Puissance (mathématiques élémentaires)

Puissance (mathématiques élémentaires) : encyclopédie mathématique

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L'étude élémentaire des puissances se fait dans le cadre de l'algèbre élémentaire.

La notion de puissance est un cas particulier de celle de produit.

La puissance d'exposant entier strictement positif d'un nombre réel est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois ; par exemple la puissance cubique du nombre a, notée a³, est le produit

a × a × a.

En somme la puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à l'addition.

On introduit ensuite les puissances d'exposant entier strictement négatif d'un nombre réel non nul, inverses des puissances d'exposant entier strictement positif de ce nombre réel, par exemple

si a est un nombre réel non nul, $a^{-3}=\frac{1}{a^3}$ .

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10^-5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.

Sommaire

[modifier] Puissance à exposant positif

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée a ⁿ et lu « a exposant n » ou « a puissance n », est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n fois :

a ⁿ = a × a ×...× a, n fois.

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance a ⁿ.

Le nombre n étant un nombre positif, car entier naturel, a ⁿ est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers

a¹ = a.
On appelle a ² la puissance carrée ou le carré de a.
On appelle a ³ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque facilement que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0 ⁿ = 0.

[modifier] Puissance à exposant zéro

Pour tout nombre réel a strictement positif, on pose par convention que a ⁰ = 1. En effet, on peut écrire $a^0 = a^{1-1} = a^1 \times a^{-1} = a \times \frac{1}{a} = 1$ d'où a ⁰ = 1

Dans certains contextes il peut être utile de poser la convention $00 = 1$ , par exemple pour identifier le polynôme X ⁰ avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles, la notation 0⁰ peut représenter le cardinal de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l'application $(x,y)\mapsto x^y = \exp(y \ln(x))$ , bien définie sur $\R^*_+\times \R$ n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0) ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité.

[modifier] Puissance à exposant négatif

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a^-n, lu « a exposant moins n » ou « a puissance moins n », est l'inverse de la puissance énième de a, c'est-à-dire :

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

On comprend qu'il a fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est impossible.

Le nombre -n est l'exposant de la puissance a^-n.

Le nombre -n étant négatif, car n est un entier naturel, a^-n est une puissance de a à exposant négatif. On notera, en particulier, que a^-1 = 1/a (l'inverse du nombre a ).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative :

$a^n=\frac{1}{a^{-n}}$

[modifier] Signe de l'exposant et signe du nombre

Il n'y a pas de rapport entre le signe de l'exposant et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire (positive ou négative) donnera toujours un résultat positif.

n

est pair alors

( - a) n = a n

Un nombre élevé à une puissance impaire donnera un résultat du même signe.

n

est impair alors

( - a) n = - a n

Par exemple

(- 2)³, puissance cubique de -2, vaut (-2)×(-2)×(-2)=-8 < 0.
3^-4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

$\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\times3\times3\times3}=\frac{1}{81}>0$

Remarque : Il ne faut pas confondre les écritures $( - a) n$ (la puissance s'applique à $- a$ signe moins compris) et $- a n$ (la puissance s'applique à $a$ uniquement). En effet

$(-a)^n = (-a)\times(-a)\times(-a)\times ... \times(-a)$
$-a^n = - a\times a\times a\times ... \times a$

[modifier] Opérations algébriques sur les puissances

Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances sauf la factorisation de $a n - b n$ et le développement de $(a + b) n$ .

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances on sait que, pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :

$a^m\times{a}^{n}=a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ pour tout $a$ non nul
$(a^m)^n=a^{m\times{n}}$
$(a\times b)^n= a^n\times b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ pour tout $b$ non nul

Ces formules sont encore valables si m et/ou n sont des entiers strictement négatifs à condition que a, comme b, soient non-nuls.

On remarque que la convention « a⁰ = 1 pour tout nombre réel non nul a » est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n non nul et pour tout nombre réel a non nul :

$a^n\times{a}^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{n-n}=a^0$
et
$a^n\times{a}^{-n}={a^n}\times\frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=1$ .

On remarquera qu'en prenant n = 0, les égalités précédentes restent vraies.

[modifier] Puissances de dix

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissances. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Table des puissances de dix
	10⁰ = 1
10^-1 = 0,1	10¹ = 10
10^-2 = 0,01	10² = 100
10^-3 = 0,001	10³ = 1 000
10^-4 = 0,000 1	10⁴ = 10 000
10^-5 = 0,000 01	10⁵ = 100 000
10^-6 = 0,000 001	10⁶ = 1 000 000
…	…

Dix élevé à une puissance entière positive n est un 1 suivi de n zéros. Dix élevé à une puissance entière négative -n est un 1 placé à la n ^e position dans un nombre décimal (précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule).

On utilise fréquemment les puissances multiples de trois, qui correspondent aux préfixes du système international :

Table des puissances de dix multiples de trois
Puissance de dix	Préfixe SI	Puissance de dix	Préfixe SI
10^-3 = 0,001 un millième	m (milli-)	10³ = 1 000 mille	k (kilo-)
10^-6 = 0,000 001 un millionième	µ (micro-)	10⁶ = 1 000 000 un million	M (méga-)
10^-9 = 0,000 000 001 un milliardième	n (nano-)	10⁹ = 1 000 000 000 un milliard	G (giga-)
…	…	…	…

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc, multiplier par 10ⁿ pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite et diviser par 10ⁿ pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi

325,72 × 10 = 3 257,2
325,72/10 = 32,572
325,72 × 10⁵ = 32 572 000
325,72/10⁵ = 0,003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire tous les calculs par la suite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient

dans l'écriture explicite en base 10 :

325,72 = 3 × 10² + 2 × 10 + 5 + 7 × 10^-1 + 2 × 10^-2

dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :

325,72 est noté 3,257 2 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;

et dans la notation ingénieur :

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 1 000 (strictement inférieur à 1 000) avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

[modifier] Exponentielle

Les puissances entières sont en fait des cas particuliers de la fonction exponentielle :

a b = exp(b \cdotln a)

définie par tout réel a strictement positif

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir :

des puissances fractionnaires : $x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$ , n étant un entier (voir Racine carrée, Racine cubique et Racine d'un nombre) qui coïncident avec les racines n-ième pour tout x strictement positif
des puissances réelles : x ^y peut être défini pour un y réel et tout x strictement positif.

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux même règles que les puissances entières, notamment

$a^b \times a^c = a^{b+c}$
$(a^b)^c = a^{b \times c}$

Pour tout a > 0 , b et c réels quelconques. On a en particulier

$a^{-1/b} = \frac{1}{\sqrt[b]{a}}$ , pour tout b entier
$\sqrt[c]{a^b} = a^{b/c}$ , c étant un entier ;
si b est non nul : $(a^b)^{1/b} = (a^{1/b})^b = \sqrt[b]{a^b} = \left ( \sqrt[b]{a} \right )^b = a^{b/b} = a$

[modifier] Voir aussi

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + addition – soustraction × multiplication ÷ division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) coefficient binomial A arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel
	algébrique
	[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
	∪ cup-produit • produit d'intersection	+ concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)