Forum Mathématique (Collège) :
raisonnement algébrique et arithmétique

Bon soir aux connectés ! je suis nouvelle depuis hier et je suis enchantée des réponses que j'ai pu avoir à travers le forum. Je prends "la plume" pour vous exposer le probléme: résoudre par un raisonnement utilisant l'algèbre puis un raisonnement arithmétique un probléme de km/h. Par exemple: si papa roule à 90km/h, j'arriverai chez mamie à 12h30. Si papa roule à 130km/h, j'arriverai à 11h40. A quelle heure la famille doit être prête à partir pour arriver aux heures prévues par papa?
J'ai pu expliquer à ma fille le raisonnement arithmétique (par le calcul des unités de temps de distance et de vitesse). Pour le raisonnement algébrique, je n'ai pas voulu m'engager car je ne perçois pas la différence. Je vous remercie par avance de vos réponses et souhaite à tous une bonne soirée et je joue à la maman "rabat la joie", ne vous couchez pas trop tard même si c'est mercredi demain!!

    Bonsoir la Lorraine. C'est vrai, il est tard, mais je ne peux rester insensible à la tristesse d'une mère attentive et désolée ...

Algébriquement parlant, je pourrais calculer ainsi:
(j'appellerai voiture A quand elle roule à 90 km/h, et voiture B si elle roule à 130 km/h )
  Soit d la distance en kilomètres
  soit h l'heure de départ en heures (décimales)
trajet effectué par la voiture A : d = v1*t1 =  90(12,5 - h)    (1)
trajet effectué par la voiture B : d = v2*t2 = 130(11,667 - h)  (2)

On a 2 équations à 2 inconnues : on sait résoudre ce système...
    en écrivant (1) = (2), on obtient :   h = 9,79 h = 9h48
    et en reportant dans (1) ou (2)   :   d = 243,75 km    

Ce n'est pas forcément la solution la plus rapide...  Si cela vous convient ?    J-L

bonjour Mathys et à votre fille
pour la partie arithmétique, avez vous raisonné comme suit ?
les temps sont inversément proportionnels aux vitesses
le temps à 90 km/h est 13/9 du temps à 130 km/h
la différence, 50 minutes, est 4/8 du temps à 130 km/h
le temps à 130 km/h est (50/4)*9 = 112,5 minutes
départ : 11h40 - 112,5min = 11h40 -2h + 7,5min = 9h 47m 30s
temps à 90 km/h : 112,5+50 = 162,5
distance : 162,590/60 = 243,75

Bonjour à chacun et merci pour votre temps consacré à notre petit problème d'hier soir et de ce matin. Pour répondre à Plumemeteore, oui, j'ai expliqué avec la proportionnalité (sous forme de tableau de proportionnalité) puis avec ta même démarche.Parfait!!
Et pour jacqlouis, je vous remercie d'avoir bien éclairé ma lanterne nocturne! L'algébre est donc la mise en équation du prob.en 1 ou pls inconnues. Je reprendrai l'exercice avec ma fille sous cet angle. "La Lorraine" n'est plus désormais triste, à très bientôt car l'année scolaire est loin d'être terminée!! bonne route:

Bonjour, Plumemeteore, je m'appelle Marine. Je viens de reprendre le raisonnement aritmétique mais je ne comprends pas comment tu trouves le 4/8 du temps à 130km/h. Est-ce la différence de 50 min convertie en décimal? Merci de ton aide.

bonsoir Mathys et à votre fille
'4/8' est une faute d'inattention; j'aurais dû écrire 4/9

Bonsoir, je suis nouvelle sur le site et le petit probléme que notre chère maman a posé m'intéresse énormément.Je voudrais comprendre ce qu'est un raisonnement arithmétique et ce qu'est un raisonnement algébrique.
Je vous remercie à tous pour votre aide et à très bientot j'espère

re bonsoir!
je me suis rendue compte que mon titre n'était pas adéquate ci dessus;
je vous prie de m'excuser et espère avoir de vos nouvelles très bientot
bye

    Bonsoir Esmeralda. Si tu veux poser des questions, ou apporter un éclairage particulier à ce sujet, tu dois conserver le titre de départ, pour que tes questions s'ajoutent sans heurts aux précédentes... (ton titre n'était donc pas tout-à-fait adéquat)
    Personnellement, je voulais te demander qui est donc la "chère maman" dont tu parles (?) , et surtout ce que tu voulais faire préciser dans ces deux types de corrigés...
    Car inscrite au niveau licence, tu dois connaître un peu ces raisonnements ? non ?    A plus tard.    J-L

Bonjour tout le monde!JL, merci de m'avoir répondu aussi rapidement;c'est vrai que j'ai une licence en poche mais je suis de formation littéraire et les enseignements scientifiques et moi sommes fachés.
Je voudrais d'ailleurs enterrer cette hache de guerre.Pour cela,j'ai voulu me remettre dans le bain avec des exercices de niveau 6e.
C'est pourquoi le probléme de Mathys a beaucoup attiré mon attention car je pensais que je pouvais aisément résoudre un probléme de 6e, que neni.
Je voudrais donc svp qu'on m'explique quelle est la différence entre un raisonnement algébrique et arithmétique.
Je remercie d'avance tous les gens qui vont me répondre
A bientot

    Bonjour, Esméralda. Facile, je me suis dit, je vais consulter Wikipédia, et je trouverai tout de suite la bonne réponse ! Las !
    Pour faire court, j'ai obtenu cette réponse : l'arithmétique est la science qui étudie les nombres, et l'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures ... algébriques!...
    C'est clair ...

Quand tu étudie un problème de bassins qui se vident, de trains qui se croisent, d'intérêts ou de remises commerciales, tu raisonnes avec des données pratiques, des fractions ou des proportions, des " rêgles de trois"... Tu évoques et tu décortiques les temps, les distances, les rapports, (voir la réponse de P.M. au sujet des voitures A et B), et tu trouves la solution ... que tu n'as pas besoin de vérifier, parce qu'un bon raisonnement conduit à une solution exacte.
     L'algébre se sert des mêmes rêgles, finalement, mais sous leur forme abstraite, et parvient à la solution en résolvant des équations. On obtient des résultats sous forme de nombres, bien sûr, mais on ne sait pas toujours  quelles en sont la grandeur ...et l'unité, que l'on a perdues de vue au cours de la résolution.
     Une résolution algébrique nous paraît souvent plus simple que par l'arithmétique ... Comment faisaient-ils  au temps du certificat d'études ?
    J-L

Coucou!
merci énormément JL;très efficace comme d'habitude; moi aussi, j'ai fait quelques petites recherches de mon coté et voilà ce que j'ai compris
L'arithmétique, on part de la solution , de quelque chose de concret et là on va utiliser la proportionnalité et les unités pour résoudre le probléme
L'algébre,c'est beaucoup plus abstrait, et on va se servir au départ des inconnues pour enfin résoudre le probléme
Je pense que j'ai répété ce que tu as dit mais c'est mafaçon de dire que j'ai compris
En tous cas , merci infiniment et à bientot pour de nouvelles aventures

bonsoir!
je viens encore vous embéter mais je viens de refaire l'exercice version raisonnement arithmétique et je ne vois pas à quoi correspond le 4/9 et aussi quand on dit (50/4)*9 à quoi correspond tous ces nombres?
Je me suis souvenue d'une formule que j'avais apprise distance= temps *vitesse mais je ne pense pas l'utiliser dans cet exercice-ci
J'espère que vous tous serez nombreux à me répondre
Je pense que je vais lorgner mon ordi jusqu'à ce que j'ai une réponse alors svp soyez sympas aidez moi à retrouver le sommeil pour ce soir
gros bisous à tous
à très vite j'espère

Bonjour, (ici, c'est le début de l'après midi ...)
Distance = temps * vitesse, exactement, et on peut l'utiliser ici :
la distance est la même, et on connait les vitesses
distance = temps long * 90 = temps court * 130.
Les heures d'arrivée nous renseignent sur les temps :
temps court + 50 minutes = temps long
On convertit les minutes en heures : 1 heure = 60 minutes, donc 10 minutes = 1 sixième d'heure et 50 = 5*10 minutes = 5 sixièmes d'heure
On remplace (je fais apparaître la différence entre les vitesses pour retrouver les 4/9 dont il est question plus haut, il y a moyen d'aller plus vite ...):
(temps court + 5/6)*90 = temps court * (90 + 40).
On a des deux côtés (temps court)*(90). Si on veut l'égalité, il faudra que ce qu'on y ajoute soit pareil aussi : 5/6 * 90 = temps court * 40.
Il ne reste qu'à diviser par 40 pour trouver temps court (en heures) = (5/6)*(90/40) = (5/6)*(9/4) (= 50 * (9/4) en minutes)Voilà pour les 9/4 ou leur inverse !

    Bonjour Esmé... Je suis surpris par ta remarque " une formule que j'avais apprise ..." . Quand tu es dans ta voiture, et qu'il te reste 50 km à rouler à 100 à l'heure, tu ne te poses pas la question : qu'est-ce que j'ai appris comme formule ... tu sais que tu vas rouler encore 1/2 heure !
    Tu raisonnes encore algébriquement, alors que , avec l'arithmétique , on dira plutôt que la vitesse est le rapport entre la distance et le temps. C'est la même chose , bien sûr (on n'est pas dans un  monde avec d'autres dimensions!), mais on n'idéalise pas les "Formules" comme on le fait maintenant.  
    [autrefois, on disait kilomètres par heure, ou à l'heure ,... c'était clair. Maintenant , c'est km -1  !... C'est pour cela que certains élèves ne savent plus comment on se sert de l'égalité : le v ou le t, en haut ou en bas ?...]

    En ce qui concerne les " 4/9 ", il faut comprendre que les vitesses étant dans le rapport 90/130 ou 9/13 , le temps gagné est de (1 - 9/13) ou 4/13 , donc dans un rapport de 4 treizièmes sur 9 treizièmes, soit 4/9. Mais PM t'expliquera sûrement cela ...
    J-L

Bonsoir!(ici il fait déjà nuit, il est 20h et il commence à faire moins chaud)
Merci infiniment chef caporal J-L, ne t'inquiéte pas mais je sais que je suis nulle en maths!!!!!
je sais que on parle de rapport et non de formule mais bon que veux tu les littéraires aiment toujours faire qu'à leur tête!
En tous cas, je vous remercie infiniment à J-L et lafol de m'avoir apporté ces éclaircissements
je vous envoie une poignée de rayons de soleil de mon île chérie
bisous à tous

    Pourquoi " chef caporal " ?... J'ai relu mon texte, mais je n'ai pas compris ?...
    Pour le soleil et ses rayons, c'est le soleil ... de minuit ?
    J-L

Hello!
c'était juste pour te taquiner un peu!olala!on ne peut pas plaisanter un peu, c'est morbide je trouve!
merci encore pour tes précisions!
le soleil du coeur très cher ami que les littéraires ont
ciao ciao

Bonsoir excusez moi mais..


"On a 2 équations à 2 inconnues : on sait résoudre ce système...
    en écrivant (1) = (2), on obtient :   h = 9,79 h = 9h48
    et en reportant dans (1) ou (2)   :   d = 243,75 km    
"
Non là je vous avoue etre perdu sur le comment poser cela en equations a deux inconnues! Est-ce vous pourriez le devellopper s'il vous plait?

Merci

J'ai ressacer ça tout ce matin et je n'ai toujours pas trouvé.. comment est-ce que vous avez bien ou develloper cela en equation a deux inconnues??

Merci