Table d'intégrales (encyclopédie mathématiques)

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1 Intégrales définies

[modifier] Intégrales définies

On appelle intégrale définie dans l'intervalle [a,b]

$\left[ F(x) \right]_{a}^{b} = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

lorsque $F\,$ est une primitive quelconque de $f\,$ et que $a\,$ et $b\,$ sont les bornes de l'intégrale.

Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.

$\int_0^{+\infty}x^n {e^{-x}\,dx} = n!$ pour n = 0, 1, 2,... (fonction Gamma $\Gamma (n+1)$ )

$\int_0^{+\infty}{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^{+\infty}{e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ (intégrale de Gauss)

$\int_0^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^{+\infty}{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$

$\int_0^{+\infty}{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$ (intégrale de Dirichlet)

$\int_0^{+\infty} x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ ( $\Gamma\,$ est la fonction gamma d'Euler, définie pour z > 0)

$\int_0^{+\infty}{x^{z-1}e^{-x^\alpha}\,dx} = \frac{1}{\alpha}\Gamma\left(\frac{z}{\alpha}\right)$ (par Intégration par changement de variable, pour $z>0\,$ et $\alpha>0\,$ )

$\int_0^{+\infty}{\frac{x^s}{e^x-1}\,dx} = \Gamma(s+1) \zeta(s+1)$ ( $\zeta\,$ est la fonction zêta, définie pour z > 1)

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^3}}\,dt = \frac{1}{3}\Beta\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$ (intégrale elliptique ; Β est la fonction bêta d'Euler)

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(x))\, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))\, dx=-\frac{\pi}{2}\ln(2)$ (intégrales d'Euler)

$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ (intégrales de Fresnel)

$\int_0^{\pi} \ln(1-2\alpha\cos\,x+\alpha^2)\,dx= 2\pi\ln|\alpha|$ si $|\alpha|>1\,$ et $0\,$ si $|\alpha|\leq 1$ (intégrale de Poisson).

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)\,dx = W_n$ (intégrales de Wallis)

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[modifier] Articles connexes

Intégrale
- Table d'intégrales
- Calcul intégral
- Calcul numérique d'une intégrale
Primitive
- Table de primitives
Intégrale indéfinie

[modifier] Liens externes

Calculateur automatique de primitive.

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