Statistique de Bose-Einstein

Statistique de Bose-Einstein : encyclopédie mathématique

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Mécanique quantique

$\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$

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En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question résulte d'une particularité des bosons : les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique.

Sommaire

[modifier] Distribution de Bose-Einstein

La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre n_i de particules dans l'état d'énergie E_i est

$n_i = \frac{g_i} { \exp ( \frac{ E_i - \mu } {k_{B}T} ) - 1 } \,$

où :

g_i est la dégénérescence de l'état d'énergie E_i, à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
μ est le potentiel chimique ;
k_B est la constante de Boltzmann ;
T est la température.

[modifier] Limite classique et comparaison avec les fermions

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :

avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus g_i fermions.

[modifier] Condensat de Bose-Einstein

Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.