Théorème de Stokes (encyclopédie mathématiques)

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En géométrie différentielle, le théorème de Stokes est un résultat central sur l'intégration de formes différentielles, qui généralise nombre de théorèmes sur l'analyse vectorielle. Après l'énoncé et la démonstration, cet article en propose nombre d'applications : en particulier, il fournit un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides.

Théorème de Stokes — Soit $M$ une variété différentielle orientée de dimension n, et $\omega$ une (n-1)-forme différentielle à support compact sur $M$ de classe $C^1$ . Alors, on a :

$\int_M\!\mathrm d\omega=\int_{\partial M}\!i^*\omega$

où $d$ désigne la dérivée extérieure, $\partial M$ le bord de $M$ , muni de l'orientation sortante, et $i:\partial M\rightarrow M$ est l'inclusion canonique.

George Stokes

William Thomson

Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à connaître ce résultat est en réalité William Thomson. Le mathématicien et le physicien entretiennent une correspondance active durant cinq ans, de 1847 à 1853^[1].

La preuve demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; il faut se rendre compte que l'apparente simplicité de la démonstration actuelle est trompeuse.

Sommaire

[modifier] Démonstration

L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle, et de se ramener à un cas presque évident.

Soit $\{U_i\}_I$ un recouvrement localement fini de $M$ par des domaines de cartes locales $\phi_i:U_i\rightarrow \phi_i(U_i)\subset \R^n$ , telles que :

$\phi_i(U_i\cap \partial M)=\phi_i(U_i)\cap (\{0\}\times \R^{n-1}).$

Introduisons $f_i$ une partition de l'unité subordonnée à $\{U_i\}$ . Comme le support de $\omega$ est fermé, la forme différentielle $\omega$ s'écrit :

$\omega=\sum f_{i}\omega$

où la sommation est à support fini. Posons $\beta_i=\phi_i^*\left[f_i\omega\right]$ , forme différentielle à support compact de $M'$ = ℝ₊×ℝ^n–1. La restriction $\phi_i|_{\partial M}$ est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations sortantes. On a donc :

$\int_{\partial M}\!\left[f_i\omega\right]=\int_{\partial M'}\! \beta_i.$

Comme $\phi_i^*$ commute avec l'opérateur de différentiation $d$ , on a :

$\int_M\! \mathrm d\left[f_i\omega\right]=\int_{M'}\! \mathrm \mathrm d\beta_i.$

Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier $M'$ = ℝ₊×ℝ^n–1.

Une (n-1)-forme $\omega$ sur $M'$ = ℝ₊×ℝ^n–1 s'écrit :

$\omega=\sum_{i=1}^n f_i\cdot \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat{\mathrm dx_i}\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n$

où le chapeau désigne une omission. On trouve alors :

$\begin{align}\mathrm d\omega&=\sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \mathrm dx_j \right)\wedge \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat{\mathrm dx_i}\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n\\ &=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_1\wedge\dots\wedge\mathrm dx_n.\end{align}$

Le théorème de Fubini donne :

$\begin{align} \int_{\R_+\times\R^{n-1}}\! \mathrm d\omega&=\sum_{i=1}^n\int_{\R_+\times\R^{n-1}} (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_1 \dots \mathrm dx_n\\ &=\int_{\R^{n-1}}\!\left(\int_0^{+\infty}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \mathrm dx_1\right) \mathrm dx_2\dots\mathrm dx_n+ \sum_{i=2}^n \int_{\R_+\times\R^{n-2}} (-1)^{i-1}\!\left(\int_\R \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i \right)\mathrm dx_1\dots\widehat{\mathrm dx_i}\dots\mathrm dx_n.\end{align}$

L'hypothèse que la forme $\omega$ est à support compact permet alors de finir le calcul, car les termes $\textstyle\int_\R \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i$ pour $i\geq 2$ sont tous nuls :

$\int_{\R_+\times\R^{n-1}}\!\mathrm d\omega = \int_{\R^{n-1}} f_1(0,x_2,\dots,x_n) \mathrm dx_2\dots \mathrm dx_n=\int_{R^{n-1}} i^*\omega,$

d'où le résultat.

[modifier] Théorème fondamental de l'intégration

Si $f$ est une fonction C^∞ de la variable réelle, alors $f$ est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est $f^\prime(x)\mathrm dx\,$ . Le bord orienté de $[a,b]$ est $\{b\} -\{a\}$ (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation –), quelles que soient les valeurs relatives de $a$ et $b$ . La formule de Stokes donne dans cette situation :

$\int_a^bf'(x)\mathrm dx=f(b)-f(a).~$

En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le théorème fondamental de l'intégration et un argument de partition de l'unité.

[modifier] Formule de Green-Riemann

Article détaillé : théorème de Green.

Soit $U$ un domaine compact lisse de ℝ² et $\alpha=f\cdot \mathrm dx+g\cdot \mathrm dy$ une 1-forme différentielle sur ℝ². Alors, la formule de Stokes s'écrit :

$\int_{\partial U} \alpha = \int_{\partial U}\! \left[f\cdot \mathrm dx+g\cdot \mathrm dy\right]=\iint_U \left[\frac{\partial g}{\partial x} -\frac{\partial f}{\partial y}\right] \,\mathrm dx\,\mathrm dy.$

La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.

[modifier] Formule d'Ostrogradski

Article détaillé : théorème de Green-Ostrogradski.

Soit $U$ un domaine compact à bord lisse de ℝ³ et posons $\eta=\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz$ . Si $X$ est un champ de vecteurs au voisinage de l'adhérence de $U$ , alors sa divergence vérifie :

$\mathrm d\left[\iota_X\omega\right]=\mathrm{div}(X)\cdot\omega.$

La formule de Stokes donne alors :

$\int_{\partial U}\! \left[f\cdot \mathrm dy\wedge \mathrm dz+g\cdot \mathrm dz\wedge \mathrm dx+h\cdot \mathrm dx\wedge \mathrm dy\right]=\iiint_U\! \left[\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}\right]\, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz.$

[modifier] Sens physique de la formule de Stokes

Notons $\mathrm d\vec S$ le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine $U$ relativement compact à bord régulier. Soit $X$ un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de $U$ . On définit la forme surfacique sur $\partial U$ par :

$\eta=\iota(N)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)\big|_{\partial U}.$

On définit le flux de $X$ par :

$\oint_{\partial U} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_{\partial U}\langle X\mid N\rangle\cdot \eta.$

La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

$\oint_{\partial U} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_U (\mathrm{div} X) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz.$

Soit $\partial S$ une courbe fermée orientée dans ℝ³, $S$ une surface orientée dont le contour est $\partial S$ . L'orientation de $\partial S$ est induite par l'orientation de $S$ . Si le champ vectoriel $\vec{V}$ admet des dérivées partielles continues, alors :

$\oint_{\partial S}\vec V \cdot \mathrm d\vec l = \iint_{S}\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec V \cdot \mathrm d\vec S$

où $\mathrm d\vec l$ est le vecteur directeur de la courbe en tout point, $\overrightarrow\mathrm{rot}\ \vec V= \vec\nabla \wedge \vec V$ le rotationnel de $\vec V$ , et $\mathrm d \vec S$ le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).

[modifier] Application à l'homologie

La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham.

Elle permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.

[modifier] Références

↑ (en) David B. Wilson, The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs [détail des éditions]

v · d · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson)
Opérateurs	Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes	de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

Théorème de Stokes

Sommaire

[modifier] Démonstration

[modifier] Théorème fondamental de l'intégration

[modifier] Formule de Green-Riemann

[modifier] Formule d'Ostrogradski

[modifier] Sens physique de la formule de Stokes

[modifier] Application à l'homologie

[modifier] Références

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