Si et seulement si : encyclopédie mathématiques
Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.En logique classique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à -dire que P et Q sont vraies (resp. fausses), dans exactement les mêmes situations. On écrit
Qui se lit :
« » est le connecteur d’équivalence dont la table de vérité est donnée ci-dessous :
| P | Q | P ⇔ Q |
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Vrai |
L’équivalence P ⇔ Q n’est autre que (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P implique Q) et (Q implique P)).
En logique intuitionniste, deux propositions P et Q sont équivalentes si et seulement si on a une démonstration de Q à partir de P et une démonstration de P à partir de Q.
Autrement dit, dans les deux cas classique et intuitionniste, dire que deux propositions P et Q sont équivalentes revient à dire que chacune d’elles implique l’autre.
Dans ce cas, les propositions « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » sont dites réciproques l’une de l’autre.
Pour démontrer, une équivalence P ⇔ Q, il faut donc démontrer l’implication P ⇒ Q et sa réciproque.
Dans le langage naturel, pour traduire que deux propositions P et Q sont équivalentes, on dira indifféremment :
D’autres expressions « ou encore », « ou » (mais pas le connecteur logique ou), « soit » peuvent traduire une équivalence comme dans l’exemple suivant :
Ici, « soit » (XOR) ne sert pas à définir un objet, et le dernier « ou » est un ou logique (OR).
ssi ((en) iff) est une abréviation de « si et seulement si » couramment utilisée pour écrire des équivalences.
Ces trois lois montrent que l'équivalence logique est une relation d'équivalence
Exemples
En élevant au carré, on perd l’information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l’équivalence, on rajoute la propriété x-1≥0.
Remarques :
Démontrer par équivalence n’est pas toujours simple ; dans certains cas, il est préférable de démontrer séparément les implications réciproques.
Dire que l’équivalence P ⇔ Q est vraie ne veut pas dire que P et Q sont vraies, mais que si l’une d’entre elles est vraie (resp. fausse), l’autre aussi.
Soient trois propositions P, Q et R.
Pour démontrer les équivalences P ⇔ Q ⇔ R, il suffit de démontrer les implications :
Soient les implications P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P établies.
Pour démontrer que Q ⇒ P, on utilise Q ⇒ R et R ⇒ P.
Pour démontrer que R ⇒ Q, on utilise R ⇒ P et P ⇒ Q.
Et enfin pour démontrer que P ⇒ R, on utilise P ⇒ Q et Q ⇒ R.
Ce type de démonstration s’appelle une démonstration « circulaire » ou « en cercle ».
On peut généraliser à n propositions P1, P2… Pn.
Pour démontrer les équivalences P1 ⇔ P2 ⇔… ⇔ Pn, il suffit de démontrer les implications :
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