logo

Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » autre » arithmétiquetopics traitant de arithmétique » [tout]lister tous les topics de mathématiques

autreArithmétique ..... Introuvable pour ma part !

#msg29743 Posté le 20-04-04 à 17:29
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Bonjour tout le monde .
Voila , le but de cet exercice est de démontrer que ,
(a ; c) - {0}

a²+(a+1)² c^3 . C'est a dire , prouver que la somme
des carrés de 2 entiers consecutifs ne peut pas etre un cube parfait
.

Voila , g tout essayer pour trouV la solution mais rien n'a donné
. Je compte sur votre aide pr le démontrer .
Merci a tous
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg29988 Posté le 21-04-04 à 18:30
Posté par ProfilJ-P J-P Correcteur

C'est loin d'être évident.
On peut montrer facilement que si c'était possible, on aurait nécessairement
le nombre c impair.

Mais ensuite, cela se corse.
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg29989 Posté le 21-04-04 à 18:34
Posté par jaune (invité)

il faut travailler dans l'anneau z/nz et  ca vient tout seul
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg30002 Posté le 21-04-04 à 19:06
Posté par polovitch (invité)

oué c vrai ke en travaillant sur l'anneau Z/nZ ca marche ensuite
tu e sert du fait que tou sous groupe de Z  est de la forme nZ et
tu aboutit a une contradictiion............voili voilou......mintenant
jesper ke tu as entendu parlé des anneaux sionon ca se corse.........................
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1322192 Posté le 05-10-07 à 20:31
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Je remonte ce topic, car il est vachement intéressant.

re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1322231 Posté le 05-10-07 à 20:43
Posté par Profiljeanseb jeanseb

Citation :
Je remonte ce topic, car il est vachement intéressant.


Ouais, Nightmare, il devait être au CM2 ou quelquechose comme ça, à l'époque,mais il envoyait des topics bien serrés...
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1322349 Posté le 05-10-07 à 21:34
Posté par Profilromu romu

re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1322361 Posté le 05-10-07 à 21:39
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Je ne me rappelais même plus d'avoir posté ça
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1322472 Posté le 05-10-07 à 22:17
Posté par ProfilKsilver Ksilver

peut-etre qu'on peut chercher tous les point rationelle de la cubique x^2+(x+1)^2-y^3.

bon c'est une courbe de genre 1, je coirs qu'il y a une methode pour les trouver (il y a un th qui dit que c'est un groupe génerer par une parti finie pour la loi de la cubique je crois non ? et aussi qu'on peut calculer le nombre de ces génerateur ...) enfin, j'ai encore jammais trop étudié cela... mais si qqn sait le faire, ca m'interesse ^^
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1387238 Posté le 30-10-07 à 12:09
Posté par ProfilPece Pece

Bonjour,

Je crois avoir une preuve de ceci sur \mathbb{N}, et donc sur \mathbb{Z} par symétrie (la preuve se fait aussi directement sur \mathbb{Z} mais implique plusieurs cas qui n'ont que très peu d'intérêt)

Soient n \in \mathbb{N} et a un entier naturel fixé.
On étudie les racines du trinôme : 2n^2+2n+1-a^3 dont le discriminant est \delta =8a^3-4=4(2a^3-1)
1° cas : a=0, alors les racines du trinôme sont complexes non réelles et donc ce ne sont pas des entiers naturels.
2° cas : a>0, alors les racines du trinômes sont réelles et s'expriment :
n=\frac{-1 \pm \sqrt{2a^3-1}}{2}=\frac{-1 \pm a \sqrt{2a-\frac{1}{a^2}}}{2}
Si a \neq 1 (sinon on remarque aisément que n=0 convient), 2a-\frac{1}{a^2} n'est pas entier et donc sa racine carré non plus. Ainsi, -1 \pm a \sqrt{2a-\frac{1}{a^2}} ne peut être un entier pair et par conséquent les racines du trinômes ne sont pas entières.

Donc, pour tout entier naturel a \neq 1, il n'existe aucun entier naturel tel que la somme de son carré et de celui de son consécutif soit égal au cube de a.

Bon il se peut que des erreurs se soient glissées dans la preuve, j'ai fait ça de tête dans le train (bah oui il faut bien s'occuper) et je n'ai pas pris le temps de vérifier sur papier. N'hésiter donc pas à faire vos remarques.
Quant à la généralisation aux relatifs, cela me semble possible masi quelque chose m'échappe peut-être ^^ .
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1387279 Posté le 30-10-07 à 12:23
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour,

Je comptais me pencher sur le problème une fois mes DM terminés, je suis parti pour ma part avec les entiers de Gauss, et après m'être renseigné sur ces entiers j'ai réussi à montrer plusieurs choses qui peuvent peut-être faire avancer le schmilblik

Je posterai plus tard après avoir fini de bosser !
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903305 Posté le 04-06-08 à 18:36
Posté par Profilinfophile infophile

Bonsoir

J'ai enfin trouvé le temps de rédiger tout ça, en espérant qu'il n'y ait pas trop de boulettes, vous vérifierez



Merci à Jord pour cet exercice intéressant qui m'a fait découvrir ce drôle d'anneau des entiers de Gauss
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903432 Posté le 04-06-08 à 19:24
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut à tous !

J'ai vu une réponse géométrique (sphère, droite etc) dans un recueil d'oraux d'X-ENS, à la BU.
Si ça intéresse quelqu'un, je le loue ^^

Kévin, kro fort!
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903501 Posté le 04-06-08 à 19:59
Posté par Profilinfophile infophile

Et comment que ça m'intéresse guitou !

Tu feras tourner quand tu viens en T21
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903516 Posté le 04-06-08 à 20:04
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Arf je peux pas l'emprunter en fait, mais je peux toujours le recopier ^^
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903526 Posté le 04-06-08 à 20:07
Posté par Profilinfophile infophile

Au pire tu prends en photo (rolala les copyright ), j'vais bientôt ramener mon appareil photo en cours donc si tu fais un saut à la BU en même temps j'pourrai te le lâcher !

PS : Du coup à part faire joujou avec le \LaTeX j'ai rien fait cet aprem
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903807 Posté le 04-06-08 à 23:51
Posté par ProfilFractal Fractal

Kévin ->
Ya un passage que je comprends pas dans ta démo, à la fin de la page 1.
Tu dis que q divise n - i et n + i, et donc qu'il existe alpha tel que q = alpha(n - i)(n + i)   (si j'ai bien compris).
Mais d'où ça sort ce truc, c'est un peu étrange quand même non? (d'ailleurs t'as supposé q irréductible)

Fractal
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903873 Posté le 05-06-08 à 06:42
Posté par Profilinfophile infophile

Salut Guillaume

Ah oui j'ai écrit le truc dans le mauvais sens, merci, j'ai une autre démo pour le lemme je la remplaçerai.
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903874 Posté le 05-06-08 à 06:55
Posté par Profilinfophile infophile

Je suis pas encore bien réveillé mais on peut peut-être simplement dire que si q divise n+i (resp. n-i) alors il divise n et 1 car dans Z.

Non ?
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903965 Posté le 05-06-08 à 12:31
Posté par Profilinfophile infophile

Bon vu la tonne de boulot qui viens de nous tomber dessus je suis pas prêt de me repencher sur la démo du lemme, cela dit je pense qu'il est juste et que ça n'influe pas sur la suite.

A voir
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1903989 Posté le 05-06-08 à 13:17
Posté par Profilsimon92 simon92

étonnant qu'il y ait pas une preuve vraiment arithémtique
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904152 Posté le 05-06-08 à 16:24
Posté par Profilinfophile infophile

Personne n'a dit qu'il n'y en avait pas simon, mais pour ma part je n'ai pas trouvé
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904181 Posté le 05-06-08 à 16:50
Posté par Profilborneo borneo

Hello,

ça date de quand nos petits génies étaient en maternelle...  
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904188 Posté le 05-06-08 à 17:00
Posté par ProfilKsilver Ksilver

"étonnant qu'il y ait pas une preuve vraiment arithémtique" >>> je trouve qu'on fait difficilement plus arithmétique que les entier de gauss quand meme ^^,

enfin les problème "d'arithmétiques" de ce type (recherche de solution entiere/rationele à des equations algébriques) sont typiquement des problème parmis les plus complexe et les plus profond des mathématiques avec de nombreux théorème difficile et récent sur la question, et encore plus de question ouverte. il ne font donc pas trop s'étonner de pas trouver de solution qui n'utilise que de l'arithmétique de Z.
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904229 Posté le 05-06-08 à 17:49
Posté par Profilsimon92 simon92

Ksilver, on passe par des anneaux des machins comme ca et tout, moi j'imagine qu'on aurait pu prouver cela comme avec une equation diophantienne normale qui n'a pas de solution triviale.
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904239 Posté le 05-06-08 à 17:54
Posté par Profilinfophile infophile

Oui mais ça reste de l'arithmétique dans un autre anneau que celui qu'on utilise en temps normal.

Citation :
j'imagine qu'on aurait pu prouver cela comme avec une equation diophantienne normale qui n'a pas de solution triviale.


Possible, essaye on sait jamais, peut-être qu'il y a une solution élémentaire.

Bonjour borneo et Ksilver
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904295 Posté le 05-06-08 à 18:20
Posté par ProfilKsilver Ksilver

"comme avec une equation diophantienne normale qui n'a pas de solution triviale." >>> comme x^n+y^n=z^n par exemple :p


comme je l'ai dit un peu plus haut, les equation diophantienne ca cache des problèmes très compliqué et très profond.
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904301 Posté le 05-06-08 à 18:24
Posté par Profilsimon92 simon92

Ksilver>> on sait jamais, fermat en aurait surement trouvé une très simple de solution
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1904328 Posté le 05-06-08 à 18:36
Posté par Profilinfophile infophile

Du pipo ça le coup de la marge
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905065 Posté le 06-06-08 à 14:00
Posté par Profilsimon92 simon92

et si on trouve un contre exemple? On m'en a proposé un (j'imagine le seul) a=-1 et c=1
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905087 Posté le 06-06-08 à 14:13
Posté par ProfilKsilver Ksilver

loL, oui en effet ca marche :p



enfin, Ceci dit on sait (gros th sur les equations diophantienne en deux variables) que dans ce cas il y au plus un nombres finis de solution...
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905231 Posté le 06-06-08 à 16:12
Posté par Profilinfophile infophile

Oui simon, si tu lis mon PDF tu verras à la fin que j'ai cette solution.

re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905245 Posté le 06-06-08 à 16:27
Posté par Profilsimon92 simon92

salut kevin, (je te felicite tout de même pour ta résolution, hein! ne crois pas que je ne l'aime pas, je m'interroge juste )

A vrai dire, j'ai regardé, j'ai un peu lu des trucs sur les anneaux, les groupes and Co, mais je connais très mal, donc j'ai pas vraiment lu ta résolution
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905252 Posté le 06-06-08 à 16:34
Posté par Profilinfophile infophile

Je comprends pas quel contre exemple tu veux trouver ? Le but c'est de déterminer tous les couples qui vérifient la relation.

J'ai hâte de voir la solution géométrique
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905254 Posté le 06-06-08 à 16:35
Posté par Profilsimon92 simon92

je ne veux pas trouver de contre exmple, ce que je voudrais savoir c'est si il n'existe pas une solution plus accessible, sans outils comme les anneaux et tout.

Quel rapport avec la geometrie?
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905261 Posté le 06-06-08 à 16:39
Posté par Profilinfophile infophile

Lis plus haut, guitou a vu une solution géométrique dans un bouquin.

re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905549 Posté le 06-06-08 à 19:44
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour bonjour

Citation :
Lis plus haut, guitou a vu une solution géométrique dans un bouquin.


J'ai dit ça moi ?

Je viens de le recopier, et ce n'est pas exactement la même propriété

Dans la soirée, je compte recopier la démo du lemme de Davenport-Cassels, à savoir

Citation :
Soit 3$n\in{\bb N. On suppose que 3$n est la somme des carrés de trois rationnels. Alors 3$n est la somme des carrés de trois entiers.
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905700 Posté le 06-06-08 à 21:17
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Citation :
Lemme de Davenport-Cassels

Soit 3$n\in\bb N. On suppose que 3$n est la somme des carrés de trois rationnels. Alors 3$n est la somme des carrés de trois entiers.


Démonstration :

La propriété est évidente pour 3$n=0. Nous supposons donc 3$n>0. Nous donnons de ce problème une formulation géométrique : si la sphère 3$S de 3${\bb R}^3 d'équation 3$x^2+y^2+z^2=n passe par un point rationnel, alors elle passe aussi par un point entier.

Nous raisonnerons par l'absurde et supposerons que 3$S contient un point à coordonnées rationnelles mais aucun point à coordonnées entières.

Soit 3$a\in{\bb Q}^3\cap S. Il existe 3$u\in{\bb Z}^3 et 3$d\ge2 tel que 3$a=\fr1du.
Nous supposerons 3$a et 3$u choisis de telle façon que d soit minimal.

Montrons qu'il existe 3$a'\in{\bb Z}^3 tel que 3$||a-a'||<1 (il s'agit là d'une norme euclidienne)

Si 3$a=(x,y,z) on considère les entiers 3$x',\,y' et 3$z' les plus proches de 3$x,\,y,\,z respectivement.
On obtient 3$|x-x'|\le \fr12,   3$|y-y'|\le \fr12,   3$|z-z'|\le \fr12.

On en déduit que 3$||a-a'||\le\sqrt{\fr14+\fr14+\fr14}=\fr{\sqrt3}{2}<1

Puisque 3$a n'appartient pas à 3${\bb Z}^3, 3$a' est distinct de 3$a. La droite quie joint 3$a à 3$a' coupe la sphère 3$S en 3$a. Elle la recoupe en un point 3$a_1 dont nous allons calculer les coordonnées.



Il existe 3$\lambda\in{\bb R tel que 3$a_1=a'+\lambda(a-a'). On écrit que 3$a_1 appartient à S :

3$n=||a_1||^2\,=\,||a'||^2\,+\,2\lambda<a',a-a'>\,+\,\lambda^2||a-a'||^2

Une solution de cette équation du second degré est 1 puisque 3$a\in S.
L'autre est donc 3$\lambda=\fr{||a'||^2-n}{||a-a'||^2.

Examinons 3$||a-a'||^2 ; on obtient 3$||a-a'||^2\,=\,||a'||^2\,+\,||a||^2\,-\,2<a',a>\,=\,||a'||^2\,+\,n\,-\fr2d<a',u>\,=\,\fr{d_1}{d}  

avec 3$d_1\in{\bb N}^* puisque 3$a' et 3$u sont dans 3${\bb Z}^3, et 3$0<d_1<d puisque 3$0<||a-a'||<1.

On obtient alors 3$\lambda=\fr{||a'||^2-n}{||a-a'||^2}=\fr{d(||a'||^2-n)}{d_1}  et  3$a_1=a'+\lambda(a-a')=a'+\fr{d(||a'||^2-n)}{d_1}.\fr1d(u-da')\,=\,a'+\fr{||a'||^2-n}{d_1}(u-da')

Il existe donc 3$v\in{\bb Z}^3 tel que 3$a_1=\fr{1}{d_1}v. Par ailleurs, 3$a_1\in S.

Mais on a 3$0<d_1<d ce qui contredit la minimalité de d.

Nous obtenons la contradiction souhaitée.

Remarque : les mathématiciens sont bien les seuls à aimer les contradictions
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905926 Posté le 07-06-08 à 09:04
Posté par ProfilEpicurien Epicurien

Salut tous le monde!

Joli Guigui !

et Joli PDF Kévin!

En fait je ne comprend pas Simon pourquoi tu critiques le PDF de Kévin alors que tu ne le comprends pas dans sa totalité (tu le dit toi même..)
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905989 Posté le 07-06-08 à 11:14
Posté par Profilinfophile infophile

Joli guitou, je connaissais pas
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905990 Posté le 07-06-08 à 11:15
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Merci Kuid

Simon > L'arithmétique, ce n'est pas que celle de spé maths...
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905991 Posté le 07-06-08 à 11:16
Posté par Profilinfophile infophile

Merci Kuid !

Nan en fait simon cherche une démo plus simple je crois.

re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905992 Posté le 07-06-08 à 11:16
Posté par Profilsimon92 simon92

je comprend pas ce qu'on me reproche, moi? depuis deux jours on me soule alors que relisez bien ce que j'ai écrit:
Citation :
étonnant qu'il y ait pas une preuve vraiment arithémtique


Je me demandais juste si il y avait un preuve qui ne demandait pas de connaissance en algèbre et tout.

Franchement ca devient lourd, on peut plus rien dire a certaine personne de l'ile sinon tout le monde nous tombe dessus
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905993 Posté le 07-06-08 à 11:17
Posté par Profilsimon92 simon92

je m'adressais a Epicurien, j'ai pas lu tout vos post.
Merci gui_tou, je sais bien, mais on peut eviter de passer pars des anneaux peut-être j'en sais rien, je me questionne juste, c'est incroyuable ca
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905998 Posté le 07-06-08 à 11:21
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je voulais dire que l'arithmétique de spé mathx c'est sympa, ça permet de résoudre plein de problèmes, mais au bout d'un moment on est obligé(s ?!)  de passer par de l'algèbre
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1905999 Posté le 07-06-08 à 11:24
Posté par Profilinfophile infophile

Citation :
je comprend pas ce qu'on me reproche, moi? depuis deux jours on me soule alors que relisez bien ce que j'ai écrit:


Qui "on" ? Je ne t'ai rien reproché moi

Enfin bref
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1906000 Posté le 07-06-08 à 11:24
Posté par ProfilEpicurien Epicurien

Ouais bah justement il dit que ta solution n'est pas arithmétique "à 100%" et puis s'il y en a une je ne sais pas si elle est plus simple voilà tout.

Faut pas se sentier persécuté non plus
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1906001 Posté le 07-06-08 à 11:25
Posté par ProfilEpicurien Epicurien

Kévin>  c'est la premiere fois je lui parle depuis le 5 juin donc c'est pas (que?) moi?

re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1906005 Posté le 07-06-08 à 11:30
Posté par Profilinfophile infophile

Et si on faisait des maths ?

Je me demande si on peut dire que si q dans Z divise n+i alors il divise n et 1 ?
re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !#msg1906006 Posté le 07-06-08 à 11:30
Posté par Profilinfophile infophile

Parce que mine de rien j'ai ma démo du lemme 1 à corriger

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

    * arithmétique en post-bac
    1 fiches de mathématiques sur "arithmétique" en post-bac disponibles.
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » autre » arithmétiquetopics traitant de arithmétique » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil.   favoris  imprimer
cours particuliers - cours de maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2008