Théorème de Kennelly

Théorème de Kennelly : encyclopédie physique

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Présentation des montages sous forme de triangle (à gauche) et d'étoile (à droite).

Le théorème de Kennelly, ou transformation triangle-étoile, ou transformation Y-Δ, ou encore transformation T-Π, est une technique mathématique qui permet de simplifier l'étude de certains réseaux électriques.

Ce théorème, nommé ainsi en hommage à Arthur Edwin Kennelly, permet de passer d'une configuration « triangle » (ou Δ, ou Π, selon la façon dont on dessine le schéma) à une configuration « étoile » (ou, de même, Y ou T). Le schéma ci-contre est dessiné sous la forme « triangle-étoile » ; les schémas ci-dessous sous la forme T-Π.

Ce théorème est parfois utilisé en électrotechnique ou en électronique de puissance afin de simplifer des systèmes triphasés.

[modifier] Transformation étoile vers triangle

Tableau des formules de transformation ( étoile vers triangle )
Avec les impédances	Avec les admitances
La somme des produits des impédances divisée par l'impédance opposée.	Le produit des admittances adjacentes divisé par la somme totale des admittances.
$Z_{AB}=\frac{Z_{AT}.Z_{BT}+ Z_{BT}.Z_{CT}+Z_{CT}.Z_{AT}}{Z_{CT}}$ $Z_{BC}=\frac{Z_{AT}.Z_{BT}+ Z_{BT}.Z_{CT}+Z_{CT}.Z_{AT}}{Z_{AT}}$ $Z_{CA}=\frac{Z_{AT}.Z_{BT}+ Z_{BT}.Z_{CT}+Z_{CT}.Z_{AT}}{Z_{BT}}$	$Y_{AB}=\frac{Y_{AT} . Y_{BT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}$ $Y_{BC}=\frac{Y_{BT} . Y_{CT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}$ $Y_{CA}=\frac{Y_{CT} . Y_{AT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}$

Démonstration

Cette démonstration peut être transposée à tous les énoncés du théorème.

Considérons le schéma précédent et utilisons le principe de superposition. On peut alors virtuellement annuler les potentiels en $B$ et $C$ , c'est-à-dire mettre ces points à la masse, dans les deux schémas. Calculons alors l'admittance équivalente entre le point $A$ et la masse, qui doit être identique dans les deux cas.

Schéma en étoile: $Y_{eq_1} =\frac{Y_{AT}+ Y_{BT} + Y_{CT}}{Y_{AT}.(Y_{BT}+Y_{CT})}$
Schéma en triangle: $Y_{eq_1} = Y_{AC} + Y_{AB}$
(Voir Impédance pour les détails de calcul) En répétant le calcul en éteignant successivement $V A$ et $V B$ puis $V A$ et $V C$ on obtient alors le système suivant:

$Y_{AB} + Y_{AC} = Y_{eq_1} (1)$
$Y_{AB} + Y_{BC} = Y_{eq_2} (2)$
$Y_{AC} + Y_{BC} = Y_{eq_3} (3)$

Soit en calculant membre à membre (1) + (2) - (3):

$Y_{AB} =\frac{Y_{eq_1}+ Y_{eq_2} - Y_{eq_3}}{2}$
$Y_{AB} =\frac{Y_{AT}.(Y_{BT}+Y_{CT}) + Y_{BT}.(Y_{AT}+Y_{CT}) - Y_{CT}.(Y_{AT}+Y_{BT})}{2.(Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT})}$
$Y_{AB}=\frac{Y_{AT} . Y_{BT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}$

De même (2) + (3) - (1) nous donne $Y B C$
et (1) + (3) - (2) nous donne $Y A C$

[modifier] Transformation triangle vers étoile

On parle ici d'une équivalence d'un circuit en T avec un circuit en π. Dans la pratique, on utilise davantage la transformation qui consiste à passer d'un circuit en π à un circuit en T.

Tableau des formules de conversion ( triangle vers étoile )
Avec les impédances	Avec les admitances
Le produit des impédances adjacentes divisé par la somme totale des impédances.	La somme des produits des admittances divisée par l'admittance opposée.
$Z_{AT}=\frac{Z_{AB} . Z_{AC}}{Z_{AB}+Z_{BC}+Z_{AC}}$ $Z_{BT}=\frac{Z_{AB} . Z_{BC}}{Z_{AB}+Z_{BC}+Z_{AC}}$ $Z_{CT}=\frac{Z_{AC} . Z_{BC}}{Z_{AB}+Z_{BC}+Z_{AC}}$	$Y_{AT}=\frac{Y_{AB}.Y_{BC}+ Y_{CA}.Y_{AB}+Y_{BC}.Y_{CA}}{Y_{BC}}$ $Y_{BT}=\frac{Y_{AB}.Y_{BC}+ Y_{CA}.Y_{AB}+Y_{BC}.Y_{CA}}{Y_{CA}}$ $Y_{CT}=\frac{Y_{AB}.Y_{BC}+ Y_{CA}.Y_{AB}+Y_{BC}.Y_{CA}}{Y_{AB}}$