Topologie cofinie (encyclopédie mathématiques)

Topologie cofinie : encyclopédie mathématiques

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La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble $X$ de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de $X$ cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans $X$ est fini. Formellement, si on note $\tau$ la topologie cofinie pour $X$ , on a: $\tau=\{A\subset X, X\backslash A\mbox{ est fini ou }A=\empty\}$ .

[modifier] Remarques et propriétés

Lorsque $X$ est fini, toute partie de $X$ est cofinie, donc appartient à $\tau$ : la topologie cofinie est en fait la topologie discrète sur $X$ .
La topologie induite sur $Y\subset X$ est la topologie cofinie sur $Y$ .
Tout espace muni de la topologie cofinie est quasi-compact (se montre aisément par la définition de la compacité), mais n'est séparé que si l'espace est fini.

Topologie cofinie

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