Théorie quantique des champs

Théorie quantique des champs : encyclopédie mathématique

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Mécanique quantique

$\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$

Postulats de la mécanique quantique

Histoire de la mécanique quantique

Concepts fondamentaux
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La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée incohérente, cette théorie fournit un cadre conceptuel largement utilisé en physique des particules, en physique de la matière condensée et en physique statistique.

La première théorie quantique des champs à avoir vu le jour, l'électrodynamique quantique, est au XXI^e siècle une des théories physiques ayant le plus beau succès dans sa confrontation aux résultats expérimentaux dans le cadre du modèle standard, notamment grâce à la concordance de la théorie avec la mesure de haute précision de la constante de structure fine.

Sommaire

[modifier] Historique

Article détaillé : Histoire de la théorie quantique des champs.

La théorie naît en 1927 avec l'article fondateur de l'électrodynamique quantique par Dirac : La Théorie quantique de l'émission et de l'absorption du rayonnement. Le formalisme est ensuite développé et discuté dans les années 1930 par les théoriciens, ceux-ci se heurtant à un problème récurrent : l'apparition systématique d'infinis lors des calculs de grandeurs physiques censées être mesurables et finies. Cette difficulté ne fut entièrement surmontée qu'en 1948 avec l'invention d'une procédure systématique, la renormalisation, due principalement à Tomonaga, à Schwinger et à Feynman.

Les succès de l'électrodynamique quantique, théorie de jauge abélienne, ont conduit les théoriciens des années 1960 et 1970 à appliquer les concepts de cette théorie aux théories de jauge non abéliennes, donnant finalement naissance à l'actuel modèle standard de la physique des particules.

Par ailleurs, Kadanoff a introduit à la fin des années 1960 l'idée que les transitions de phases décrites par la physique statistique présentaient des propriétés d'universalité et d'invariance d'échelles. Wilson eut alors l'idée d'appliquer les méthodes de renormalisation de la théorie quantique des champs à la description des phénomènes critiques.

[modifier] Champs quantiques

[modifier] Notion de champ quantique

La façon dont la théorie des champs fut introduite par Dirac à partir des particules élémentaires est connue pour des raisons historiques sous l'appellation de seconde quantification.

Les champs ne sont pas liés à la dualité onde-corpuscule.

Les particules élémentaires possèdent déjà cette dualité dans l'acceptation du terme de la mécanique classique. Ce que l'on entend par champ est un concept qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout point de l'espace. Comme tout système quantique, un champ quantique a un hamiltonien et obéit à l'équation de Schrödinger :

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

(En théorie des champs, le formalisme lagrangien est plus facile à utiliser que son équivalent hamiltonien.)

Avec la seconde quantification, l'indiscernabilité des particules s'exprime en termes de nombre d'occupation.

Supposons que N = 3, avec une particule dans l'état φ₁ et deux dans l'état φ₂, alors la fonction d'onde est :

$\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]$

alors qu'avec la seconde quantification, cette fonction est simplement

$|1, 2, 0, 0, \cdots \rangle$

Quoique la différence soit minime, la deuxième permet d'exprimer facilement des opérateurs création et annihilation, qui ajoutent ou enlèvent des particules à l'état. Ces opérateurs sont très similaires à ceux définis par un oscillateur harmonique quantique qui, en mécanique quantique, crée ou détruit des quanta d'énergie.

Par exemple, l'opérateur a₂ a l'effet suivant:

$a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}$

$a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle$

$a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0$

(Le facteur $\sqrt{2}$ normalise la fonction d'onde.)

Enfin, il faut introduire « les opérateurs de champ » de création ou d'annihilation d'une particule en un point de l'espace.

De même que pour une seule particule la fonction d'onde s'exprime avec son moment cinétique, de même les opérateurs de champ peuvent s'exprimer à l'aide des transformées de Fourier.

Par exemple, $\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i}$ , qu'il ne faut pas confondre avec une fonction d'onde, est l'opérateur de champ d'annihilation de boson.

Les hamiltoniens, en physique des particules, sont écrits comme une somme d'opérateurs création et annihilation de champ :

$H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k$

Cela exprime un champ de bosons libres, où E_k est l'énergie cinétique. Cet hamiltonien est utilisé pour décrire des phonons.

[modifier] Localisation

L'expérimentateur qui enregistre un « clic » dans son détecteur aimerait relier cet événement, qu'il interprète comme la détection d'une « particule » relativement bien localisée dans l'espace (et dans le temps), au champ quantique et à ses excitations, ce qui conduit au problème de la localisation^[1] en physique quantique relativiste. Pour certains types de « particules », l'opérateur de position de Newton-Wigner apporte des éléments de réponse.

[modifier] Notes

↑ Certains aspects de ce problème conceptuel sont discutés par Meinard Kuhlmann ; Quantum Field Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2006).

[modifier] Bibliographie

[modifier] Textes en français

Laverne, Alain ; Rayonnement quantique, cours donné en 1994 par Alain Laverne (Université Paris 7) sur la quantification du rayonnement électromagnétique et le concept de photon. 240 pages.
Bell, John S. ; Théorie quantique des champs expérimentale, traduction française par Alain Laverne (Université Paris 7) d'un cours d'introduction donné en 1977 par John S. Bell (Physique Théorique, CERN) aux physiciens expérimentateurs. 41 pages.
Delamotte, Bertrand ; Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations & groupe de Poincaré , cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies, Université Paris 7) au DEA "Champs, Particules, Matières" . 127 pages.
Laloë, Franck ; Cours sur les symétries, cours pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné par Franck Laloë (Laboratoire de Physique Atomique, ENS Ulm, Paris) au DEA de Physique Quantique.
Zinn-Justin, Jean ; Des infinis de la mécanique quantique relativiste au groupe de renormalisation, texte d'une conférence donnée par Jean Zinn-Justin (Service de Physique Théorique du CEA) lors de la 5me rencontre "Physique et Interrogations Fondamentales" (PIF V) intitulée : L'élémentaire et le complexe. Universel et singulier (III) (27 octobre 1999, Collège de France, Paris). Publié par : Michel Crozon & Yves Sacquin (éditeurs), EDP Sciences (2001).
Le Bellac, Michel ; Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Editions du CNRS (1988), ISBN 2-86883-359-4. Réédité par EDP Sciences.

[modifier] Textes en anglais

Wilczek, Frank ; Quantum Field Theory, Review of Modern Physics 71 (1999) S85-S95. Article de revue écrit par un Maître de la QCD, prix Nobel 2003. ArXiV : hep-th/9803075
Zee, Anthony ; Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press (2003), ISBN 0-691-01019-6. La meilleure introduction à la théorie quantique des champs. Pédagogique et même divertissant. Aspects de la théorie de la matière condensée comme de celle des hautes énergies.
Ryder, Lewis H. ; Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1985), ISBN 0-521-33859-X Ouvrage remarquable, qui complète à merveille le précédent pour la théorie quantique des champs appliquée à la physique des particules.
Peskin, M and Schroeder, D. ;An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995), ISBN 0201503972. Pas à pas détaillé.
Weinberg, Steven ; The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press (1995). Traité monumental en 3 volumes par un expert du domaine, prix Nobel 1979.
Loudon, Rodney ; The Quantum Theory of Light (Oxford University Press, 1983), ISBN 0198511558
Siegel, Warren ; Fields. ArXiV : arXiv:hep-th/9912205). Atypique.
't Hooft, Gerard ; The Conceptual Basis of Quantum Field Theory, Handbook of the Philosophy of Science, Elsevier (à paraître). Article de revue écrit par un Maître des théories de jauge, prix Nobel 1999. pdf.
Srednicki, Mark ; Quantum Field Theory
Maggiore, Michele ; A Modern Introduction to Quantum Field Theory, Oxford University Press (2005), ISBN 0-19-852074-3.
Une introduction à la théorie quantique des champs qui présente les méthodes modernes de la physique théorique. Basé sur son cours de quatrième année à l'Université de Genève, ce livre s'adresse à des étudiants n'ayant aucune connaissances préalables en théorie quantique des champs.

[modifier] Voir aussi

Mécanique quantique relativiste
Équation de Dirac
Équation de Klein-Gordon
Seconde quantification
Espace de Fock
Électrodynamique quantique
Théorie de jauge
Chromodynamique quantique
Théorie quantique des champs axiomatique
Intégrale de chemin
Force électrofaible
Boson de Higgs
Modèle standard
Théorie des groupes

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