triangles semblables et calcul algébrique.

Posté par tatia (invité)

Sur une droite d on choisit un point O et on place sur cette droite,
de part et d’autre de O, deux points A et B tels que :    
   OA=x , OB=y  avec x et y supérieur à zéro et x différent de y

1/le point I est le milieu de [AB]
démontrer que IA =IB=(x+y)/2

ma reponse :
on sait que I est le milieu de de AB
AB=IB
Donc IB= (x+y)/2

2/on construit un demi cercle de diamètre [AB].la perpendiculaire à d,menée
par O coupe le cercle  en C.on note K le projeté orthogonal de O
sur la droite (CI).
       a)démontrer que les triangles AOC et COB sont des triangles
semblables.

Ma réponse :
Les triangle AOC et COD on une hauteur commune qui est aussi leur coté
donc ces 2 triangles sont rectangles.

b)déduisez-en que OC²=OA fois OB et que  OC=racine de xy

3/a)démontrez que COI et COK sont semblables.
   b)déduisez-en que CO²=CK fois CI et que CK=(2xy)/(x+y)

4/si x et y sont deux nombres positifs, on appelle :
-moyenne arithmétique de x et y le nombre   a=(x+y)/2
-moyenne geométrique de x et y le nombre   g=racine de xy
-moyenne harmonique de x et y le nombre    h=(2xy)/(x+y)

si x et y sont distincts, démontrez géométriquement en utilisant les
résultats précédents que h inférieur à g qui est inférieur à a.

5/on a complété la figure de l’exercice en construisant le rectangle
OBDE tel que OE=x et OB=y
a)pourquoi [AI] est-il le coté d’un carré ayant meme périmètre que le
rectangle OBDE ?
b)pourquoi [CO] est-il le coté d’en carré ayant mme aire que OBDE ?
c)pourquoi [CK] est-il le coté d’un carré tel que le rapport des aires
de ca carré et du rectangle OBDE est égal au rapport des périmètres
?

Posté par Océane Océane

Bonjour quand même !

- Question 1 -
Ok, tu as du faire une erreur de frappe,
on sait que I est le milieu de [AB], donc :
IA = IB


- Question 2 - a) -
Tu n'as pas montré que les deux triangles sont semblables

(OC) est perpendiculaire à (AB),
donc les triangles AOC et BOC sont rectangles en O.
Donc :
AOC = BOC = 90°

Le triangle ABC est rectangle en C (il est inscrit dans un demi-cercle
ayant pour diamètre un de ses côtés),
donc OAC + OBC = 90°

De même,
OAC + ACO = 90°


De :
OAC + OBC = 90°
et
OAC + ACO = 90°
on en déduit que :
OAC + ACO = OAC + OBC
ACO = OBC

Les triangles OAC et OBC ont deux angles respectivement égaux, on en
déduit alors qu'ils sont semblables.


- Question 2 - b) -
Comme les triangles CAO et COB sont semblables, alors les côtés opposés
aux angles égaux ont des longueurs proportionnelles.
Donc :
OC/OA = OB/OC = BC/AC
D'où :
OC/OA = OB/OC
OC² = OA×OB

Donc :
OC² = x×y
OC = (xy)
(x et y sont deux réels positifs)


Voilà déjà pour le début

Posté par Océane Océane

Pour la suite :

- Question 3 - a) -
Le triangle COI est rectangle en O, donc l'angle COI vaut 90°.
Le triangle COK est rectangle en K, donc l'angle CKO vaut 90°.
On a donc :
COI = CKO

De plus, OCI = OCK.

D'où :
Les triangles COI et COK ont deux angles respectivement égaux, on en
déduit alors qu'ils sont semblables.


- Question 3 - b) -
Comme les triangles COI et COK sont semblables, alors les côtés opposés
aux angles égaux ont des longueurs proportionnelles.
Donc :
OK/OI = OC/CI = CK/OC

Donc :
OC/CI = CK/OC
OC² = CI × CK


Et :
CK = OC²/CI
= (xy)/[(x + y)/2]
= (2xy)/(x + y)


Voilà pour la suite

Posté par Océane Océane

Et enfin:

- Question 5 - a) -
Périmètre du carré de côté [AI] :
4 × AI
= 4 × (x + y)/2
= 2(x + y)

Périmère du rectangle OBDE :
2(OE + OB) = 2(x + y)


- Question 5 - b) -
Aire du carré de côté [CO] :
CO² = = xy

Aire de OBDE :
OB × OE = xy


- Question 5 - c) -
Aire du carré de côté [CK] :
CK² = 4x²y²/(x + y)²

Périmètre du carré de côté [CK] :
4 CK = 8xy/(x + y)

Donc, le rapport des aires est :
(4x²y²/(x + y)²)/ (xy)
= 4xy/(x + y)²


Et le rapport des périmètres :
(8xy/(x + y))/(2(x + y))
= 4xy/(x + y)²

D'où :
le rapport des aires du carré de côté [CK] et du rectangle OBDE est
égal au rapport des périmètres.

A toi de tout reprendre, bon courage

Posté par Victor Victor

Bravo Océane !
Quelle correction !
Et en plus, toujours au boulot à 22h.
=

@+

PS : il faut bien qu'on se fasse des compliments nous-mêmes de
temps en temps.

Posté par Océane Océane

Arf oui, à peine le temps de manger lol.
Je vais demander à mon chef à passer aux 35 heures

Mais je remarque que toi non plus tu ne chômes pas

@+

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

C'est moi le chef ?

Faut pas dire ça, on va me prendre pour un esclavagiste.
Alors que je laisse le droit à mes co-webmaster / correcteurs le droit
d'aller manger rapidement entre deux réponses

Posté par Victor Victor

Je ne chôme pas mais je commence quand même à fatiguer.
Vivement les vacances !
Dans une semaine, je laisse de côté le boulot et j'abandonne le forum
pour quelques temps... mais je reviens très vite, promis.


Bonne nuit.

@+

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Tu nous manquera Victor
Mais tout le monde à droit à des vacances

Et puis, ce sera aussi les vacances scolaires, alors l'activité
du forum devrait être un peu réduite...

Posté par Océane Océane

Ohhh, qui va aider tous ces collégiens et lycéens pendant les vacances
alors si tous les modérateurs partent en vacances ?
(il y aura deux correcteurs en plus en vacances lol)

Allez profite bien de tes vacances méritées et de toute façon on te retrouvera
après alors ca va
Tout le monde sera heureux de te retrouver

Bonne nuit Victor

Posté par Karen, amie de t (invité)

Merci pour tout le travail que vous accomplissez pour nous aider.
C'est vraiment génial de faire ça.
Grâce à vous on arrive à mieux comprendre et à améliorer nos résultats
scolaires.
Encore merci et bonnes vacances Victor.

Posté par (invité)

merci à tous pour votre aide!!!!!!!!@@@@+++++tatia