Racine carrée

Racine carrée : encyclopédie mathématiques

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Wikibooks propose un ouvrage abordant ce sujet : Les racines carrées en classe de troisième.

En mathématiques, la racine carrée d’un nombre réel x est le nombre positif dont le carré (la multiplication du nombre par lui-même) vaut x. Ainsi le nombre 3 est une racine carrée de 9 puisque 3² = 9.

Tout nombre réel x positif possède une racine carrée qui est elle-même un nombre réel positif. Elle est notée √x. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3, et se note √9 = 3.^[1]

La racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait est toujours un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut être exprimé par une fraction. Par exemple, √2 ne peut être écrit sous la forme m/n où m et n sont des nombres entiers. Pourtant, c'est la longueur exacte de la diagonale d'un carré de longueur 1.

Le signe √ est appelée radical. Son origine serait une déformation de la lettre « r », initiale du mot latin radix qui signifie racine. Il a été introduit en 1525 par le mathématicien Christoff Rudolff.

La racine carrée d'un nombre positif ou nul est le nombre positif ou nul qui, élevé au carré, redonne le nombre initial.

Sommaire

[modifier] Racine carrée et autres structures

Si un ensemble E possède une multiplication, il peut être intéressant de se poser la question de savoir quand, pour un élément a de E, il existe un élément b tel que b² est égal à a. Si E est égal à Z, a vérifie la propriété précédente si, et seulement si a est un carré parfait. Le terme de racine carrée sera étendu pour une raison de simplicité. La phrase 3 n'a pas de racine carrée dans Z possède un sens complètement défini.

Supposons que l'ensemble E soit égal à celui des nombres complexes, c'est à dire des nombres de la forme a + i.b où a et b sont des nombres réels et i l'unité imaginaire. L'unité imaginaire est un nombre dont le carré est égal à -1. Si α est un nombre complexe, alors il existe toujours un nombre complexe β tel que β² soit égal à α. De plus, -β vérifie la même propriété. Il est fréquent de dire que β et -β sont les racines carrées de α, ce qui est tout de même plus commode que de dire que β et -β sont les racines de l'équation X² - α = 0. On parle alors des^[2] racines carrées de α.

Par extension, et quand il n'existe pas d'ambiguité, la locution racine carrée de α où α est un élément d'un ensemble E munis d'une multiplication signifie n'importe quel élément x solution de l'équation x² = α. La notation √α est néanmoins souvent déconseillée^[2], elle est associée à un élément précis et non pas un ensemble.

Dans le cas des nombres réels, c'est l'article qui permet de faire la différence. Un auteur parlant d'une racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments √2 ou bien -√2. En revanche l'expression la racine de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression √2 est toujours positive et le terme fonction racine définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression : la racine carrée, alors toujours positive.

[modifier] Fonction réelle

L’application $x\mapsto x^2$ est une bijection $\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ dont l’inverse est noté $x\mapsto \sqrt{x}$ . Cette fonction s’appelle la fonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un carré du plan euclidien est la longueur de ses côtés.

Mise en garde : l’aire s’exprime dans le système universel en mètre carré et les longueurs en mètre. En prenant la racine carrée d’une quantité exprimée en mètres carrés, on obtient une quantité exprimée en mètres. Les physiciens attachent une importance particulière à l’analyse des unités ; cet aspect est effacé en mathématiques. Les nombres réels sont des constantes sans unité, et la racine carrée d’un nombre réel positif est un nombre réel positif.

[modifier] Analyse

La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs x et y :

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (sous la condition $y\neq 0$ )

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ où |x| désigne la valeur absolue de x.

La fonction racine est continue en tout réel positif x (pour y proche de x, $\sqrt{y}$ est proche de $\sqrt{x}$ ). De plus, elle est dérivable en tout réel strictement positif x, mais elle n’est pas dérivable en x=0. En ce point, la pente de la tangente est infinie ; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale.

La fonction dérivée de $x\mapsto \sqrt{x}$ est donnée par :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}$

La fonction racine est en réalité de classe $C^{\infty}$ sur $\R_+^*$ .

$\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}$

Mieux encore, la fonction racine est développable en séries entières. Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s’obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée :

$\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n$

$=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n$

$=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\binom{2n}{n}}{(2n-1)2^{2n}}h^n$

$= 1 + \frac{1}{2}h - \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 - \frac{5}{128} h^4 + \cdots$

pour tout réel |h| < 1.

[modifier] Construction géométrique de la racine carrée

AO = 1, OB = a, OH = x

La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment 0B de longueur a de construire un segment de longueur $\sqrt{a}$ :

Construire le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O avec AO = 1
Construire le cercle C de diamètre AB.
Construire la droite D perpendiculaire à (OB) et passant par O.
Nommer H le point d’intersection du cercle C et de la droite D.

Le segment OH est de longueur $\sqrt{a}$ .

La preuve consiste à appliquer le théorème de Pythagore :

Au triangle rectangle HOB : OH² + a² = HB²
Au triangle rectangle ABH : HB² = (a+1)² - AH²
Au triangle rectangle AOH : AH² = 1² + OH²

D’où OH² + a² = (a+1)² - (1² + OH²), soit, après simplification OH² = a, et donc $OH = \sqrt{a}$ .

Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles.

[modifier] Notion algébrique générale

Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x²=a. L'élément x est alors une racine carrée de a. En général (notamment si l'anneau n'est pas intègre, ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées.

[modifier] Les racines carrées de nombres complexes

Article détaillé : Racine de nombre complexe.

La racine carrée sur $\R$ est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donnent des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit.

Pour tout nombre complexe non nul z, il existe exactement deux nombres complexes w tels que w² = z. Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée $\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ en une fonction continue $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ vérifiant $f (z) 2 = z$ .

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de $\mathbb{C}$ toute fonction continue $f:U\rightarrow \mathbb{C}$ vérifiant $f (z) 2 = z$ .

La détermination principale de la racine carrée est la fonction $\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique $z=r e^{i\varphi}$ avec $-\pi < \varphi \le \pi\,$ , alors on pose $\sqrt{z}=\sqrt{r} e^{\frac{i\varphi}{2}}$ . Cette détermination principale n’est continue en aucun point de la demi-droite des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique, on a :

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x} {2}}$

où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial (si elle est nulle, on prend par convention le signe +).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation $\sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w}$ devient fausse en général.

[modifier] Les racines carrées de matrices et d’opérateurs

Article détaillé : Racine carrée d'une matrice.

Si A est une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif B tel que B² = A. On pose alors : √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B² = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des opérateurs développent davantage ces aspects.

[modifier] Extraction de racines carrées

[modifier] Un premier algorithme

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrée d’un nombre. Évidemment, si la racine carrée n’est pas un nombre décimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du résultat : la suite des chiffres est exacte.

Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la même façon que lorsque nous effectuons une division selon la méthode classique ; la racine carrée sera inscrite au-dessus de ce nombre.

À chaque étape :

on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d’un reste éventuel de l'étape précédente ;
soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée ;
on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;
si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre à abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence.

Exemple : $\sqrt{152,2756}=12,34$

(nota : la suite des chiffres en gras s'inscrit au fur et à mesure au dessus du nombre initial, au dessus de la paire de chiffre traité selon l'algorithme, et donne le résultat : 12,34 . La place de la virgule est significative mais n'a pas besoin d'être prise en compte pendant les calculs, il suffit de la constater à la fin)

         1  2  3  4                                                    
        01 52,27 56                  1                   r=0 à cette étape 
 x=1    01                           1                   y=(20*0+1)1 = 1 <= 01 alors que (20*0+2)* = 4 > 01 donc x = 1
        ____                         __                     j'inscris le 1 : r=1 pour l'étape suivante
        00 52                        2x                  je pose 01-01=00 et j'abaisse 52 : apparait 52
 x=2    00 44                        12                  y=(20*1+2)2 = 44 <= 52 alors que 20*1+3*3= 69 > 52 donc x = 2
        _______                      __                     j'inscris le 2 : r=12 pour l'étape suivante, 20*r = 240
           08 27                     24x                 52-44 = 08, je pose 08 et j'abaisse 27 : apparait 827
 x=3       07 29                     123                 y=(20*12+3)*3 = 243*3 = 729 < 827 
           _______                   __                     j'inscris le 3 : r=123 pour l'étape suivante, 20*r=2460   
              98 56                  246x                827-729 = 98, je pose 98 et j'abaisse 56 : apparait 9856
 x=4          98 56                  1234                y=(20*123+4)*4 = 9856
                _______                                     j'inscris le 4 : r=1234 
                 00 --                                   9856-9856 = 0 et il n'y a plus rien à abaisser : fin de l’algorithme

Vérification :

12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34.
   = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02)
   = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004
   = 152,2756

Jusqu’au XIX^e siècle on utilisait couramment cet algorithme en accélérant les calculs à l’aide d’un abaque formée d’un jeu de réglettes : les bâtons de Napier.

Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n’importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui précède, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100.

[modifier] Par les fractions continues

Article détaillé : Fraction continue d'un nombre quadratique.

Une fraction continue permet d'exprimer un nombre réel. Dans le cas particulier des racines carrés, son expression est relativement simple, ce qui permet de formuler deux méthodes d'extraction de racine. Elles possèdent toutes deux l'avantage de présenter des fractions optimales, c'est à dire que si p / q est une des valeurs que propose l'algorithme, alors aucune fraction de a / b avec b < q approche plus précisément la racine.

La deuxième méthode converge très rapidement, à chaque étape, le nombre de décimales exactes double.

[modifier] La méthode de Héron

Article détaillé : Méthode de Héron.

La méthode de Héron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrées. Son importance est avant tout historique, elle a été développée par les Babyloniens. Elle fournit de bonnes approximations au prix de quelques divisions.

Exemple : $\sqrt{2}\approx 1,4142$

Prenons la valeur rapprochée $u_0 = 1\,$ . On calcule de proche en proche :

$\frac{2}{u_0} = \frac{2}{1} = 2$

$u_1 = \frac{1}{2}\left(u_0 + \frac{2}{u_0}\right)$

$u_1 = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2} = 1.5$

$u_2 = \frac{1}{2}\left(u_1 + \frac{2}{u_1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right)= \frac{17}{12}\approx 1,4167$

$u_3 = \frac{1}{2}\left(u_2 + \frac{2}{u_2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right)= \frac{577}{408}\approx 1,414 216$

On a ainsi obtenu la racine carrée de 2 à la précision

10 - 4

On peut avoir une approche plus algorithmique en simplifiant cette méthode par la formule de Newton $r = \sqrt{N}\approx\frac{\frac{N}{r}+r}{2}$

Même exemple : $\sqrt{2}\approx 1,4142$

Prenons de nouveau la valeur rapprochée $r = 1\,$ . On calcule de proche en proche :

$r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1}+1}{2} \approx 1,5$

$r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1,5}+1,5}{2} \approx 1,4167$

$r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1,4167}+1,4167}{2} \approx 1,414216$

On obtient la racine carrée de 2 à la précision

10 - 4

En appliquant cette formule on pourra écrire en langage basic :

N = 2 /* Nombre dont on cherche la racine carrée

r = 1 /* r = valeur rapprochée = 1

DO /* Début de la boucle

r = (r + (N / r)) / 2 /* Approximation

PRINT "Racine de ";N;" ~= ";r /* Affichage du résultat

LOOP /* Fin de la boucle

[modifier] Calcul par la méthode du goutte à goutte

Article détaillé : Technique de l'extraction de racine.

[modifier] Les racines carrées, approximations entières

Les concepteurs de présentations de jeux vidéos ont parfois besoin de construire des tables des parties entières des racines carrées des entiers naturels. Les premières sont données par :

CARRE	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	..	15	16	17	..	24	25	26	27
RACINE	0	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	..	3	4	4	..	4	5	5	5

Une observation des premiers termes montrent que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrément de manière régulière. Plus précisément,

le 0 est répété 1 fois,
le 1, 3 fois
le 2, 5 fois
le 3, 7 fois
le 4, 9 fois

Le nombre de fois que l’entier n est répété est le n-ième entier impair. La preuve repose sur l’identité suivante :

$(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,$

[modifier] Approximation de $\sqrt{a}$ à l'aide de suites adjacentes

Soit $a$ un nombre réel strictement positif

Considérons les suites définies par $u (0) = 1$ , $v (0) = a$ , $u (n + 1)$ moyenne harmonique de $u (n)$ et $v (n)$ , $v (n + 1)$ moyenne arithmétique de $u (n)$ et $v (n)$ . Les suites $u (n)$ et $v (n)$ sont adjacentes, et convergent vers la même limite : $\sqrt{a}$ . L'erreur peut même être majorée par la différence $v (n) - u (n)$ . Remarquons l'originalité de cette méthode qui mêle moyennes harmonique, géométrique et arithmétique.

[modifier] Curiosités

L’identité $2 = \sqrt{2+2}$ implique $2 = \sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ , et par itérations successives :

$2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Pour des raisons analogues, on obtient :

$3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$ ; $4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ; ...

Si r est un entier strictement supérieur à 1,

$r = \sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Plus généralement, si p étant un nombre réel supérieur ou égal à 1,

$\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{(4\,p+1)}}{2}$

Si p est égal à 1, on obtient le nombre d'or:

$\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$ .

Le mathématicien Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition

$(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,$

et construisit le produit $n (n + p)$ en fixant $p = 2$

$n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}$

Il substitua le terme $(n + 3)$

$n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}$

Ramanujan réitéra à l’infini en remplaçant maintenant $n$ par 1 et obtint la jolie formule :

$3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}$

(bien entendu, il doit ensuite démontrer que le passage à la limite est légal)

En fixant $n$ et $p$ à d’autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, on peut également construire d’autres belles formules comme :

$4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}$

En résumé, la relation suivante, itérée à l’infini :

$n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}$

permet donc d’exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées.

En particulier, en fixant n = 0

$2 = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + \cdots}}}}}}}}}}$

(toutes ces formules sont en fait des affirmations sur des limites, qui se démontrent, de manière assez délicate, par encadrements)

Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )$ , où k est le nombre de racines carrées emboitées

Ou encore :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )$

[modifier] Racines carrées des entiers de un à vingt

$\sqrt {1}$	=	1
$\sqrt {2}$	≈	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
$\sqrt {3}$	≈	1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
$\sqrt {4}$	=	2
$\sqrt {5}$	≈	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
$\sqrt {6}$	≈	2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
$\sqrt {7}$	≈	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
$\sqrt {8}$	≈	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
$\sqrt {9}$	=	3
$\sqrt {10}$	≈	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
$\sqrt {11}$	≈	3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
$\sqrt {12}$	≈	3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
$\sqrt {13}$	≈	3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
$\sqrt {14}$	≈	3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
$\sqrt {15}$	≈	3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
$\sqrt {16}$	=	4
$\sqrt {17}$	≈	4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
$\sqrt {18}$	≈	4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
$\sqrt {19}$	≈	4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
$\sqrt {20}$	≈	4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

[modifier] Voir aussi

Racine carrée de deux
Racine carrée de trois
Racine cubique
Racine de nombre complexe
Nombre d’or
Nombre irrationnel
- Nombre algébrique
Nombre réel
- Nombre complexe
Exponentielle

[modifier] Sources et références

Smith D.E., History of Mathematics (livre 2)
Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, seconde édition. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.

↑ Delord Vinrich Bourdais Cinq sur cinq : Mathématiques Hachette éducation 2003 (ISBN 2011253632)
↑ ^a ^b Voir par exemple le site : racine carrée complexe par Homéomath