Théorème d'Ampère

Théorème d'Ampère : encyclopédie physique

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En magnétostatique le théorème d'Ampère permet de déterminer la valeur du champ magnétique grâce à la donnée des courants électriques. Ce théorème est une forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère. Il a été découvert par André-Marie Ampère, et constitue l'équivalent magnétostatique du théorème de Gauss. Pour être appliqué analytiquement de manière simple, le théorème d'Ampère nécessite que le problème envisagé soit de symétrie élevée.

Sommaire

[modifier] Énoncé du théorème d'Ampère

Un courant électrique I produit un champ d'induction électromagnétique B.

En régime quasi-permanent ou permanent, dans le vide, le théorème d'Ampère énonce que la circulation le long d'un circuit fermé du champ magnétique engendré par une distribution de courant est égale à la somme algébrique des courants qui traversent la surface définie par le circuit orienté, multipliée par la perméabilité du vide ( $μ 0 = 4π.10 - 7 H / m$ ).

$\oint_{\tau}\vec B \cdot\mathrm d \vec l = \mu_0 \cdot \sum I_{\rm traversant}$

où :

$\oint_{\tau}$ représente l'intégrale curviligne sur le contour fermé $τ$ ,
$\vec B$ est l' induction magnétique,
$d \vec l$ est l'élément infinitésimal de déplacement le long du contour $τ$ ,
$μ 0$ est la perméabilité du vide,
$\sum I_{traversant}$ est la somme algébrique des intensités des courants enlacés par le contour $τ$ .

D'un point mathématique, il s'agit d'une application du théorème de Stokes.

[modifier] Intensité enlacée

On peut distinguer plusieurs cas concernant l'intensité enlacée par le circuit.

si le circuit enlace un courant volumique j, alors l'intensité enlacée aura la forme suivante : ${I_{\rm traversant}}=\iint_S \vec j \cdot\mathrm d\vec S$
si le circuit enlace plusieurs circuits filiformes alors on peut dire que l'intensité enlacée s'écrira : $I_{\rm traversant}=\sum I_i$ avec $I i$ l'intensité d'un fil du circuit filiforme.

Attention, il s'agit d'une somme algébrique : il faut orienter le contour d'Ampère, et donc donner une normale à la surface, d'où une convention de signe concernant les courants enlacés, comptés positivement ou négativement selon leur sens.

si le circuit enlace un courant surfacique k, alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :

${I_{\rm traversant}}=\int_l \vec k \cdot\mathrm d\vec l$

[modifier] Lien avec les équations de Maxwell

L'équation de Maxwell-Ampère est la forme locale du théorème d'Ampère.

[modifier] Bibliographie

John David Jackson, Électrodynamique classique (trad. de (en)Classical Electrodynamics) [détail des éditions]

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