Pierre de Fermat

Pierre de Fermat
Naissance	Première décennie du XVIIesiècle Beaumont-de-Lomagne (France)
Décès	12 janvier 1665 Castres (France)
Nationalité	Française
Champs	Mathématiques et droit
Institution	Académie des Sciences Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse, Parlement de Toulouse
Célèbre pour	Dernier théorème de Fermat, géométrie analytique, petit théorème de Fermat, probabilité
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Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVII^e siècle^[1],[2], à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres ^{[3] [4]}, est un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs Â». Il est en même temps un habile helléniste. Il s'est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le Principe de Fermat en optique.

[modifier] Biographie

[modifier] Origines familiales

Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé de Beaumont-de-Lomagne, doué en calcul. Ce bourgeois et second consul de la ville est connu comme marchand de cuir (et autres denrées) ; il s'est marié successivement à Françoise Cazeneuve , fille d'un marchand aisé (et ce jusqu'en 1603 au moins), puis à Claire de Long, fille du seigneur Clément de Long de Barrès (et ce avant 1607). On ne sait cependant laquelle de ces deux femmes fut la mère du mathématicien^[5][4]. Plusieurs actes témoignent de la naissance d'un enfant Fermat du nom de Pierre, l'un baptisé le 31 octobre 1605, l'autre durant l'année 1608^[6]

La maison où est né le mathématicien, et qui abrite de nos jours l'office de tourisme, est une maison familiale sur laquelle il n'y a pas de doute car elle fut occupée, de 1577 à 1707, par quatre générations de Fermat^[7]. Pour autant, on ne sait pas davantage où Pierre de Fermat a effectué ses études primaires. Par la suite, il fait des études de droit à Toulouse et à l'université d'Orléans, dont il sort bachelier de droit civil en 1631^[8]

[modifier] Premières armes

Dès 1627, Fermat, avocat à Bordeaux, fréquente vraisemblablement les milieux scientifiques autour du président Jean d'Espagnet^[4] et de son fils, Étienne. Il y rencontre le secrétaire royal Jean de Beaugrand et s'initie aux notations algébriques de Viète au travers d'un exemplaire prêté par son ami d'Espagnet. Selon les affirmations contenues dans ses lettres à Mersenne, il entretient Étienne d'Espagnet de sa méthode des maximis et minimis dès cette époque. Il affirme également avoir produit une méthode pour les carrés magiques. Hormis cela, sa formation en tant que mathématicien n'est que peu connue ; il semble qu'il se soit même éloigné de ces recherches pendant un temps.

En 1631, il achète une première charge de commissaire aux requêtes dans laquelle il est installé le 14 mai^[7]. Les commissaires aux requêtes du palais ne faisaient pas partie de la cour proprement dite. Autrefois composée des plus vieux conseillers, cette chambre servait, au contraire, depuis longtemps déjà, de début aux jeunes conseillers, qui de là passaient plus tard a la cour. Il habite Toulouse ; Conseiller du roi auprès du Parlement de Toulouse, il épouse à Beaumont, le 1er Juin (bans le 20 avril) de cette année-là, Louise de Long fille de Clément de Long, un des principaux conseillers du parlement, cousine éloignée^[7], avec laquelle il aura cinq enfants ; Clément-Samuel, Jean, Claire, Louise et Catherine.

Le 30 décembre 1637, Jean de Beaugrand signe les lettres patentes de Pierre de Fermat, comme conseiller aux enquêtes du parlement de Toulouse (Fermat sera installé le Samedi 16 Janvier suivant^[9].

[modifier] Fermat et l'académie de Mersenne

Pierre de Fermat

Dès 1636, il entre en correspondance avec le Père Mersenne et dans sa première lettre, il lui demande quelles nouveautés ont paru en mathématiques depuis les cinq dernières années. La même année, il publie sa traduction d'Apollonius de Perga, De Locis planis, Des lieux plans. En 1638, il expose au public sa méthode des minima. Le 18 janvier Descartes l'attaque dans une lettre à Mersenne pour sa passion commune à Viète, à Ghetaldi et à Snell de s'appliquer à restaurer les grecs.

Quoiqu'il ne semble pas être monté à Paris, ses amis mathématiciens le représentent auprès du père Minime ; ce sont Beaugrand, Étienne Pascal et Roberval, qu'il charge de soutenir ses idées, lorsqu'en 1640, il mène sa première guerre contre Descartes et son optique. À l'étranger, il correspond avec Torricelli, Carcavi et Huygens. Comme il demande systématiquement de démontrer par la preuve les théories qu'il avance, cette exigence ravive quelquefois l'ire des autres envers lui. N'écrit-il pas à Mersenne :

«  J'ay si peu de commodité d'escrire mes démonstrations , que je me contente d'avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver, lorsque j'auray le loisir de le faire.  Â»

Et à Roberval :

«  Je ne doute pas que la chose n'eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de tous les hommes.  Â»

L'année qui suit, il se dispute longuement avec Descartes à propos de la paternité et de la généralité de leurs méthodes pour déterminer les tangentes d'une courbe algébrique. Les hérauts de Descartes (Mydorge et Claude Hardy), triomphant de ceux de Fermat, (Étienne Pascal et Roberval), les deux hommes finiront par se réconcilier sur les instances de Mersenne et le philosophe écrira :

«  Je n'ai pas eu moins de joie de recevoir la lettre par laquelle vous me faites la faveur de me promettre votre amitié, que si elle me venait d'une maîtresse dont j'aurais passionnément désiré les bonnes grâces.  Â»

[modifier] Castres

Mais en dépit de cette activité épistolaire, et mathématique, Fermat remplit ses tâches de Conseiller avec fidélité et assurance ; il achète, en 1638, une charge plus importante, celle de Conseiller à la Cour en la première Chambre des enquêtes. Il siège à Castres cette année là ; et en 1642, il obtient d'être nommé dans cette ville, membre de la Chambre de l'Édit. Il siège en cette cour en 1644, 1645, 1648, 1649, il en apprécie le séjour et cherche plusieurs fois à s'y faire renommer.

Des nombreuses lettres échangées avec l'érudit Jacques de Ranchin, membre de la Chambre de l'Édit de Castres et traducteur d'ouvrages grecs, il ne nous reste, hélas, qu'une seule lettre de la main de Fermat. Par ailleurs, c'est à Castres, qu'il rencontre le médecin polymathe Pierre Borel. Celui-ci le présente à Claude Hardy, autre polymathe parisien. Dans ces cercles d'érudits, il est courant qu'on s'adresse à Fermat pour éclaircir une traduction ou confirmer une citation. Ainsi, a-t-on prétendu, avec vraisemblance, qu'il fut membre des Lanternistes. Néanmoins des études de 1858 tendent à montrer qu'il s'agit de son fils, Clément Samuel^[7].

Ces activités littéraires et scientifiques ne l'empêchent pas pour autant de progresser dans sa carrière. En 1652, la peste qui ravage la France s'attaquera à lui, mais il y fera face et la combattra. Il exerce à partir de cette année-là à la Tournelle (la Chambre Criminelle du parlement) et enfin, deux ans plus tard, à la Grand’ Chambre où il lit son premier rapport. Profond jurisconsulte, Fermat semble avoir exercé ses fonctions de magistrat avec jugement mais sans passion pour son emploi ; il n'est pas des amis de Fieubet, le président du Parlement et si un de ses amis de Castres, l'avocat Pierre Saporta, affirme qu'il fut d'une grande intégrité dans les affaires du Palais, d'autres rapports sont plus sévères sur son activité en ce domaine

Parmi ses amis et ses correspondants de Toulouse et de Castres, on compte encore le père jésuite Lalouvère et le minime Emmanuel Maignan, qui ont quelques connaissances mathématiques. Néanmoins, ses talents s'exercent généralement à part de son travail de magistrat, au travers de ses lettres avec le Père Mersenne, et en 1654, au travers de sa correspondance avec Blaise Pascal, puis en 1659 par ses échanges avec Carcavi et la publication de sa « relation des nouvelles découvertes en la science des nombres Â» qui le font connaître comme un des mathématiciens les plus ingénieux de son temps.

[modifier] Derniers travaux

Les grands écrits que l'on a retrouvés de lui sont des annotations dans des textes renommés tels l'Arithmetica de Diophante et une partie de sa correspondance avec les scientifiques du XVII^e siècle. Ce n'est qu'en 1670 que son théorème est exposé au public. Il commente, en l'étendant, Diophante, et rétablit avec une admirable sagacité plusieurs ouvrages perdus d'Apollonius et d'Euclide. Tant par sa vie, assez peu connue, que par la rareté de sa production, Fermat laisse après lui l'image d'un savant dissimulant ses méthodes, et laisse le regret que quelques-unes se soient perdues avec lui.

En 1662 il publie son mémoire, écrit cinq ans plus tôt : Synthèse pour les réfractions. Il s'oppose ainsi de façon définitive à Descartes, qui dans sa dioptrique, expliquait les lois de l'optique en comparant la lumière à une balle soumise à diverses forces. Fermat se base sur le principe qui anime toute sa vie  : « La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples Â». Les discussions reprennent avec les épigones du philosophe de la Haye, Clerselier et Cureau de la Chambre. Élégant comme à son habitude, Fermat finit par abandonner la lutte, pourvu qu'on lui reconnaisse ses mérites de géomètre. La suite de l'histoire des sciences lui donnera raison.

Durant toute sa vie, le magistrat-mathématicien a participé aux activités de sa commune, présidant les conseils et prenant une part active dans la municipalité. On le disait très charitable. Deux de ses filles, Catherine et Louise, y furent baptisées, les 20 août 1641 et 28 juin 1655. Après 1660 sa santé devint chancelante. Le 9 janvier 1665 il fit le rapport d'une affaire à la Chambre du parlement de Castres ; le 12 du même mois, cessait de vivre. Aucune pompe n'entoura ses funérailles. Un éloge de Charles Perrault fut publié un mois après sa mort dans le Journal des Savants (le 7 février)^[7].

[modifier] Après sa mort

Il ne reste après son décès qu'une importante correspondance dispersée dans toute l'Europe.

Le fils de Pierre de Fermat publie, en 1670, une édition de l'Arithmetica de Diophante annotée par son père, puis en 1679 une série d'articles et une sélection de sa correspondance sous le nom de Varia opera mathematica^[10]

En 1839, Guglielmo Libri tente de soustraire un certain nombre de manuscrits, dont une partie seulement sera récupérée.

Charles Henry et Paul Tannery publient, au début du XX^e siècle, les Å’uvres de Fermat en quatre volumes ; un supplément sera ajouté par C. de Waard en (1922).

[modifier] Contributions

François Viète

Il partage avec Viète, dont il utilise les notations^[11],[12], et Descartes, avec qui il fut en conflit^{[13],[14] [15] [16] [17]}, la gloire d'avoir appliqué l'algèbre à la géométrie.

D'Alembert voyait dans ses travaux la première application du calcul infinitésimal, jugement que partagèrent Arbogast, Lagrange et Laplace^[7]. Il imagina, en effet, pour déterminer les tangentes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel et le premier à utiliser des formules de dérivation (le concept de nombre dérivé remonterait au premier des grands mathématiciens indiens, l'astronome Aryabhata).

Fermat contribue dans son échange épistolaire avec Blaise Pascal à élaborer les bases du calcul des probabilité, une mathématique du hasard que provoque l'étude du problème des partis du chevalier de Méré. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cÅ“ur de la « théorie moderne des nombres Â».

Une page de la correspondance entre Pascal et Fermat, 1654 ^[18]

Il est très connu pour deux « théorèmes Â» :

• le « petit théorème de Fermat Â» ;
• le « dernier théorème de Fermat Â» ; ce dernier n'était qu'une conjecture et l'est resté durant plus de trois siècles de recherches fiévreuses.

[modifier] Les querelles avec Descartes

La dioptrique

Descartes publie en 1637 son traité de la méthode et une diotrique, dans laquelle il expose les Lois de Snell-Descartes. Celles-ci décrivent le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux. L'énoncé de la loi des sinus est attribuée à Snell dans le monde entier (sauf en France) ; et il est possible que Descartes ait eu connaissance de celle établie auparavant par Snell, le professeur Rivet, professeur de théologie en relation avec le Père Mersenne^[19] pourrait fort bien l'avoir communiquée à Descartes tout comme son ami Isaac Beeckman, ancien élève de Snell.

Lorsqu'il tente de justifier cette loi, Descartes commet cependant quelques bévues. Considérant le trajet de la lumière comme celui d'une balle, il explique la déviation subit par le trajet à ce que dans un milieu plus dense, la vitesse en est accélérée. Cette explication (infirmée par Léon Foucault), sera fort justement critiquée par Fermat :

« Jean de Beaugrand ayant parcouru le manuscrit de la "dioptrique" se hâta de l'envoyer à Toulouse par la voye de Bordeaux, pour le faire lire à Monsieur De Fermat, conseiller au parlement de Languedoc, qui avoit témoigné une passion plus qu'ordinaire pour voir ce qui viendrait de la plume de M Descartes Â»

affirme Adrien Baillet. La réalité semble moins romanesque : consulté par Mersenne, Fermat décèle dans cette dioptrique deux erreurs importantes^[20] ; il ne trouve pas convaincante « l'inclination au mouvement Â» par laquelle Descartes croit pouvoir expliquer les angles d'incidence des phénomènes de réfraction. Dans les raisons qu'il donne à ce que les milieux traversés ne s'opposent pas de la même façon au mouvement d'une balle et à celui de la lumière, Descartes prétend à la fois que le mouvement de la lumière est instantané et qu'elle va moins vite dans l'air que dans l'eau. En septembre 1637, Fermat rédige ses impressions à Mersenne. Il y relève la contradiction. Descartes, alerté, répond aussitôt à Mersenne :

« le défaut qu'il trouve en ma démonstration n'est qu'imaginaire et montre assez qu'il n'a regardé mon traité que de travers. [...] et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu'il prend de rêver encore sur cette matière... Â»

La querelle qui s'en suit permet alors à Fermat de faire montre de rigueur et de sang-froid^[21] :

«  Ce n'est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j'estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d'autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. Â»

Pour autant, la querelle sur la dioptrique en reste là. Ce n'est qu'après la mort de Descartes, quinze ans plus tard, que le mathématicien de Beaumont parviendra à une formulation satisfaisante de son principe de durée minimale (Å’uvres de Fermat, t. III, 149-156), expliquant le trajet de la lumière dans des milieux d'indices différents. C'est ainsi qu'il met à jour le principe de Fermat, principe fondemental de l'optique géométrique qui décrit la forme du chemin optique d'un rayon lumineux et s'énonce ainsi : La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit extrémale. Il permet de retrouver la plupart des résultats de l'optique géométrique, en particulier les lois de la réflexion sur les miroirs, les lois de la réfraction,...

La méthode des tangentes

René Descartes.

À la fin de l'année 1637, Descartes reçoit de Mersenne l'essai de Fermat intitulé Methodus ad disquirendam maximám et minimam et le philosophe reprend son « procès en mathématiques Â» contre monsieur Fermat en janvier 1638. Il écrit au père minime que son contradicteur propose dans sa règle de formation des tangentes une resucée de la méthode dite de fausse position. Il lui reproche de raisonner par l'absurde (méthode de raisonnement qui passe à ses yeux pour la façon de démontrer la moins estimée et la moins ingénieuse de toutes celles dont on se sert en Mathématiques). Il vante auprès du père minime sa propre méthode, tirée, selon ses mots,d'une connaissance de la nature des équations et qui suit, selon lui, la plus noble façon de démontrer qui puisse être…

Jean de Beaugrand publie alors un pamphlet pour défendre Fermat contre le S. des C. (sans mentionner les noms des protagonistes). Il expose les résultats de Fermat sur la détermination des tangentes. Il dénonce ceux, plus compliqués, de Descartes dont la méthode consiste à définir le cercle osculateur pour déterminer la tangente à partir de ce cercle.

Jean Itard lit dans les publications de Beaugrand la preuve de la supériorité de Pierre de Fermat dans la compréhension de la nature affine du problème des contacts^[22]. Selon ses mots, Fermat n'avait rien, ou presque, pour explique la nature affine de l'existence (et de la construction) des tangentes à une courbe ; car il ne s'agit pas d'un problème métrique. C'est pourtant ce qui le placera au-dessus de Descartes dans ce problème des tangentes où l'orthogonalité des axes de coordonnées n'est d'aucune importance. C'est ce que souligne Beaugrand dans son pamphlet anonyme.

[modifier] Petit théorème de Fermat

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors .

Voir aussi : Théorème d'Euler, dont ce théorème est un cas particulier.

Leibniz a rédigé en 1683 une démonstration qu'il ne publie pas. Léonard Euler a démontré le théorème en 1736 par les mêmes arguments. Il communique cette preuve le 2 août 1736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg et publie cette première démonstration en 1741. Elle repose sur une récurrence et l'utilisation du développement du binôme.

Fermat n'a pas fourni sa démonstration ; le 18 octobre 1640^[23], il écrit à Frénicle de Bessy :

« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1 ... Il ajoute : Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long  Â»

On peut être assuré que Fermat tenait effectivement une preuve, car plus loin, à propos des nombres "premiers" qui portent son nom, il ajoute :

« Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer... cette belle proposition que je vous ai envoyée... Si vous en aviez la preuve assurée, vous m'obligeriez de me la communiquer car, après cela, rien ne m'arrêtera en ces matières.^[24] Â»

Les méthodes de Fermat ont évolué avec le temps^[25] et il paraît difficile de reconstruire ce qu'a pu être son raisonnement.

[modifier] Théorème des deux carrés de Fermat

Ce théorème énonce qu'un nombre premier impair est la somme de deux carrés si, et seulement si, il est congru à 1 modulo 4.

Afin d'en fournir la preuve, Fermat a mis au point la méthode, de la descente infinie. On ne sait pas s'il possédait vraiment une démonstration de son théorème^[26]. Il déclare à Carcavi en août 1659 :

« Lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. Â»

Toutefois il a laissé l'indication qui suit :

«  Si un nombre premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés. Â»

dont l'idée forte permettra à Euler de donner une preuve complète de ce thèorème^[27].

[modifier] Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux

Buste dans la salle des Illustres du Capitole de Toulouse

Tout entier s'écrit :

• comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
• comme somme d'au plus 4 nombres carrés
• comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
• etc.
  • nombres triangulaires :
     : le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
  • nombres carrés :
     : le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
  • nombres pentagonaux :
     : le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
  • nombres polygonaux d'ordre m  :
     : le n-ième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo (m-2).

Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au XVIII^e siècle (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.

[modifier] Grand théorème de Fermat (ou dernier théorème de Fermat)

Travail de Diophante d'Alexandrie traduit du grec en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac. Cette édition du livre a été publiée en 1621. La page 85 contient le problème II.VIII de Diophante, et est la page sur laquelle Pierre de Fermat écrivit que la marge était trop petite pour contenir la démonstration.

« Il n'existe pas d'ensemble d'entiers strictement positifs , , vérifiant l'équation lorsque n est un entier tel que . Â»

Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics. Une bonne centaine de mathématiciens dans le monde est capable de saisir tous les détails de cette démonstration^[28].

Pierre de Fermat lui-même annotait dans la marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit:

«  J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. Â»

La démonstration évoquée par Pierre de Fermat, inconnue à ce jour, était à n'en pas douter, une illusion. La démonstration réalisée par Andrew Wiles (dont le dernier théorème de Fermat n'est qu'un corollaire) utilise des outils mathématiques d'une complexité dont on ne semble guère pouvoir se passer et que Fermat ne pouvait pas même soupçonner, compte tenu des connaissances de son époque.

Les cas des exposants n = 3,4 puis 5 et 7 ont été traités respectivement par Euler^[29], Legendre et Cauchy .

• Vers 1800, Gabriel Lamé prétendit avoir trouvé la solution de ce problème. Il ne fut que le premier d'une liste de mathématiciens amateurs tentés par ce difficile problème.
• En 1857, Ernst Kummer] franchit un pas décisif en démontrant le dernier théorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100.
• En 1908, l'Université de Göttingen et la fondation Wolfskehl offrirent un prix de 100 000 marks à qui trouverait la démonstration avant cent ans.
• En 1961, La relation n'était prouvée que pour les entiers n < 269.
• Les progrès fulgurants des trente années précédant la démonstration de Wiles sont liés à des travaux de Jean-Pierre Serre^[30], d'Yves Hellegouarch^[31] et de Robert Langlands^[32] sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires,

[modifier] Méthode de la descente infinie

Fermat est l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie : Supposons qu'une proposition P dépendant d'un rang n (> 0) vérifie la propriété : « Si P est vraie à un rang quelconque r, elle l'est à un certain autre rang q strictement inférieur à r Â». Alors on peut conclure que P est fausse pour tout rang. En effet, pour tout r, l'application récurrente de la propriété permet de construire une chaîne infinie de rangs décroissants r > q >...>... Or les rangs étant positifs, la longueur de la chaîne ne peut pas être supérieure à r.

La descente infinie peut être utilisée pour démontrer le cas particulier n = 4 du dernier théorème de Fermat.

[modifier] Principe de Fermat (optique)

Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui optimise le temps de parcours. Voir l'article principe de Fermat.

[modifier] Fermat dans la culture populaire

[modifier] La fête à Fermat

Tous les ans, depuis 2003^[33], la ville de Beaumont de Lomagne (82) organise sous le patronage d'Ahmed Djebbar, une fête populaire en l'honneur du mathématicien. Des conférences mathématiques, des ateliers, des expositions, des animations et des spectacles. La ville consacre par ailleurs une partie de son site à son homme de génie

[modifier] Le lycée Pierre de Fermat

Situé Parvis des Jacobins à Toulouse, Fermat fut fondé en 1806. Il a pris le nom du mathématicien en 1957, sur proposition du maire de Toulouse Raymond Badiou. Il y compta un temps pour professeur Georges Canguilhem et Jean-Pierre Vernant.

[modifier] Cinéma

• Dans le film espagnol de Luis Piedrahita et Rodrigo Sopeña La habitación de Fermat (La chambre ou La cellule de Fermat, cinq mathématiciens se retrouvent sur l'invitation anonyme d'un certain "Fermat" (Federico Luppi). Affublés de noms de mathématiciens célèbres, leurs pseudonymes pour la soirée, l'hôte leur soumet une des dernières énigmes scientifiques de notre temps. Hilbert est un vieux chercheur, Pascal un ingénieur obnubilé par les applications commerciales ; Galois et Oliva sont deux jeunes génies... Arrivés dans leurs chambres, les mathématiciens comprennent qu'ils sont piégés. Ce thriller mathématique aux effets garantis n'entretient cependant qu'un lointain rapport avec le mathématicien de Beaumont et la Conjecture de Goldbach.

[modifier] D'autres occurrences

Le contre exemple des Simpsons 

Un "contre exemple" au grand théorème de Fermat, se trouve illustré par un montage mettant en scène Homer Simpson^[34] où apparaît l'égalité : 1782¹² + 1841¹² = 1922¹². En réalité, l'égalité n'est pas vérifiée (la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair n'est évidemment pas un nombre pair), mais la différence dépasse les capacités de calcul des calculatrices standard.

Millenium

Dans le deuxième tome de Millenium La fille qui rêvait d'un bidon d'essence et d'une allumette, de Stieg Larsson (1954-2004), Lisbeth dénoue le théorème de Fermat en trois semaines.

Le Théorème du Perroquet 

Ce livre de Denis Guedj publié en 1988, traite par la fiction, du dernier théorème de Fermat et de l'histoire des mathématiques. On y lit un hommage a la méthode des minima, si injustement décriée par Descartes :

« Avec soixante ans de retard, M. Ruche comprit ce que plus de trois siècles plus tôt Fermat avait compris : un arc infiniment petit d’une courbe peut être assimilé au segment correspondant de la touchante. ^[35] Â»

La conjecture de Fermat

Dans le roman historique "La conjecture de Fermat" de Jean d'Aillon, Louis Fronsac doit apporter à Blaise Pascal un imaginaire unique exemplaire de la démonstration du Grand Théorème rédigée par Fermat. Les péripéties de sa mission amènent évidemment à la destruction du manuscrit.

[modifier] Références

[modifier] Bibliographie

• Émile Brassinne, Précis des Å“uvres mathématiques, Toulouse, 1853.
• Paul Tannery, Charles Henry et C. de Waard, Å’uvres de P. Fermat, Gauthier-Villars et cie, Paris, 1891-1922, 5 vol. 23×29 cm 
• Paul Féron, Pierre de Fermat : un génie européen (avec le concours de Jacques Arlet, Henri Gilles, Georges Passerat [et al.]), Toulouse : Presses de l'Université des sciences sociales de Toulouse et Éditions toulousaines de l'Ingénieur, 2002, 224 p. (ISBN 2-909628-83-3)
• Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat (ISBN 2-7096-1854-0)
• André Dupuy, Pierre Fermat
• Giulio Giorello et Corrado Sinigaglia (trad. A. Masé, G. Idabouk et al.), Pierre Fermat [« Pierre de Fermat, I sogni di un magistrato alle origini della matematica moderna Â»], Pour la science, coll. « Dossiers Pour la science / les génies de la science Â», octobre 2007, n°32, magazine, 102 p. (ISBN 2-84245-091-1) (ISSN 1298-6879) [présentation en ligne] 
• Norbert Meusnier, "Fermat et les prémices d'une mathématisation du hasard" in Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, Vol XVII, n° Spécial, 2009, pp.87-118.

[modifier] Articles connexes

• Prix Fermat de recherche en mathématiques
• Nombre de Fermat
• 4 294 967 297
• Principe de Fermat
• Mathématiques en Europe au XVIIe siècle

[modifier] Liens externes

• Å’uvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'instruction publique.
• Å’uvres de Fermat en ligne sur archive.org : t.1, Paris, 1891 ; t.2, 1894; t.3, 1896 ; t.4, 1912.
• Méthode de Fermat pour la recherche du minimum et du maximum, analysée sur le site BibNum.
• Exposition permanente à Beaumont de Lomagne