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Théorème de Fatou


Théorème de Fatou : encyclopédie mathématiques

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec le théorème de Fatou-Lebesgue (théorème de convergence dominée) ni avec le lemme de Fatou en théorie de l'intégration.

En mathématiques, le théorème de Fatou est un résultat d'analyse complexe dû au mathématicien français Pierre Fatou (1878 – 1929), qui stipule l'existence d'au moins un point fixe complexe pour toute composée d'une fonction entière (hors translation) avec elle-même.

[modifier] Énoncé

Soit f une fonction entière, c'est-à-dire une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. Si f n'est pas une translation, autrement dit si elle ne s'écrit pas sous la forme f(z)=z+c avec c constante, alors la composée f ∘ f admet au moins un point fixe : il existe un nombre complexe z0 tel que f(f(z0))=z0.

Ce résultat n'a pas d'équivalent pour les fonctions d'une variable réelle, même développables en série entière. En effet, la fonction exponentielle réelle n'est pas une translation et sa composée avec elle-même est sans point fixe sur la droite réelle.

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