logo

Théorie de la représentation



Théorie de la représentation : encyclopédie mathématiques

wikipediaCet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.
Vous pouvez consulter l'article ici ainsi que son historique.
Les textes et les images sont disponibles sous les termes de la Licence de documentation libre GNU.
(Redirigé depuis Théorie de la représentation)
Aller Ă  : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Représentation (homonymie).

La thĂ©orie des reprĂ©sentations est une branche des mathĂ©matiques qui Ă©tudie les structures algĂ©briques abstraites en reprĂ©sentant leurs Ă©lĂ©ments comme des transformations linĂ©aires d'espaces vectoriels, et qui Ă©tudie les modules sur ces structures algĂ©briques abstraites[1]. Essentiellement, une reprĂ©sentation concrĂ©tise un objet algĂ©brique abstrait en dĂ©crivant ses Ă©lĂ©ments par des matrices et les opĂ©rations sur ces Ă©lĂ©ments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel. Parmi les objets algĂ©briques qui se prĂȘtent Ă  une telle approche figurent les groupes, les algĂšbres associatives et les algĂšbres de Lie. La thĂ©orie primordiale des reprĂ©sentations est celle des reprĂ©sentations de groupes, oĂč les Ă©lĂ©ments d'un groupe sont reprĂ©sentĂ©s par des matrices inversibles de telle façon que la loi du groupe corresponde au produit matriciel[2].

La thĂ©orie des reprĂ©sentations est un outil puissant, parce qu'elle rĂ©duit des problĂšmes d'algĂšbre abstraite Ă  des problĂšmes d'algĂšbre linĂ©aire, un domaine qui est bien compris[3]. En outre, lorsqu'on autorise l'espace vectoriel sur lequel un groupe (par exemple) est reprĂ©sentĂ© Ă  ĂȘtre un espace de dimension infinie, par exemple un espace de Hilbert, on peut appliquer Ă  la thĂ©orie des groupes des mĂ©thodes d'analyse[4]. La thĂ©orie des reprĂ©sentations est aussi importante en physique, parce qu'elle permet de dĂ©crire, par exemple, comment le groupe des symĂ©tries d'un systĂšme influe sur les solutions des Ă©quations qui le dĂ©crivent[5].

Une caractĂ©ristique saisissante de la thĂ©orie des reprĂ©sentations est son omniprĂ©sence en mathĂ©matiques. Ce fait a deux aspects. D'abord, les applications de cette thĂ©orie sont variĂ©es[6] : en plus de son impact en algĂšbre, elle Ă©claire et gĂ©nĂ©ralise largement l'analyse de Fourier via l'analyse harmonique[7], elle est profondĂ©ment liĂ©e Ă  la gĂ©omĂ©trie via la thĂ©orie des invariants et le programme d'Erlangen[8] et elle a un impact profond en thĂ©orie des nombres via les formes automorphes et le programme de Langlands[9]. Le second aspect de l'ubiquitĂ© de la thĂ©orie des reprĂ©sentations est la diversitĂ© des maniĂšres de l'aborder. Les mĂȘmes objets peuvent ĂȘtre Ă©tudiĂ©s en utilisant des mĂ©thodes de gĂ©omĂ©trie algĂ©brique, de thĂ©orie des modules, de thĂ©orie analytique des nombres, de gĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle, de thĂ©orie des opĂ©rateurs (en) et de topologie[10].

Le succĂšs de la thĂ©orie des reprĂ©sentations a conduit Ă  de nombreuses gĂ©nĂ©ralisations. L'une des plus gĂ©nĂ©rales est catĂ©gorique[11]. Les objets algĂ©briques auxquels s'applique la thĂ©orie peuvent ĂȘtre vus comme des cas particuliers de catĂ©gories, et les reprĂ©sentations comme des foncteurs, d'une telle catĂ©gorie dans celle des espaces vectoriels. Cette description indique deux gĂ©nĂ©ralisations Ă©videntes : d'une part, les objets algĂ©briques peuvent ĂȘtre remplacĂ©s par des catĂ©gories plus gĂ©nĂ©rales et d'autre part, la catĂ©gorie d'arrivĂ©e des espaces vectoriels peut ĂȘtre remplacĂ©e par d'autres catĂ©gories que l'on maĂźtrise bien.

DĂ©finitions et concepts[modifier | modifier le code]

Soit V un espace vectoriel sur un corps K[3]. Par exemple, supposons que V est ℝn ou ℂn, l'espace usuel de dimension n des vecteurs colonnes sur le corps ℝ des rĂ©els ou celui, ℂ, des complexes. Dans ce cas, l'idĂ©e de la thĂ©orie des reprĂ©sentations est de faire de l'algĂšbre abstraite de façon concrĂšte, en utilisant des matrices n × n de nombres rĂ©els ou complexes. On peut le faire principalement pour trois types d'objets algĂ©briques : les groupes, les algĂšbres associatives et les algĂšbres de Lie[12].

  • Le sous-ensemble des matrices n × n inversibles forme un groupe pour la multiplication et la thĂ©orie des reprĂ©sentations de groupes analyse un groupe en dĂ©crivant – en « reprĂ©sentant Â» – ses Ă©lĂ©ments en termes de matrices inversibles.
  • L'addition et la multiplication font de l'ensemble de toutes les matrices n × n une algĂšbre associative, ce qui donne lieu Ă  la thĂ©orie des reprĂ©sentations d'algĂšbres (en) associatives.
  • Si l'on remplace le produit MN de deux matrices par leur commutateur MN – NM, alors les matrices n × n ne forment plus une algĂšbre associative mais une algĂšbre de Lie, et l'on Ă©tudie les reprĂ©sentations d'algĂšbres de Lie.

Ceci se gĂ©nĂ©ralise Ă  tout corps K et Ă  tout espace vectoriel V sur K, en remplaçant les matrices par des endomorphismes linĂ©aires et le produit matriciel par la composition : les automorphismes de V forment le groupe GL(V) et les endomorphismes de V forment l'algĂšbre associative End(V), Ă  laquelle correspond l'algĂšbre de Lie gl(V).

DĂ©finitions[modifier | modifier le code]

Articles dĂ©taillĂ©s : ReprĂ©sentation de groupe, ReprĂ©sentation d'algĂšbre (en) et ReprĂ©sentation d'algĂšbre de Lie.

Il y a deux façons d'expliquer ce qu'est une représentation[13].

  • La premiĂšre utilise la notion d'action, gĂ©nĂ©ralisant la façon dont les matrices agissent par produit sur les vecteurs colonnes. Une reprĂ©sentation d'un groupe G ou d'une algĂšbre A (associative ou de Lie) sur un espace vectoriel V est une application
     \Phi\colon G\times V \to V \quad\text{ou}\quad \Phi\colon A\times V \to V
    possédant deux propriétés. PremiÚrement, pour tout x dans G ou dans A, l'application
     \begin{align}\varphi(x)\colon V& \to V\\
v & \mapsto \Phi(x, v)\end{align}
    est K-linĂ©aire. DeuxiĂšmement, en introduisant la notation g ∙ v pour Ί(g, v), on a, pour tous g1, g2 dans G et tout v dans V :
    \begin{matrix}(1)&e \cdot v&=&v\\(2)&g_1\cdot (g_2 \cdot v)&=&(g_1g_2) \cdot v\end{matrix}
    oĂč e est l'Ă©lĂ©ment neutre de G et g1g2 est le produit dans G. La condition pour une algĂšbre associative A est analogue, exceptĂ© que A peut ne pas avoir d'Ă©lĂ©ment unitĂ©, auquel cas l'Ă©quation (1) est omise. L'Ă©quation (2) est une expression abstraite de l'associativitĂ© du produit matriciel. Elle n'est pas vĂ©rifiĂ©e par les commutateurs de matrices et pour ces commutateurs, il n'y a pas d'Ă©lĂ©ment neutre, si bien que pour les algĂšbres de Lie, la seule condition est que pour tous x1, x2 dans A et tout v dans V :
     (2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v
    oĂč [x1, x2] est le crochet de Lie, qui gĂ©nĂ©ralise le commutateur MN – NM de deux matrices.
  • La seconde façon, plus concise et plus abstraite, met l'accent sur l'application φ qui Ă  tout x de G ou A associe φ(x) : V → V, qui doit vĂ©rifier, pour tous x1, x2 dans le groupe G ou l'algĂšbre associative A :
    (2)\quad\varphi(x_1x_2)=\varphi(x_1)\circ\varphi(x_2).
    • Une reprĂ©sentation d'un groupe G sur un espace vectoriel V est un morphisme de groupes φ : G → GL(V).
    • Une reprĂ©sentation d'une algĂšbre associative A sur V est un morphisme d'algĂšbres φ : A → End(V).
    • Une reprĂ©sentation d'une algĂšbre de Lie a sur V est un morphisme d'algĂšbres de Lie φ : a → gl(V).

Terminologie[modifier | modifier le code]

La reprĂ©sentation est notĂ©e (V, φ), ou simplement V si le morphisme φ est clair d'aprĂšs le contexte. L'espace vectoriel V est appelĂ© l'espace de la reprĂ©sentation (V, φ) et la dimension n de V est appelĂ©e le degrĂ©[14] de (V, φ).

Si ce degré n est fini, le choix d'une base de V permet d'identifier V à Kn et l'on retrouve une représentation par des matrices à coefficients dans K.

La reprĂ©sentation (V, φ) est dite fidĂšle si le morphisme φ est injectif. Pour une algĂšbre associative, cette notion Ă©quivaut Ă  celle de module fidĂšle. Pour toute reprĂ©sentation d'un groupe G sur un K-espace vectoriel, si la reprĂ©sentation associĂ©e de l'algĂšbre K[G] est fidĂšle alors la reprĂ©sentation de G l'est aussi, mais la rĂ©ciproque est fausse, comme le montre l'exemple de la reprĂ©sentation rĂ©guliĂšre du groupe symĂ©trique S4.

Morphismes[modifier | modifier le code]

Article connexe : Application Ă©quivariante (en).

Si (V, φ) et (W, ψ) sont deux reprĂ©sentations d'un groupe G, on appelle opĂ©rateur d'entrelacement, ou morphisme de reprĂ©sentations de la premiĂšre vers la seconde toute application linĂ©aire α : V → W Ă©quivariante, c'est-Ă -dire telle que pour tout g dans G et tout v dans V,

\alpha(g\cdot v)=g\cdot\alpha(v)

ce qui, en termes des morphismes φ : G → GL(V) et ψ : G → GL(W), s'Ă©crit :

\forall g\in G,\quad\alpha\circ\varphi(g)=\psi(g)\circ\alpha.

On dĂ©finit de mĂȘme les morphismes de reprĂ©sentations d'une algĂšbre associative ou de Lie.

Si α est inversible, on dit que c'est un isomorphisme de reprĂ©sentations et que les deux reprĂ©sentations sont isomorphes. Elles sont alors, d'un point de vue pratique, « identiques Â» : elles fournissent la mĂȘme information sur le groupe ou l'algĂšbre qu'elles reprĂ©sentent. C'est pourquoi la thĂ©orie des reprĂ©sentations cherche Ă  classifier les reprĂ©sentations « Ă  isomorphisme prĂšs Â».

Les morphismes d'une reprĂ©sentation vers elle-mĂȘme sont appelĂ©s ses endomorphismes. Ils forment une algĂšbre associative sur le corps de base K.

Sous-représentations et représentations irréductibles[modifier | modifier le code]

Articles connexes : IrrĂ©ductibilitĂ© et Module simple.

Si (W, ψ) est une reprĂ©sentation, par exemple d'un groupe G, et si V est un sous-espace de W « stable Â»[14] par l'action de G, c'est-Ă -dire tel que pour tous g dans G et v dans V, le vecteur g ∙ v appartienne Ă  V, alors V est l'espace d'une sous-reprĂ©sentation : en dĂ©finissant φ(g) comme la restriction de ψ(g) Ă  V, (V, φ) est une reprĂ©sentation de G et l'inclusion de V dans W est un morphisme de reprĂ©sentations. L'espace vectoriel quotient W/V est alors, lui aussi, muni naturellement d'une reprĂ©sentation de G.

La reprĂ©sentation est dite irrĂ©ductible si W possĂšde exactement deux sous-espaces stables (qui sont alors l'espace nul et W lui-mĂȘme).

Le lemme de Schur indique que tout morphisme non nul entre deux représentations irréductibles est un isomorphisme, puisque son noyau et son image sont des sous-représentations. En particulier, la K-algÚbre des endomorphismes d'une représentation irréductible est un corps gauche. Si K est algébriquement clos, cette algÚbre à division est isomorphe à K car réduite aux homothéties de l'espace.

Les reprĂ©sentations irrĂ©ductibles sont les briques Ă©lĂ©mentaires de la thĂ©orie des reprĂ©sentations : si une reprĂ©sentation non nulle W n'est pas irrĂ©ductible, alors elle se dĂ©compose en une sous-reprĂ©sentation et une reprĂ©sentation quotient qui sont toutes deux plus simples, en un certain sens ; par exemple si W est de dimension finie, elles sont plus simples au sens oĂč elles sont de degrĂ© plus petit.

Sommes directes et représentations indécomposables[modifier | modifier le code]

Articles connexes : Somme directe, Module semi-simple, Module indĂ©composable (en) et Longueur d'un module.

Si (V, φ) et (W, ψ) sont deux reprĂ©sentations, par exemple d'un groupe G, alors la somme directe de V et W est canoniquement l'espace d'une reprĂ©sentation, via l'Ă©quation :

 g\cdot (v,w) = (g\cdot v, g\cdot w).

Cette somme directe de deux représentations contient en général plus d'information sur le groupe G que chacune des deux.

Une représentation est dite indécomposable si elle n'est ni nulle, ni somme directe de deux sous-représentations non nulles.

Elle est dite semi-simple, ou complĂštement rĂ©ductible, si elle est somme directe de reprĂ©sentations irrĂ©ductibles. Dans les bons cas oĂč toute reprĂ©sentation est semi-simple, l'Ă©tude des reprĂ©sentations se ramĂšne Ă  celle des reprĂ©sentations irrĂ©ductibles. Dans le cas gĂ©nĂ©ral, il faut comprendre comment les reprĂ©sentations indĂ©composables peuvent ĂȘtre reconstituĂ©es Ă  partir de reprĂ©sentations irrĂ©ductibles, comme extensions d'un quotient par une sous-reprĂ©sentation.

Branches et sujets[modifier | modifier le code]

Article connexe : ReprĂ©sentation de groupe.

La thĂ©orie des reprĂ©sentations est remarquable par l'abondance de ses branches et la diversitĂ© de ses approches. Bien que toutes les thĂ©ories aient en commun les concepts de base prĂ©sentĂ©s ci-dessus, elles sont considĂ©rablement diffĂ©rentes dans leurs dĂ©tails. Ces diffĂ©rences sont au moins de trois sortes :

  1. Les représentations dépendent de la nature des objets algébriques représentés et comportent des particularités différentes selon la famille de groupes, d'algÚbres associatives ou d'algÚbres de Lie que l'on étudie.
  2. Elles dépendent aussi du type des espaces vectoriels considérés. La distinction la plus importante est entre les représentations de degré fini et celles de degré infini. On peut imposer des structures additionnelles sur l'espace (de Hilbert, de Banachetc. dans le cas infini, structures algébriques dans le cas fini).
  3. Enfin, elles dépendent du type du corps de base K. Un cas trÚs étudié est celui du corps des complexes. D'autres cas importants sont le corps des réels, les corps finis et les corps de nombres p-adiques. Des difficultés supplémentaires surgissent lorsque K est de caractéristique positive ou n'est pas algébriquement clos.

Groupes finis[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orie des reprĂ©sentations d'un groupe fini.

Dans l'étude des groupes finis, leurs représentations sont un outil trÚs important[15]. Elles apparaissent aussi dans les applications de la théorie des groupes finis à la géométrie et à la cristallographie[16]. Elles présentent beaucoup des caractéristiques de la théorie générale et guident les développements des autres branches et sujets de la théorie des représentations.

Elles font appel Ă  la thĂ©orie des caractĂšres : le caractĂšre d'une reprĂ©sentation φ : G → GL(V) d'un groupe fini G est la fonction centrale χφ : G → K dĂ©finie par χφ(g) = Tr(φ(g)). Si la caractĂ©ristique du corps K est nulle, chaque reprĂ©sentation irrĂ©ductible de G est entiĂšrement dĂ©terminĂ©e par son caractĂšre.

De plus, si la caractĂ©ristique de K est nulle ou plus gĂ©nĂ©ralement si elle ne divise pas l'ordre |G| du groupe, alors toutes les reprĂ©sentations de G sont semi-simples : c'est le thĂ©orĂšme de Maschke, qui se dĂ©montre essentiellement en prenant une moyenne (le cas oĂč la caractĂ©ristique est un nombre premier qui divise |G| est l'objet de la sous-thĂ©orie, plus Ă©laborĂ©e, des reprĂ©sentations modulaires).

Dans le cas particulier oĂč K est Ă©gal Ă  ℝ ou ℂ, ce mĂȘme procĂ©dĂ© de moyenne permet de construire, sur l'espace d'une reprĂ©sentation de G, un produit scalaire G-invariant, et d'en dĂ©duire que la reprĂ©sentation est isomorphe Ă  une reprĂ©sentation unitaire. On retrouve ainsi qu'elle est semi-simple car pour une reprĂ©sentation unitaire, le supplĂ©mentaire orthogonal de toute sous-reprĂ©sentation est stable. Dans l'Ă©tude des reprĂ©sentations de groupes infinis, les reprĂ©sentations unitaires sont une bonne gĂ©nĂ©ralisation des reprĂ©sentations rĂ©elles et complexes des groupes finis.

Les rĂ©sultats comme le thĂ©orĂšme de Maschke et la propriĂ©tĂ© d'unitarisation s'Ă©tendent Ă  des groupes plus gĂ©nĂ©raux en remplaçant la moyenne par une intĂ©grale, Ă  condition qu'il existe une mesure de Haar, ce qui est le cas pour les groupes compacts ou mĂȘme seulement localement compacts ; la thĂ©orie qui en rĂ©sulte est l'analyse harmonique.

Sur un corps arbitraire, une autre classe de groupes finis possĂ©dant une « bonne Â» thĂ©orie des reprĂ©sentations est celle des groupes finis de type de Lie. Des exemples importants en sont les groupes algĂ©briques linĂ©aires sur les corps finis. La thĂ©orie des reprĂ©sentations des groupes algĂ©briques linĂ©aires et des groupes de Lie Ă©tend ces exemples Ă  des groupes de dimension infinie. Les reprĂ©sentations des groupes de Lie sont intimement reliĂ©es Ă  celles des algĂšbres de Lie. L'importance de la thĂ©orie des caractĂšres des groupes finis a un analogue dans la thĂ©orie des poids pour les reprĂ©sentations de groupes de Lie et d'algĂšbres de Lie.

Les représentations d'un groupe fini G sont aussi directement liées à celles de son algÚbre K[G], qui est un K-espace vectoriel de base G, muni d'une multiplication qui prolonge bilinéairement celle du groupe.

Représentations modulaires[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orie des reprĂ©sentations modulaires (en).

Les reprĂ©sentations modulaires d'un groupe fini G sont ses reprĂ©sentations sur un corps dont la caractĂ©ristique divise |G|. Pour elles, on n'a pas d'analogue du thĂ©orĂšme de Maschke (parce qu'on ne peut plus diviser par |G|, qui n'est pas inversible dans K)[17]. Cependant, Richard Brauer a Ă©tendu Ă  ces reprĂ©sentations une grande partie de la thĂ©orie des caractĂšres, ce qui a jouĂ© un rĂŽle important au dĂ©but des travaux de classification des groupes finis simples, en particulier ceux que les mĂ©thodes de pure thĂ©orie des groupes ne suffisaient pas Ă  caractĂ©riser, parce que leurs 2-Sylow Ă©taient « trop petits Â»[18].

Les représentations modulaires ont non seulement des applications en théorie des groupes, mais apparaissent naturellement dans d'autres branches des mathématiques, comme la géométrie algébrique, la théorie des codes, la combinatoire et la théorie des nombres.

Représentations unitaires[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ReprĂ©sentation unitaire (en).

Une reprĂ©sentation (V, φ) d'un groupe G est dite unitaire si V est un espace de Hilbert (rĂ©el ou, le plus souvent, complexe) et si, pour tout Ă©lĂ©ment g de G, φ(g) est un opĂ©rateur unitaire. Ce type de reprĂ©sentations a Ă©tĂ© largement utilisĂ© en mĂ©canique quantique depuis les annĂ©es 1920, en particulier grĂące Ă  l'influence de Hermann Weyl[19], ce inspirĂ© le dĂ©veloppement de la thĂ©orie. Une Ă©tape remarquable fut l'analyse par Wigner (en) des reprĂ©sentations du (en) groupe de PoincarĂ©[20]. L'un des pionniers dans l'Ă©laboration d'une thĂ©orie gĂ©nĂ©rale des reprĂ©sentations unitaires (pour tout groupe G, au lieu de se limiter Ă  des groupes particuliers utiles dans des applications) fut George Mackey, et une thĂ©orie complĂšte fut dĂ©veloppĂ©e par Harish-Chandra et d'autres dans les annĂ©es 1950 et 1960[21].

L'un des principaux objectifs est de décrire le dual unitaire de G, c'est-à-dire l'espace de ses représentations unitaires irréductibles[22]. La théorie est bien développée surtout pour les représentations fortement continues d'un groupe localement compact[7]. Pour un groupe abélien, le dual unitaire est simplement l'espace des caractÚres du groupe et pour un groupe compact, le théorÚme de Peter-Weyl montre que les représentations unitaires irréductibles sont de dimension finie et que le dual unitaire est discret[23]. Par exemple pour le cercle S1 vu comme groupe, le dual unitaire est ℀.

Pour un groupe de Lie rĂ©ductif G non compact, la question de dĂ©terminer, parmi ses reprĂ©sentations, lesquelles sont unitarisables, est subtile, bien que (le module de Harish-Chandra (en) de) toute reprĂ©sentation unitaire irrĂ©ductible soit admissible (en) et qu'il soit facile de dĂ©tecter si une reprĂ©sentation admissible possĂšde une forme sesquilinĂ©aire non dĂ©gĂ©nĂ©rĂ©e invariante ; la difficultĂ© est en effet de dĂ©terminer quand cette forme est dĂ©finie positive. L'important problĂšme gĂ©nĂ©ral de dĂ©crire effectivement le dual unitaire d'un tel G reste donc ouvert, bien que rĂ©solu pour beaucoup de groupes particuliers, comme pour le groupe spĂ©cial linĂ©aire (en) SL(2, ℝ) ou pour le groupe de Lorentz (en) SO(3,1)[24].

Analyse harmonique[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Analyse harmonique.

La dualitĂ© entre le groupe T = S1 du cercle et celui, \mathbb Z, des entiers, ou plus gĂ©nĂ©ralement entre le n-tore Tn et \mathbb Z^n, est classique en analyse : c'est la thĂ©orie des sĂ©ries de Fourier ; de mĂȘme, la transformation de Fourier exprime que l'espace des caractĂšres de l'espace vectoriel \mathbb R^n est son espace dual \mathbb R^n. Ainsi, la thĂ©orie des reprĂ©sentations unitaires et l'analyse harmonique sont intimement liĂ©es, et l'analyse harmonique abstraite exploite cette relation, en dĂ©veloppant l'analyse des fonctions sur des groupes localement compacts et en Ă©tudiant les espaces associĂ©s[7].

Un problĂšme essentiel est de trouver une forme gĂ©nĂ©rale pour la transformation de Fourier et le thĂ©orĂšme de Plancherel. On le rĂ©sout, pour certains groupes G, en construisant une mesure sur le dual unitaire et un isomorphisme entre la reprĂ©sentation rĂ©guliĂšre de G (sur l'espace L2(G) des fonctions sur G de carrĂ© intĂ©grable) et sa reprĂ©sentation sur l'espace L2 du dual unitaire : la dualitĂ© de Pontryagin rĂ©alise ceci pour G localement compact abĂ©lien et le thĂ©orĂšme de Peter-Weyl pour G compact[23],[25].

Une autre approche fait intervenir toutes les reprĂ©sentations unitaires (au lieu de seulement celles qui sont irrĂ©ductibles). Elles forment une catĂ©gorie Ă  partir de laquelle, si G est compact, la dualitĂ© de Tannaka-Krein (en) fournit un moyen de reconstruire G.

Si G n'est ni abĂ©lien, ni compact, on ne connait pas de thĂ©orie gĂ©nĂ©rale avec un analogue du thĂ©orĂšme de Plancherel ou de l'inversion de Fourier, mais Grothendieck a Ă©tendu la dualitĂ© de Tannaka-Krein en une relation entre groupes algĂ©briques linĂ©aires et catĂ©gories tannakiennes (en).

L'analyse harmonique a aussi été étendue, de l'analyse des fonctions sur un groupe G à celle des fonctions sur un espace homogÚne pour G. La théorie est particuliÚrement développée dans le cas des espaces symétriques et fournit une théorie des formes automorphes.

Groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ReprĂ©sentation d'un groupe de Lie.

Un groupe de Lie est à la fois un groupe et une variété différentielle. Beaucoup de groupes usuels de matrices à coefficients réels ou complexes sont des groupes de Lie[26]. De nombreux groupes importants en physique et en chimie sont des groupes de Lie, et la théorie de leurs représentations est cruciale pour les applications de la théorie des groupes dans ces domaines[5].

On peut dĂ©velopper la thĂ©orie des reprĂ©sentations des groupes de Lie en commençant par considĂ©rer ceux qui sont compacts, auxquels les rĂ©sultats gĂ©nĂ©raux sur les groupes compacts s'appliquent[22]. Cette thĂ©orie peut s'Ă©tendre aux reprĂ©sentations de dimension finie des groupes de Lie semi-simples grĂące au procĂ©dĂ© d'unitarisation (en) de Weyl : le complexifiĂ© d'un groupe de Lie rĂ©el semi-simple est un groupe de Lie complexe, dont les reprĂ©sentations de dimension finie correspondent de façon Ă©troite Ă  celles de « son Â» sous-groupe compact maximal (en).

Tout groupe de Lie est produit semi-direct d'un groupe de Lie rĂ©soluble et d'un groupe de Lie semi-simple (c'est la dĂ©composition de Levi (en))[27]. La classification des reprĂ©sentations des groupes de Lie rĂ©solubles est irrĂ©alisable en gĂ©nĂ©ral, mais souvent facile dans les cas pratiques. On peut alors analyser les reprĂ©sentations des produits semi-directs au moyen de la thĂ©orie de Mackey, qui est une gĂ©nĂ©ralisation des mĂ©thodes utilisĂ©es dans la classification de Wigner des reprĂ©sentations du groupe de PoincarĂ©.

AlgĂšbres de Lie[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ReprĂ©sentation d'algĂšbre de Lie.

Une algĂšbre de Lie sur un corps K est un K-espace vectoriel muni d'une opĂ©ration bilinĂ©aire antisymĂ©trique appelĂ©e son crochet de Lie, qui vĂ©rifie l'identitĂ© de Jacobi. Ces algĂšbres apparaissent en particulier comme espaces tangents au neutre Ă  un groupe de Lie, ce qui conduit Ă  interprĂ©ter leurs Ă©lĂ©ments comme des « symĂ©tries infinitĂ©simales Â»[27]. Une approche importante de la thĂ©orie des reprĂ©sentations des groupes de Lie est d'Ă©tudier les celles des algĂšbres de Lie qui leur correspondent, mais la thĂ©orie des reprĂ©sentations des algĂšbres de Lie a aussi un intĂ©rĂȘt intrinsĂšque[28].

Comme les groupes de Lie, les algĂšbres de Lie admettent une dĂ©composition en parties semi-simple et rĂ©soluble, et la classification des reprĂ©sentations d'algĂšbres de Lie rĂ©solubles est irrĂ©alisable en gĂ©nĂ©ral. À l'inverse, les reprĂ©sentations de dimension finie d'une algĂšbre de Lie semi-simple g sont entiĂšrement connues, depuis les travaux d'Élie Cartan. Pour analyser une telle reprĂ©sentation, on choisit une sous-algĂšbre de Cartan (en) h de g, c'est-Ă -dire essentiellement une sous-algĂšbre de Lie abĂ©lienne maximale gĂ©nĂ©rique. La reprĂ©sentation de g se dĂ©compose en espaces de poids (en), qui sont des sous-espaces propres pour l'action de h et un analogue infinitĂ©simal des caractĂšres. L'analyse de la structure de g via ses reprĂ©sentations se ramĂšne alors Ă  une simple Ă©tude combinatoire des poids qui peuvent intervenir[27].

AlgĂšbres de Lie de dimension infinie[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : AlgĂšbre de Kac-Moody.

Parmi les nombreuses classes d'algĂšbres de Lie de dimension infinie dont les reprĂ©sentations ont Ă©tĂ© Ă©tudiĂ©es, une classe importante est celle des algĂšbres de Kac-Moody[29], dĂ©couvertes indĂ©pendamment par Victor Kac (en) et Robert Moody. Elles gĂ©nĂ©ralisent les algĂšbres de Lie semi-simples de dimension finie et partagent beaucoup de leurs propriĂ©tĂ©s combinatoires, ce qui permet d'apprĂ©hender leurs reprĂ©sentations de la mĂȘme maniĂšre.

La sous-classe des algĂšbres de Lie affines a une importance spĂ©ciale en mathĂ©matiques et en physique thĂ©orique, en particulier en thĂ©orie conforme des champs et en thĂ©orie des systĂšmes complĂštement intĂ©grables. Kac a dĂ©couvert une preuve Ă©lĂ©gante de certaines identitĂ©s combinatoires, les identitĂ©s de Macdonald (en), en se basant sur la thĂ©orie des reprĂ©sentations des algĂšbres de Lie affines.

SuperalgĂšbres de Lie[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : SuperalgĂšbre de Lie.

Les superalgÚbres de Lie sont des généralisations des algÚbres de Lie dans lesquelles l'espace vectoriel sous-jacent est muni d'une ℀2-graduation, qui modifie les signes dans les propriétés du crochet de Lie et dans l'identité de Jacobi. La théorie de leurs représentations est similaire[30].

Groupes algébriques linéaires[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Groupe algĂ©brique linĂ©aire (en).

Les groupes algĂ©briques linĂ©aires (ou, plus gĂ©nĂ©ralement, les schĂ©mas affines en groupes (en)) sont des analogues en gĂ©omĂ©trie algĂ©brique des groupes de Lie, mais sur des corps plus gĂ©nĂ©raux que ℝ ou ℂ. En particulier, sur des corps finis, ils donnent naissance aux groupes finis de type de Lie. Bien que la classification des groupes algĂ©briques linĂ©aires soit trĂšs similaire Ă  celle des groupes de Lie, la thĂ©orie de leurs reprĂ©sentations est assez diffĂ©rente (et beaucoup moins bien comprise) et nĂ©cessite des techniques diffĂ©rentes, du fait que la topologie de Zariski est relativement grossiĂšre, ce qui rend inutilisables les outils de l'analyse classique[31].

Théorie des invariants[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ThĂ©orie des invariants.

La théorie des invariants étudie les actions d'un groupe sur des variétés algébriques du point de vue de l'effet de ces actions sur des fonctions. La théorie classique a d'abord porté sur la question de décrire explicitement les fonctions polynomiales invariantes par les transformations d'un groupe de matrices donné. L'approche moderne analyse la décomposition de ces représentations en irréductibles[32].

La thĂ©orie des invariants des groupes infinis est liĂ©e de façon indissociable au dĂ©veloppement de l'algĂšbre linĂ©aire, en particulier aux thĂ©ories des formes quadratiques et des dĂ©terminants. Un autre sujet avec lequel elle a une forte influence mutuelle est la gĂ©omĂ©trie projective, que la thĂ©orie des invariants peut servir Ă  organiser ; au cours des annĂ©es 1960, David Mumford a insufflĂ© un renouveau dans ce domaine, sous la forme de sa thĂ©orie gĂ©omĂ©trique des invariants (en)[33].

La thĂ©orie des reprĂ©sentations des groupes de Lie semi-simples puise ses racines dans la thĂ©orie des invariants[26] et la forte corrĂ©lation entre thĂ©orie des reprĂ©sentations et gĂ©omĂ©trie algĂ©brique a de nombreux parallĂšles en gĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle, Ă  commencer par le programme d'Erlangen de Felix Klein et les connexions d'Élie Cartan, qui placent les groupes et la symĂ©trie au cƓur de la gĂ©omĂ©trie[34]. Des dĂ©veloppements modernes relient l'Ă©tude des reprĂ©sentations et des invariants Ă  des thĂ©ories aussi variĂ©es que celles de l'holonomie, des opĂ©rateurs diffĂ©rentiels et de l'analyse complexe Ă  plusieurs variables.

Formes automorphes et théorie des nombres[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Forme automorphe (en).

Les formes automorphes sont une gĂ©nĂ©ralisation des formes modulaires par des fonctions analytiques, Ă©ventuellement de plusieurs variables complexes, ayant des propriĂ©tĂ©s similaires de transformation[35]. La gĂ©nĂ©ralisation met en jeu le remplacement du groupe projectif spĂ©cial linĂ©aire PSL2(ℝ) (en) et d'un sous-groupe de congruences (en) donnĂ©, par un groupe de Lie semi-simple G et un sous-groupe discret Γ. De mĂȘme que les formes modulaires peuvent ĂȘtre vues comme des formes diffĂ©rentielles sur un quotient du demi-espace supĂ©rieur H = PSL2(ℝ)/SO(2), les formes automorphes peuvent ĂȘtre vues comme des formes diffĂ©rentielles (ou des objets similaires) sur Γ\G/K, oĂč K est (typiquement) un sous-groupe compact maximal de G. Il faut cependant prendre en compte l'existence, en gĂ©nĂ©ral, de singularitĂ©s du quotient. Le quotient d'un groupe de Lie semi-simple par un groupe compact Ă©tant un espace symĂ©trique, la thĂ©orie des formes automorphes est intimement liĂ©e Ă  l'analyse harmonique sur les espaces symĂ©triques.

Avant le dĂ©veloppement de la thĂ©orie gĂ©nĂ©rale, beaucoup de cas particuliers importants ont Ă©tĂ© Ă©tudiĂ©s en dĂ©tail, comme les formes modulaires de Hilbert (en) et celles de (en) Siegel. Parmi les rĂ©sultats importants de la thĂ©orie figurent la formule des traces de Selberg et l'application du thĂ©orĂšme de Riemann-Roch, par Robert Langlands, au calcul de la dimension de l'espace des formes automorphes. La notion de « reprĂ©sentation automorphe Â» qui en a rĂ©sultĂ© s'est avĂ©rĂ©e trĂšs utile techniquement pour traiter le cas oĂč G est un groupe algĂ©brique, traitĂ© comme un groupe algĂ©brique adĂ©lique. Une philosophie entiĂšre est nĂ©e de lĂ  : le programme de Langlands s'est dĂ©veloppĂ© autour de la relation entre la reprĂ©sentation des formes automorphes et leurs propriĂ©tĂ©s liĂ©es Ă  la thĂ©orie des nombres[36].

AlgĂšbres associatives[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : ReprĂ©sentation d'algĂšbre (en).

En un certain sens, les reprĂ©sentations d'algĂšbres associatives gĂ©nĂ©ralisent Ă  la fois celles des groupes et celles des algĂšbres de Lie. Une reprĂ©sentation de groupe induit une reprĂ©sentation correspondante de son algĂšbre de groupe ou de son algĂšbre de groupe topologique (en), tandis que les reprĂ©sentations d'une algĂšbre de Lie sont en bijection avec celles de son algĂšbre enveloppante. Cependant, la thĂ©orie des reprĂ©sentations des algĂšbres associatives quelconques ne possĂšde pas toutes les propriĂ©tĂ©s agrĂ©ables de celles des reprĂ©sentations des groupes et des algĂšbres de Lie.

Théorie des modules[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Module sur un anneau.

Lorsqu'on considĂšre les reprĂ©sentations d'une algĂšbre associative, on peut oublier le corps de base et voir l'algĂšbre comme un simple anneau, et ses reprĂ©sentations comme des modules sur cet anneau. Cette approche est Ă©tonnamment fructueuse : beaucoup de rĂ©sultats de la thĂ©orie des reprĂ©sentations peuvent s'interprĂ©ter comme des cas particuliers de rĂ©sultats de la thĂ©orie des modules.

AlgĂšbres de Hopf et groupes quantiques[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : AlgĂšbre de Hopf.

Se restreindre des algĂšbres associatives aux algĂšbres de Hopf est une façon d'obtenir une meilleure thĂ©orie des reprĂ©sentations, tout en continuant d'inclure les groupes et les algĂšbres de Lie comme cas particuliers. Entre autres, le produit tensoriel de deux reprĂ©sentations est une reprĂ©sentation, de mĂȘme que l'espace vectoriel dual.

Les algĂšbres de Hopf associĂ©es Ă  des groupes sont commutatives, c'est pourquoi les algĂšbres de Hopf gĂ©nĂ©rales sont connues sous le nom de groupes quantiques, bien que ce terme dĂ©signe souvent des algĂšbres de Hopf particuliĂšres, obtenues par dĂ©formations de groupes ou de leurs algĂšbres enveloppantes. La thĂ©orie des reprĂ©sentations des groupes quantiques a apportĂ© des Ă©clairages surprenants dans celle des groupes et algĂšbres de Lie, par exemple via les cristaux de (en) Kashiwara (en).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Représentations ensemblistes[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Action de groupe (mathĂ©matiques).

Une reprĂ©sentation « ensembliste Â», ou reprĂ©sentation « par permutations Â» d'un groupe G (par opposition aux reprĂ©sentations Ă©voquĂ©es plus haut, dites « linĂ©aires Â») est une action de G sur un ensemble X, c'est-Ă -dire la donnĂ©e d'une application ρ, de G dans l'ensemble XX de toutes les applications de X dans X, telle que pour tous g1, g2 dans G et x dans X :

\rho(1)(x)=x\quad\text{et}\quad\rho(g_1g_2)(x)=\rho(g_1)(\rho(g_2)(x)),

oĂč 1 dĂ©signe l'Ă©lĂ©ment neutre du groupe G.

Ces conditions, jointes Ă  la dĂ©finition d'un groupe, entraĂźnent que les ρ(g) (pour tout g dans G) sont des bijections, si bien qu'une dĂ©finition Ă©quivalente d'une reprĂ©sentation de G par permutation est la donnĂ©e d'un morphisme de groupes de G dans le groupe symĂ©trique SX de X.

Représentations dans d'autres catégories[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Foncteur.

Tout groupe G peut ĂȘtre vu comme une catĂ©gorie, avec un seul objet, et dont les morphismes sont simplement les Ă©lĂ©ments de G. Une reprĂ©sentation de G dans une catĂ©gorie arbitraire C est un foncteur de G dans C, c'est-Ă -dire la donnĂ©e d'un objet particulier X de C et d'un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de X[37].

Par exemple, sur un corps K fixĂ©, une reprĂ©sentation linĂ©aire de G est un reprĂ©sentation de G dans la catĂ©gorie des K-espaces vectoriels (en) ; une reprĂ©sentation ensembliste de G est une reprĂ©sentation de G dans la catĂ©gorie des ensembles, c'est-Ă -dire une action de G ; une reprĂ©sentation de G dans la catĂ©gorie des espaces topologiques est un morphisme de G dans le groupe des homĂ©omorphismes d'un espace topologique, c'est-Ă -dire une action continue de G (vu comme groupe discret) ; une reprĂ©sentation de G dans la catĂ©gorie des groupes[38] est une action de G sur un groupe par automorphismes.

Deux autres types de reprĂ©sentations sont fortement liĂ©es Ă  celui des reprĂ©sentations linĂ©aires :

  • les reprĂ©sentations projectives (en), que l'on peut dĂ©crire comme les reprĂ©sentations « linĂ©aires Ă  transformations scalaires prĂšs Â» : dans la catĂ©gorie des espaces projectifs
  • les reprĂ©sentations affines (en) : dans la catĂ©gorie des espaces affines.

Représentations de catégories[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Carquois (thĂ©orie des catĂ©gories).

Puisqu'on a Ă©tudiĂ© les reprĂ©sentations de groupes, et que ces derniers sont des cas particuliers de catĂ©gories, il est naturel de chercher Ă  dĂ©finir la notion de reprĂ©sentation pour d'autres types catĂ©gories. La classe de catĂ©gories la plus simple qui gĂ©nĂ©ralise celle des groupes est celle des monoĂŻdes, qui sont des catĂ©gories Ă  un seul objet mais oĂč les morphismes ne sont plus nĂ©cessairement des isomorphismes. De mĂȘme que pour un groupe, on peut Ă©tudier les reprĂ©sentations d'un monoĂŻde dans n'importe quelle catĂ©gorie. Dans celle des ensembles, il s'agit des actions de ce monoĂŻde (en) sur un ensemble.

Si l'on ne suppose plus que la catégorie a un seul objet, on aboutit à la théorie des foncteurs, sur laquelle on peut dire peu de choses en toute généralité.

Un cas particulier a eu un impact significatif dans la thĂ©orie des reprĂ©sentations : celui des reprĂ©sentations de carquois[11]. Un carquois est simplement un graphe orientĂ© (oĂč l'on autorise des boucles et des arĂȘtes multiples), mais on peut lui associer une catĂ©gorie (et aussi une algĂšbre) en considĂ©rant ses chemins. La thĂ©orie des reprĂ©sentations de catĂ©gories ou d'algĂšbres de carquois a jetĂ© un nouvel Ă©clairage sur plusieurs aspects de la thĂ©orie des reprĂ©sentations, par exemple en permettant parfois de rĂ©duire des questions sur les reprĂ©sentations semi-simples d'un groupe Ă  des questions analogues pour un carquois.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Representation theory Â» (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Parmi les textes classiques sur la thĂ©orie des reprĂ©sentations, on peut citer Curtis et Reiner 1962 et Serre 1977. D'autres sources excellentes sont Fulton et Harris 1991 et Goodman et Wallach 1998.
  2. ↑ Pour une histoire de la thĂ©orie des reprĂ©sentations des groupes finis, voir Lam 1998. Pour les groupes algĂ©briques et les groupes de Lie, voir Borel 2001.
  3. ↑ a et b Il existe beaucoup de manuels sur les espaces vectoriels et l'algĂšbre linĂ©aire. Pour un traitement plus avancĂ©, voir (en) A. I. Kostrikin (de) et Yuri I. Manin, Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis,‎ (ISBN 978-90-5699-049-7).
  4. ↑ (en) Paul Sally (en) et David A. Vogan (de), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, AMS,‎ (ISBN 978-0-8218-1526-7, lire en ligne)
  5. ↑ a et b Sternberg 1994
  6. ↑ Lam 1998, p. 372
  7. ↑ a, b et c (en) Gerald B. Folland (en), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC,‎ (ISBN 978-0-8493-8490-5)
  8. ↑ Goodman et Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997
  9. ↑ Borel et Casselman 1979, Gelbart 1984
  10. ↑ Voir notes prĂ©cĂ©dentes et Borel 2001.
  11. ↑ a et b Simson, Skowronski et Assem 2007
  12. ↑ Fulton et Harris 1991, Simson, Skowronski et Assem 2007, Humphreys 1972
  13. ↑ On trouve ces bases dans les manuels standards comme Curtis et Reiner 1962, Fulton et Harris 1991, Goodman et Wallach 1998, Gordon et Liebeck 1993, Humphreys 1972, Jantzen 2003, Knapp 2001 et Serre 1977.
  14. ↑ a et b Serre 1977
  15. ↑ Alperin 1986, Lam 1998, Serre 1977
  16. ↑ (en) Shoon Kyung Kim, Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals and Applications to Molecules and Crystals, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-64062-6, lire en ligne)
  17. ↑ Serre 1977, Part III
  18. ↑ Alperin 1986
  19. ↑ (en) Hermann Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover,‎ (ISBN 978-0-486-60269-1, lire en ligne), traduction 1931 par H. P. Robertson de (de) Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, S. Hirzel,‎
  20. ↑ (en) E. Wigner, « On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group Â», Ann. Math., vol. 40, no 1,‎ , p. 149-204 (DOI 10.2307/1968551, lire en ligne)
  21. ↑ Borel 2001
  22. ↑ a et b Knapp 2001
  23. ↑ a et b (de) F. Peter et H. Weyl, « Die VollstĂ€ndigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe Â», Math. Ann., vol. 97, no 1,‎ , p. 737-755 (DOI 10.1007/BF01447892, lire en ligne)
  24. ↑ (en) V. Bargmann (de), « Irreducible unitary representations of the Lorenz group Â», Ann. Math., vol. 48, no 3,‎ , p. 568-640 (DOI 10.2307/1969129, lire en ligne)
  25. ↑ (en) L. Pontrjagin, « The Theory of Topological Commutative Groups Â», Ann. Math., vol. 35, no 2,‎ , p. 361-388 (DOI 10.2307/1968438)
  26. ↑ a et b (en) Hermann Weyl, The Classical Groups : Their Invariants and Representations, PUP,‎ , 2e Ă©d. (1re Ă©d. 1946) (ISBN 978-0-691-05756-9, lire en ligne)
  27. ↑ a, b et c Fulton et Harris 1991
  28. ↑ Humphreys 1972
  29. ↑ (en) Victor G. Kac, Infinite Dimensional Lie Algebras, CUP,‎ , 3e Ă©d. (ISBN 978-0-521-46693-6, lire en ligne)
  30. ↑ (en) Victor G. Kac, « Lie superalgebras Â», Adv. Math., vol. 26, no 1,‎ , p. 8-96 (DOI 10.1016/0001-8708(77)90017-2)
  31. ↑ Humphreys 1975, Jantzen 2003
  32. ↑ Olver 1999
  33. ↑ (en) D. Mumford, J. Fogarty et F. Kirwan (en), Geometric Invariant Theory, Springer, coll. Â« Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) (2) Â» (no 34),‎ (rĂ©impr. 1982), 3e Ă©d. (1re Ă©d. 1965) (ISBN 978-3-540-56963-3)
  34. ↑ Sharpe 1997
  35. ↑ Borel et Casselman 1979
  36. ↑ Gelbart 1984
  37. ↑ (en) Michael Aschbacher, Finite Group Theory, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-78675-1, lire en ligne), p. 9.
  38. ↑ Aschbacher 2002, chap. 3 (« Representations of groups on groups Â»).

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) J. L. Alperin (en), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-44926-7)
  • (en) Armand Borel, Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, AMS,‎ (ISBN 978-0-8218-0288-5, lire en ligne)
  • (en) Armand Borel et W. Casselman, Automorphic Forms, Representations, and L-functions, AMS,‎ (ISBN 978-0-8218-1435-2, lire en ligne)
  • (en) Charles W. Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons,‎ (ISBN 978-0-821-84066-5, lire en ligne) (rĂ©Ă©d. 2006 par AMS Bookstore)
  • (en) William Fulton et Joe Harris, Representation Theory : A First Course [dĂ©tail des Ă©ditions]
  • (en) Stephen Gelbart, « An Elementary Introduction to the Langlands Program Â», Bull. Amer. Math. Soc., vol. 10, no 2,‎ , p. 177-219 (lire en ligne)
  • (en) Roe Goodman et Nolan R. Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-66348-9, lire en ligne)
  • (en) James Gordon et Martin Liebeck, Representations and Characters of Groups, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-44590-0)
  • (en) James E. Humphreys (de), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, BirkhĂ€user,‎ (ISBN 978-0-387-90053-7)
  • (en) James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer, coll. Â« GTM Â» (no 21),‎ (ISBN 978-0-387-90108-4)
  • (en) Jens Carsten Jantzen (en), Representations of Algebraic Groups, AMS,‎ (ISBN 978-0-8218-3527-2)
  • (en) Anthony W. Knapp (de), Representation Theory of Semisimple Groups : An Overview Based on Examples, PUP,‎ (ISBN 978-0-691-09089-4, lire en ligne)
  • (en) T. Y. Lam, « Representations of Finite Groups: A Hundred Years Â», Notices Amer. Math. Soc., vol. 45, no 3 et 4,‎ , 361-372 (Part I), 465-474 (Part II)
  • (en) Peter J. Olver, Classical Invariant Theory, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-55821-1, lire en ligne)
  • (en) Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups [dĂ©tail des Ă©ditions]
  • (en) R. W. Sharpe, Differential Geometry : Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, coll. Â« GTM Â» (no 166),‎ (ISBN 978-0-387-94732-7, lire en ligne)
  • (en) Daniel Simson, Andrzej Skowronski et Ibrahim Assem, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-88218-7, lire en ligne)
  • (en) S. Sternberg, Group Theory and Physics, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-55885-3, lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Philosophie des sciences
  • ReprĂ©sentation (mathĂ©matiques) (en)
  • ThĂ©orĂšme de reprĂ©sentation (en) Page d'aide sur l'homonymie
wikipediaCet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.
Vous pouvez consulter l'article ici ainsi que son historique.
Les textes et les images sont disponibles sous les termes de la Licence de documentation libre GNU.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2015