Primitive (mathématiques) (encyclopédie mathématiques)

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Ne pas confondre avec la notion de fonction primitive en informatique.

Cet article est une ébauche concernant l'analyse.

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En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction $f$ d'une variable réelle définie sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$ , autrement dit telle que :

$\forall x \in I,\quad F\,'(x) = f(x).$

Une condition suffisante pour qu'une fonction $f$ admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si $f$ est une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ , alors pour tout réel $k$ , une primitive de $kf$ sur l'intervalle $I$ est $kF$ .

Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de deux fonctions $f$ et $g$ , alors une primitive de $f+g$ est $F+G$ .

Si une fonction $f$ admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante (appelée souvent constante d'intégration) : si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ , alors il existe un réel $k_0$ tel que $F_1 = F_2+k_0$ .

Si $F$ est une primitive de $f$ , alors

$F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\;\mathrm dx$ .

Ceci est la seconde partie du théorème fondamental de l'analyse.

Sommaire

[modifier] Exemples

Polynômes et fonctions rationnelles

Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto 2x\,$ est $F:x \longmapsto x^2\,$
Une primitive de la fonction $g:x \longmapsto 4x^3\,$ est $G:x \longmapsto x^4\,$
Une primitive de la fonction $f+g:x \longmapsto 2x + 4x^3\,$ est $F + G:x \longmapsto x^2 + x^4\,$
Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto x^n\,$ est $F:x \longmapsto \tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n$ réel différent de −1.
Une primitive sur $]0,+\infty[$ de la fonction inverse $f:x \longmapsto \tfrac{1}{x}$ est la fonction logarithme népérien $x \longmapsto \ln(x)\,$ .
Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.

Fonctions trigonométriques

Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.
Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

Autres

Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

[modifier] Calcul automatique

Des logiciels comme Maxima, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

[modifier] Primitives courantes

Article détaillé : table de primitives.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la deuxième est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.

(Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle.)

[modifier] Fonctions simples

$C,a,\omega,\varphi$ désignent des constantes réelles, avec $\omega\neq 0$ .

Tableau des primitives simples
$f(x)$	$D_D$	$F(x)$
${0}\,$	$\R$	${C}\,$
$x^a, \forall\, a\in \R\backslash\{-1\}$	$\R^$ si $a\in\Z$ ; $\R^_+$ sinon	$\frac {x^{a+1}}{a+1}+C$
$\frac {1}{x}$	$\R^*$	$\ln\|x\|+C\,$
$\cos(\omega x+\varphi)$	$\R$	$\frac{1}{\omega} \sin(\omega x+\varphi)+C$
$\sin(\omega x+\varphi)$	$\R$	$-\frac{1}{\omega} \cos(\omega x+\varphi)+C$
$\frac {1}{\cos^2{x}}$	$\R\backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$	$\tan {x}+C\,$
$-\frac {1}{\sin^2{x}} \,$	$\R\backslash \left\{k\pi,k\in\Z\right\}$	$\operatorname{cotan}\,{x}+C\,$
$e^x\,$	$\R$	$e^x+C\,$
$\ln(x)\,$	$\R^*_+$	$x(\ln(x) - 1) + C\,$
$\tan x = \frac{\sin {x}}{\cos {x}}$	$\R\backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$	$-\ln \|\cos {x}\|+C\,$
$\sin x \times \cos x$	$\R$	$-\frac{1}{2} \times \cos^2{x} +C$

Noter que ce tableau inclut les primitives de $x^a$ non seulement pour $a\in\N$ (entier naturel), ce qui permet de trouver celles des polynômes, mais aussi pour $a\in\Z$ (entier relatif), par exemple $\frac 1{x^2}=x^{-2}$ , et même pour $a$ réel non entier, par exemple $\sqrt x=x^\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{\sqrt x}=x^{-\frac{1}{2}}$ .

[modifier] Fonctions composées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions, et $\lambda$ un réel.

Tableau des primitives composées
$f(x)$	$F(x)$
$\lambda u^\prime$	$\lambda\ u + C$
$u^\prime + v^\prime$	$u+v+C$
$(v^\prime\circ u) \times (u^\prime)$	$(v\circ u)+C$
$(u^a)\times(u^\prime), \forall\,a\in \R\backslash\{-1\}$	$\frac {u^{a+1}}{a+1}+C$
$\frac{u^\prime}{u}$	$\ln{\|u\|}+C$
$\sin u \times u^\prime$	$- \cos\,{u} +C$
$e^u \times u^\prime$	$e^{u}+C\,$