat à M. Descartes. (lettre incomplète)
↑ Lettre du 27 juillet 1638 de Descartes à Fermat.
↑ Pierre de Fermat Varia Opera mathematica : accesserunt selectae quaedam ejusdem Epistolae, vel ad ipsum a plerisque doctissimis viris gallice, latine vel italice, de rebus ad mathematicas disciplinas, aut physicam pertinentibus scriptae. Éditeur: Apud Joannem Pech, 1679
↑ La consultation de l'Ad locos pianos et solidos isagoge montre, par exemple, que Fermat, son auteur, conservait pour l'essentiel la notation de Viète ; lire : Jean-Louis Gardies. Du mode d'existence des objets de la mathématique :[1]
↑ Jean-Louis Gardies Du mode d'existence des objets de la mathématique
↑ From `A Short Account of the History of Mathematics' (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball. (en)
↑ Descartes prétendait que plus l'indice d'un milieu était grand plus la vitesse de la lumière y était élevée ; Fermat rectifia et Descartes l'attaqua sur sa théorie des tangentes. Michel Serfati. « Pour Descartes » : Mathématiques et physique cartésiennes. Introduction/ For Descartes » : Cartesian mathematics and physics. Introduction, Revue d'histoire des sciences, 1998, n° 2, pp. 171-182.
↑ Adrien Baillet (1649-1706). Vie de René Descartes Voila ce que M De Fermat appelloit sa petite guerre contre M Descartes et ce que M Descartes appelloit son petit procez de mathématique contre M De Fermat
↑ Laplace, Exposition du système du monde
↑ Analytical geometry and the problem of tangents sur le site The Garden of Archimedes (en)
↑ Meusnier 2009
↑ Rochot B. La correspondance scientifique du père Mersenne. Paris : Palais de la Découverte, 1966.
↑ ^{a et b} Michèle Grégoire, « La correspondance entre Descartes et Fermat », dans Revue d'histoire des sciences, vol. 51, n^o 2-3, 1998, p. 355-362
↑ J.Itard :À propos d'un livre sur Pierre Fermat page 340 in Revue d'histoire des sciences publiée chez Armand Colin (1974) (ISSN 0151-4105)
↑ Catherine Goldstein, L'arithmétique de Pierre Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne : une approche microsociale [PDF]
↑ Jean Itard, Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres.
↑ (en) Chowdhary, ''Fundamentals of discrete mathematical structures, PHI Learning Pvt. Ltd. (ISBN 8120333322) [lire en ligne (page consultée le 23 septembre 2010)] : « Fermat proved a speculation of Albert Girard that every prime number of the form 4n + 1 can be written in a unique way as the sum of two squares ».
↑ Pierre de Fermat, Œuvres complètes, éditées par C. Henry & P. Tannery, 4 vols., 1891–1912, vol. II, p 441 ; Lire
↑ Démonstration d'Euler du théorème des deux carrés disponible en latin sur le web
↑ Jusqu'à sa démonstration par Andrew Wiles en 1995, ce théorème, qui n'était jusqu'alors en fait qu'une conjecture, était appelé le plus souvent « dernier théorème de Fermat » et parfois « grand théorème de Fermat ».
↑ H. Darmon : Le dernier théorème de Fermat
↑ David Ruelle, L'étrange beauté des mathématiques, Odile Jacob, 2008, p. 53 [lire en ligne].
↑ C'est du moins le point de vue de Marco Panza in Nombres: éléments de mathématiques pour philosophes, ENS Editions, 2007, pp. 172 [lire en ligne]
↑ Pour Laurent Hua et Jean Rousseau, seuls des lecteurs très optimistes peuvent penser que cette démonstration émergera d'un fatras de lettres jusqu'à ce jour non éditées. in Fermat a-t-il démontré son grand théorème?: l'hypothèse "Pascal" : essai, Editions L'Harmattan, 2002, p. 35 [lire en ligne].
↑ (en) Euler, Leonhard, Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum, Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 11 (1765) 1767, pp. 12-14, 103-123. Reprinted in Opera omnia I.26, pp. 139-157. sur EulerArchive.org
↑ L. Massoutié, Sur le dernier théorème de Fermat, CRAS 193, 1931, 502-504
↑ Léon Pomey, Nouvelles remarques relatives au dernier théorème de Fermat, CRAS 193, 1931, 563-564
↑ (en) J. M. Swistak, A note on Fermat's last theorem, Amer. Math. Monthly 76, 1969, 173–174
↑ Yves Hellegouarch : personnelle
↑ (en) The Work of Robert Langlands, sur le site de l'IAS
↑ « Quand les maths font la fête » in La Dépêche du Midi
↑ Fête à Fermat
↑ Pierre de Fermat sur le site de Beaumont-de-Lomagne
↑ La cellule de Fermat sur le site de CinEmotions
↑ Les Simpsons font des maths, sur le site de CEGEP de Sherbrooke
↑ D. Guedj, Le théorème du perroquet, Paris, Seuil, 2000 (ISBN 2-02-042785-0)
↑ Canoë - Techno-Sciences - Google rend hommage au mathématicien Pierre de Fermat

[modifier] Voir aussi

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[modifier] Articles connexes

Prix Fermat de recherche en mathématiques
Nombre de Fermat
Petit théorème de Fermat
Dernier théorème de Fermat
Principe de Fermat
Mathématiques en Europe au XVII^e siècle
Adégalité

[modifier] Liens externes

Œuvres de Fermat en ligne sur archive.org : t.1, Paris, 1891 ; t.2, 1894; t.3, 1896 ; t.4, 1912.
Méthode de Fermat pour la recherche du minimum et du maximum, analysée sur le site BibNum.
Maison Natale de Pierre de Fermat - Fermat Science : Expositions et événements sur les mathématiques et la science dans la ville natale de Fermat à Beaumont-de-Lomagne (Tarn-et-Garonne 82)
Exposition permanente à Beaumont de Lomagne
(en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Pierre de Fermat », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] .