Triangle équilatéral

Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un polygone régulier.
arêtes et sommet	3
Symbole de Schläfli	{3}
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Groupe de symétrie	Groupe diédral (D3)
Angle interne (degrés)	60°

En géométrie, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux. En géométrie euclidienne ou traditionnelle, ils sont aussi équiangulaires, c'est-à-dire que les trois angles internes sont égaux et valent 60°. Ce sont des polygones réguliers, et peuvent donc également être considérés comme des triangles réguliers.

[modifier] Propriétés

En posant la longueur de chaque côté égale à , on a :

• L'aire vaut
• Le périmètre vaut
• Le rayon du cercle circonscrit vaut
• Le rayon du cercle inscrit vaut
• Chaque hauteur vaut

Ces formules peuvent être obtenues grâce au théorème de Pythagore.

Le triangle équilatéral est le triangle le plus symétrique, et a 3 lignes de symétries. Son groupe de symétrie le groupe diédral d'ordre 6D₃.

Un tétraèdre régulier est fait de quatre triangles équilatéraux.

Les triangles équilatéraux peuvent être trouvés dans de nombreuses constructions géométriques. Trois des solides de Platon sont composés de triangles équilatéraux. En particulier, les quatre faces du tétraèdre régulier sont des triangles équilatéraux.

Le théorème de Morley est un résultat permettant de trouver un triangle équilatéral dans n'importe quel triangle.

[modifier] Construction géométrique

Construction d'un triangle équilatéral avec un compas et une règle.

Un triangle équilatéral peut être facilement construit en utilisant un compas :

• dessiner un segment ;
• placer le point du compas sur un bout du segment ;
• dessiner un arc de cercle ;
• répéter avec l'autre bout du segment ;
• connecter le point où les deux arcs se croisent.

Autre méthode, moins répandue :

• tracer un cercle de rayon ;
• placer le point du compas sur le cercle ;
• dessiner un autre cercle de même rayon.

Les deux cercles se croisent en deux points. Un triangle équilatéral peut être construit en prenant les deux centres des cercles et l'un ou l'autre des points d'intersection.

[modifier] Dans la culture

• Plusieurs sites archéologiques ont des triangles équilatéraux dans leur construction, comme par exemple Lepenski Vir en Serbie.
• La figure apparaît également dans l'architecture moderne, tels que dans le Jefferson National Expansion Memorial
• Le triangle équilatéral a une signification mystique, étant une représentation de la trinité chrétienne dans The Two Babylons et faisant partie du Tetraktys, figure utilisée par les Pythagoriciens.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

• Trigonométrie
• Théorème de Viviani

[modifier] Lien externe

(en) Triangle équilatéral sur le site Math Open Reference, avec une animation interactive.