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Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !

Posté par
Nightmare 20-04-04 à 17:29

Bonjour tout le monde .
Voila , le but de cet exercice est de démontrer que ,
(a ; c) - {0}

a²+(a+1)² c^3 . C'est a dire , prouver que la somme
des carrés de 2 entiers consecutifs ne peut pas etre un cube parfait
.

Voila , g tout essayer pour trouV la solution mais rien n'a donné
. Je compte sur votre aide pr le démontrer .
Merci a tous

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 21-04-04 à 18:30

C'est loin d'être évident.
On peut montrer facilement que si c'était possible, on aurait nécessairement
le nombre c impair.

Mais ensuite, cela se corse.  

Posté par jaune (invité)re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 21-04-04 à 18:34

il faut travailler dans l'anneau z/nz et  ca vient tout seul

Posté par polovitch (invité)re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 21-04-04 à 19:06

oué c vrai ke en travaillant sur l'anneau Z/nZ ca marche ensuite
tu e sert du fait que tou sous groupe de Z  est de la forme nZ et
tu aboutit a une contradictiion............voili voilou......mintenant
jesper ke tu as entendu parlé des anneaux sionon ca se corse.........................

Posté par
1 Schumi 1re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-10-07 à 20:31

Je remonte ce topic, car il est vachement intéressant.

Posté par
jeansebre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-10-07 à 20:43

Citation :
Je remonte ce topic, car il est vachement intéressant.


Ouais, Nightmare, il devait être au CM2 ou quelquechose comme ça, à l'époque,mais il envoyait des topics bien serrés...

Posté par
romure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-10-07 à 21:34

Posté par
Nightmarere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-10-07 à 21:39

Je ne me rappelais même plus d'avoir posté ça

Posté par
Ksilverre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-10-07 à 22:17

peut-etre qu'on peut chercher tous les point rationelle de la cubique x^2+(x+1)^2-y^3.

bon c'est une courbe de genre 1, je coirs qu'il y a une methode pour les trouver (il y a un th qui dit que c'est un groupe génerer par une parti finie pour la loi de la cubique je crois non ? et aussi qu'on peut calculer le nombre de ces génerateur ...) enfin, j'ai encore jammais trop étudié cela... mais si qqn sait le faire, ca m'interesse ^^

Posté par
Pecere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 30-10-07 à 12:09

Bonjour,

Je crois avoir une preuve de ceci sur \mathbb{N}, et donc sur \mathbb{Z} par symétrie (la preuve se fait aussi directement sur \mathbb{Z} mais implique plusieurs cas qui n'ont que très peu d'intérêt)

Soient n \in \mathbb{N} et a un entier naturel fixé.
On étudie les racines du trinôme : 2n^2+2n+1-a^3 dont le discriminant est \delta =8a^3-4=4(2a^3-1)
1° cas : a=0, alors les racines du trinôme sont complexes non réelles et donc ce ne sont pas des entiers naturels.
2° cas : a>0, alors les racines du trinômes sont réelles et s'expriment :
n=\frac{-1 \pm \sqrt{2a^3-1}}{2}=\frac{-1 \pm a \sqrt{2a-\frac{1}{a^2}}}{2}
Si a \neq 1 (sinon on remarque aisément que n=0 convient), 2a-\frac{1}{a^2} n'est pas entier et donc sa racine carré non plus. Ainsi, -1 \pm a \sqrt{2a-\frac{1}{a^2}} ne peut être un entier pair et par conséquent les racines du trinômes ne sont pas entières.

Donc, pour tout entier naturel a \neq 1, il n'existe aucun entier naturel tel que la somme de son carré et de celui de son consécutif soit égal au cube de a.

Bon il se peut que des erreurs se soient glissées dans la preuve, j'ai fait ça de tête dans le train (bah oui il faut bien s'occuper) et je n'ai pas pris le temps de vérifier sur papier. N'hésiter donc pas à faire vos remarques.
Quant à la généralisation aux relatifs, cela me semble possible masi quelque chose m'échappe peut-être ^^ .

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 30-10-07 à 12:23

Bonjour,

Je comptais me pencher sur le problème une fois mes DM terminés, je suis parti pour ma part avec les entiers de Gauss, et après m'être renseigné sur ces entiers j'ai réussi à montrer plusieurs choses qui peuvent peut-être faire avancer le schmilblik

Je posterai plus tard après avoir fini de bosser !

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 04-06-08 à 18:36

Bonsoir

J'ai enfin trouvé le temps de rédiger tout ça, en espérant qu'il n'y ait pas trop de boulettes, vous vérifierez



Merci à Jord pour cet exercice intéressant qui m'a fait découvrir ce drôle d'anneau des entiers de Gauss

Posté par
gui_toure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 04-06-08 à 19:24

Salut à tous !

J'ai vu une réponse géométrique (sphère, droite etc) dans un recueil d'oraux d'X-ENS, à la BU.
Si ça intéresse quelqu'un, je le loue ^^

Kévin, kro fort!

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 04-06-08 à 19:59

Et comment que ça m'intéresse guitou !

Tu feras tourner quand tu viens en T21

Posté par
gui_toure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 04-06-08 à 20:04

Arf je peux pas l'emprunter en fait, mais je peux toujours le recopier ^^

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 04-06-08 à 20:07

Au pire tu prends en photo (rolala les copyright ), j'vais bientôt ramener mon appareil photo en cours donc si tu fais un saut à la BU en même temps j'pourrai te le lâcher !

PS : Du coup à part faire joujou avec le \LaTeX j'ai rien fait cet aprem

Posté par
Fractalre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 04-06-08 à 23:51

Kévin ->
Ya un passage que je comprends pas dans ta démo, à la fin de la page 1.
Tu dis que q divise n - i et n + i, et donc qu'il existe alpha tel que q = alpha(n - i)(n + i)   (si j'ai bien compris).
Mais d'où ça sort ce truc, c'est un peu étrange quand même non? (d'ailleurs t'as supposé q irréductible)

Fractal

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 06:42

Salut Guillaume

Ah oui j'ai écrit le truc dans le mauvais sens, merci, j'ai une autre démo pour le lemme je la remplaçerai.

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 06:55

Je suis pas encore bien réveillé mais on peut peut-être simplement dire que si q divise n+i (resp. n-i) alors il divise n et 1 car dans Z.

Non ?

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 12:31

Bon vu la tonne de boulot qui viens de nous tomber dessus je suis pas prêt de me repencher sur la démo du lemme, cela dit je pense qu'il est juste et que ça n'influe pas sur la suite.

A voir

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 13:17

étonnant qu'il y ait pas une preuve vraiment arithémtique

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 16:24

Personne n'a dit qu'il n'y en avait pas simon, mais pour ma part je n'ai pas trouvé

Posté par
borneore : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 16:50

Hello,

ça date de quand nos petits génies étaient en maternelle...  

Posté par
Ksilverre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 17:00

"étonnant qu'il y ait pas une preuve vraiment arithémtique" >>> je trouve qu'on fait difficilement plus arithmétique que les entier de gauss quand meme ^^,

enfin les problème "d'arithmétiques" de ce type (recherche de solution entiere/rationele à des equations algébriques) sont typiquement des problème parmis les plus complexe et les plus profond des mathématiques avec de nombreux théorème difficile et récent sur la question, et encore plus de question ouverte. il ne font donc pas trop s'étonner de pas trouver de solution qui n'utilise que de l'arithmétique de Z.

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 17:49

Ksilver, on passe par des anneaux des machins comme ca et tout, moi j'imagine qu'on aurait pu prouver cela comme avec une equation diophantienne normale qui n'a pas de solution triviale.

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 17:54

Oui mais ça reste de l'arithmétique dans un autre anneau que celui qu'on utilise en temps normal.

Citation :
j'imagine qu'on aurait pu prouver cela comme avec une equation diophantienne normale qui n'a pas de solution triviale.


Possible, essaye on sait jamais, peut-être qu'il y a une solution élémentaire.

Bonjour borneo et Ksilver

Posté par
Ksilverre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 18:20

"comme avec une equation diophantienne normale qui n'a pas de solution triviale." >>> comme x^n+y^n=z^n par exemple :p


comme je l'ai dit un peu plus haut, les equation diophantienne ca cache des problèmes très compliqué et très profond.

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 18:24

Ksilver>> on sait jamais, fermat en aurait surement trouvé une très simple de solution

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 05-06-08 à 18:36

Du pipo ça le coup de la marge

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 14:00

et si on trouve un contre exemple? On m'en a proposé un (j'imagine le seul) a=-1 et c=1

Posté par
Ksilverre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 14:13

loL, oui en effet ca marche :p



enfin, Ceci dit on sait (gros th sur les equations diophantienne en deux variables) que dans ce cas il y au plus un nombres finis de solution...

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 16:12

Oui simon, si tu lis mon PDF tu verras à la fin que j'ai cette solution.

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 16:27

salut kevin, (je te felicite tout de même pour ta résolution, hein! ne crois pas que je ne l'aime pas, je m'interroge juste )

A vrai dire, j'ai regardé, j'ai un peu lu des trucs sur les anneaux, les groupes and Co, mais je connais très mal, donc j'ai pas vraiment lu ta résolution

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 16:34

Je comprends pas quel contre exemple tu veux trouver ? Le but c'est de déterminer tous les couples qui vérifient la relation.

J'ai hâte de voir la solution géométrique

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 16:35

je ne veux pas trouver de contre exmple, ce que je voudrais savoir c'est si il n'existe pas une solution plus accessible, sans outils comme les anneaux et tout.

Quel rapport avec la geometrie?

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 16:39

Lis plus haut, guitou a vu une solution géométrique dans un bouquin.

Posté par
gui_toure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 19:44

Bonjour bonjour

Citation :
Lis plus haut, guitou a vu une solution géométrique dans un bouquin.


J'ai dit ça moi ?

Je viens de le recopier, et ce n'est pas exactement la même propriété

Dans la soirée, je compte recopier la démo du lemme de Davenport-Cassels, à savoir

Citation :
Soit 3$n\in{\bb N. On suppose que 3$n est la somme des carrés de trois rationnels. Alors 3$n est la somme des carrés de trois entiers.

Posté par
gui_toure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 06-06-08 à 21:17

Citation :
Lemme de Davenport-Cassels

Soit 3$n\in\bb N. On suppose que 3$n est la somme des carrés de trois rationnels. Alors 3$n est la somme des carrés de trois entiers.


Démonstration :

La propriété est évidente pour 3$n=0. Nous supposons donc 3$n>0. Nous donnons de ce problème une formulation géométrique : si la sphère 3$S de 3${\bb R}^3 d'équation 3$x^2+y^2+z^2=n passe par un point rationnel, alors elle passe aussi par un point entier.

Nous raisonnerons par l'absurde et supposerons que 3$S contient un point à coordonnées rationnelles mais aucun point à coordonnées entières.

Soit 3$a\in{\bb Q}^3\cap S. Il existe 3$u\in{\bb Z}^3 et 3$d\ge2 tel que 3$a=\fr1du.
Nous supposerons 3$a et 3$u choisis de telle façon que d soit minimal.

Montrons qu'il existe 3$a'\in{\bb Z}^3 tel que 3$||a-a'||<1 (il s'agit là d'une norme euclidienne)

Si 3$a=(x,y,z) on considère les entiers 3$x',\,y' et 3$z' les plus proches de 3$x,\,y,\,z respectivement.
On obtient 3$|x-x'|\le \fr12,   3$|y-y'|\le \fr12,   3$|z-z'|\le \fr12.

On en déduit que 3$||a-a'||\le\sqrt{\fr14+\fr14+\fr14}=\fr{\sqrt3}{2}<1

Puisque 3$a n'appartient pas à 3${\bb Z}^3, 3$a' est distinct de 3$a. La droite quie joint 3$a à 3$a' coupe la sphère 3$S en 3$a. Elle la recoupe en un point 3$a_1 dont nous allons calculer les coordonnées.

Arithmétique ..... Introuvable pour ma part !

Il existe 3$\lambda\in{\bb R tel que 3$a_1=a'+\lambda(a-a'). On écrit que 3$a_1 appartient à S :

3$n=||a_1||^2\,=\,||a'||^2\,+\,2\lambda<a',a-a'>\,+\,\lambda^2||a-a'||^2

Une solution de cette équation du second degré est 1 puisque 3$a\in S.
L'autre est donc 3$\lambda=\fr{||a'||^2-n}{||a-a'||^2.

Examinons 3$||a-a'||^2 ; on obtient 3$||a-a'||^2\,=\,||a'||^2\,+\,||a||^2\,-\,2<a',a>\,=\,||a'||^2\,+\,n\,-\fr2d<a',u>\,=\,\fr{d_1}{d}  

avec 3$d_1\in{\bb N}^* puisque 3$a' et 3$u sont dans 3${\bb Z}^3, et 3$0<d_1<d puisque 3$0<||a-a'||<1.

On obtient alors 3$\lambda=\fr{||a'||^2-n}{||a-a'||^2}=\fr{d(||a'||^2-n)}{d_1}  et  3$a_1=a'+\lambda(a-a')=a'+\fr{d(||a'||^2-n)}{d_1}.\fr1d(u-da')\,=\,a'+\fr{||a'||^2-n}{d_1}(u-da')

Il existe donc 3$v\in{\bb Z}^3 tel que 3$a_1=\fr{1}{d_1}v. Par ailleurs, 3$a_1\in S.

Mais on a 3$0<d_1<d ce qui contredit la minimalité de d.

Nous obtenons la contradiction souhaitée.

Remarque : les mathématiciens sont bien les seuls à aimer les contradictions

Posté par
Epicurienre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 09:04

Salut tous le monde!

Joli LaTeX Guigui !

et Joli PDF Kévin!

En fait je ne comprend pas Simon pourquoi tu critiques le PDF de Kévin alors que tu ne le comprends pas dans sa totalité (tu le dit toi même..)

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:14

Joli guitou, je connaissais pas

Posté par
gui_toure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:15

Merci Kuid

Simon > L'arithmétique, ce n'est pas que celle de spé maths...

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:16

Merci Kuid !

Nan en fait simon cherche une démo plus simple je crois.

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:16

je comprend pas ce qu'on me reproche, moi? depuis deux jours on me soule alors que relisez bien ce que j'ai écrit:

Citation :
étonnant qu'il y ait pas une preuve vraiment arithémtique


Je me demandais juste si il y avait un preuve qui ne demandait pas de connaissance en algèbre et tout.

Franchement ca devient lourd, on peut plus rien dire a certaine personne de l'ile sinon tout le monde nous tombe dessus

Posté par
simon92re : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:17

je m'adressais a Epicurien, j'ai pas lu tout vos post.
Merci gui_tou, je sais bien, mais on peut eviter de passer pars des anneaux peut-être j'en sais rien, je me questionne juste, c'est incroyuable ca

Posté par
gui_toure : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:21

Je voulais dire que l'arithmétique de spé mathx c'est sympa, ça permet de résoudre plein de problèmes, mais au bout d'un moment on est obligé(s ?!)  de passer par de l'algèbre

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:24

Citation :
je comprend pas ce qu'on me reproche, moi? depuis deux jours on me soule alors que relisez bien ce que j'ai écrit:


Qui "on" ? Je ne t'ai rien reproché moi

Enfin bref

Posté par
Epicurienre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:24

Ouais bah justement il dit que ta solution n'est pas arithmétique "à 100%" et puis s'il y en a une je ne sais pas si elle est plus simple voilà tout.

Faut pas se sentier persécuté non plus

Posté par
Epicurienre : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:25

Kévin>  c'est la premiere fois je lui parle depuis le 5 juin donc c'est pas (que?) moi?

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:30

Et si on faisait des maths ?

Je me demande si on peut dire que si q dans Z divise n+i alors il divise n et 1 ?

Posté par
infophilere : Arithmétique ..... Introuvable pour ma part ! 07-06-08 à 11:30

Parce que mine de rien j'ai ma démo du lemme 1 à corriger


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