DEFI 106 : Le triangle de Pascal.

Posté par minkus minkus

Bonjour à tous,

Pour ceux qui ne connaissent pas encore, voici les premières lignes du fameux triangle de Pascal.



Comme on peut le voir, la ligne 7 du triangle contient 3 nombres consécutifs en progression arithmétique : 7  21  35.

Sauriez-vous de même trouver 4 nombres consécutifs appartenant à la même ligne et en progression arithmétique ?

Indiquez ces 4 nombres et la ligne sur laquelle ils se trouvent.

Bonne réflexion.

minkus

Posté par lafol lafol

Bonjour,
Tu es sûr de ta question ?
Je cherche les 4 nombres consécutifs sous la forme , , et , où n supérieur ou égal à 3 dans un premier temps, car il faut au moins 4 nombres sur la ligne(n entier bien entendu), et k entre 1 et n-2 tous deux compris.

Dans un deuxième temps, une suite arithmétique étant monotone et par symétrie du tableau, je me limite à k+2 inférieur ou égal à n/2 autrement dit, pour avoir au moins 4 termes avant le milieu de la ligne, k étant choisi supérieur ou égal à 1, n doit être supérieur ou égal à 2k+4. J'ai décidé de poser p = n - 2k - 4 (p = entier naturel).
Je calcule la "raison" potentielle après simplifications, mais aussi . On identifie les deux : après simplification, il reste . Ceci fournit déjà autant de suites de trois termes consécutifs qu'on souhaite : si p=0, k=5, n=14 : , , , si p=1, k=9 et n= 23 (raison 326 876), si p=2, k= 14 et n = 34, etc.
Maintenant, on s'attaque au 4° terme : . On veut qu'elle soit égale aux deux autres, en particulier à , d'où après simplification , donc en développant :
On simplifie et on injecte : ce qui est impossible avec p entier positif !
Ma réponse est donc :aucune ligne de ce tableau ne contient 4 nombres consécutifs en progression arithmétique !

Posté par Fractal Fractal

Bonjour,
Il est impossible de trouver quatre nombres consécutifs appartenant à la même ligne en progression arithmétique.

Démonstration :

Soit et deux entiers strictement positifs avec .
Les trois nombres du triangle de Pascal de coordonnées respectives , et sont en progression arithmétique si et seulement si :


Soit, en multipliant tout par    :  

Ce qui nous donne, après avoir réduit et ordonné selon les puissances décroissantes de ,


Afin de trouver quatre nombres consécutifs appartenant à la même ligne et en progression arithmétique, il faut et il suffit de trouver tel que et vérifient simultanément l'équation (E) (4 nombres en progression arithmétique correspondent à deux triplets de trois nombres en progression arithmétique dont seul j diffère de 1).
L'équation (E) est vérifiée pour le couple quand


Il nous reste donc à résoudre un système de deux équations à deux inconnues et du second degré :

Par soustraction, on trouve que soit .
On finit en substituant i dans la première équation par ce que l'on vient de trouver, ce qui nous permet d'arriver à
i et j devant être deux entiers positifs, on en déduit que l'équation n'a pas de solution, et donc qu'il est impossible de trouver quatre nombres consécutifs appartenant à la même ligne en progression arithmétique.

CQFD

Fractal

Posté par Nofutur2 Nofutur2

En détaillant le calcul pour C(n,p), C(n,p+1), C(n,p+2) et C(n,p+3), on arrive à deux équations du second degré en n et p.
On trouve que s'il y a une solution pour le couple (n,p), elle répond a n=2p+3.

Or si on remplace cette solution dans les deux équations trouvées initialement, on n'obtient pas de solution acceptable en p et n (p=-2 et n=-1).
Donc, selon moi, on ne peut pas trouver 4 nombres consécutifs du triangle de Pascal appartenant à la même ligne et en progression arithmétique

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

Bah non!
Sauf erreur, la condition est : -=-=-,
^{(les indices sont mal choisis mais tant pis... trop tard!)}
ce qui s'écrit
puis encore sous la double condition:
(p+2)(n-2p-1)=(n-2p-3)(n-p)    _{(par simplification de la première égalité)}
et
(p+3)(n-2p-3)=(n-p-1)(n-2p-5) _{(par simplification de la seconde égalité)}

soit encore
n²-4np-5n+4p²+8p+2=0
et
n²-4np-9n+4p²+16p+14=0

cette double condition entraîne enfin, par différence, la condition nécessaire suivant -4n+8p+12=0 d'où l'on tire n=2p+3

Finalement en réinjectant n=2p+3 dans les deux dernières conditions on obtient (indifféremment) la condition nécessaire -2p-4=0,
ce qui imposerait p=-2 ! !

Merci pour l'énigme.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Problème impossible.

Il n'y a que des triplets de nombre en progression arithmétique:
7, 21, 35.
1001, 2002, 3003.
490314, 817190, 1144066.
927983760, 1391975640, 1855967520.
...

A+,
gloubi

Posté par nobody (invité)

Je pense qu'il n'y a aucun quadruplet solution.
Merci pour cette énigme qui m'a fait réfléchir un bon bout de temps.

Posté par cissou3 cissou3

moi je trouve
11  55  165  330
sur la ligne 11 (sachant que tu n'as pas compté la ligne avec juste le 1 sesans)

Posté par kyubi (invité)

c'est juste pour dire que il y a 8 ligne o  triangle et que a la7eme il n'y a pas ces nombres
kyubi

Posté par phacog (invité)

Bonjour,

On ne peut pas trouver 4 nombres consécutifs appartenant à la même ligne et en progression arithmétique dans le triangle de Pascal. (Par contre il ya une infinité de solution si on cherche 3 nombres consécutifs appartenant à la même ligne et en progression arithmétique).

Posté par carflex (invité)

malheureusement je crois qu'il n'existe pas de suites de 4nombres décrivant une suite arithmétique:
j'ai réalisé un petit programme en c sur les 1000 premières lignes du triangle(j'avais pas envie de traumatisé mon ordi quand même) aucune solution n'est sorti.
Malheureusement, pour la demonstration de ce résultat par la théorie....

Posté par Eric1 Eric1

Je me lance en répondant à mon premier 4 étoiles.
Cependant, je suis assez sceptique.
Reponse: non.


On appelle n le nombre de lignes et p la p-ieme colonne de cette ligne.

Pour que 4 nombres consécutifs d'une ligne soient en progression arithmetique, il faut que:

(n,p)=(n,p+1)-a
(n,p+1)=(n,p+2)-a
(n,p+2)=(n,p+3)-a

avec a la raison de la suite arithmetique.

On rappele que (n,p)=(n!)/(p!(n-p)!)

D'où
-a=n! (p+1-n+p)/(p+1)!(n-p)! (1)
-a=n! (p+2-n+p+1)/(p+2)!(n-p-1)! (2)
-a=n! (p+3-n+p+2)/(p+3)!(n-p-2)! (3)

En réduisant au meme dénominateur deux à deux, on a:
(1)=(2) <=> (2p-n+1)(p+2)=(2p-n+3)(n-p) (12)
(2)=(3) <=> (2p-n+3)(p+3)=(2p-n+5)(n-p-1) (23)

(12)=> (2p-n)^2 -5n+8p-2=0
(23)=> (2p-n)^2 +16p-9n+14=0

D'où: -5n+8p-2=16p-9n+14
<=> n=2p+4

En remplacant dans (12):
(-4)^2-5(2p+4)+8p-2=0

<=> p=-3 et n=-2

On a donc une incohérence.

Donc il n'existe pas de ligne dans laquelle 4 nombres consecutifs sont en progression arithmetique.

Je suis conforté dans cette idée par mon programme qui ne trouve pas de solutions jusqu'à n=100000.


Cependant, il se peut que mon raisonnement soit erroné...

Vu comment est posé la question, ca sent le piege, car on attendrait une réponse positive. mais le piège(****) est peut-être de faire croire qu'il y a une solution. Ce qui explique que les réponses sont rares...

De toutes manières, le poisson est bon pour la santé, mais frais.

Merci pour cette enigme qui a remplit un bon nombre de papiers, avec en plus des erreurs de calcul.
Par exemple, j'ai cru trouver (n=34 p=12, a cause d'une erreur de signe +1 au lieu de -1). Mais,en fait, ce n'était qu'une suite arithmetique de 3 nombres.

Je me répete, il n'y a pas de solutions.


Les solutions pour 3 nombres en progression arithmetique (raison positives) se ramene au couple de solution suivant: (il y en a une infinité)

U(0)=7
U(n)=U(n-1)+2n+5

et
V(0)=1
V(n)=V(n-1)+n+2

avec U le numero de la ligne et V le numero de la colonne du premier nombre.
Ces equations ont été determinées experimentalement.
par exemple:
(n,p)=(7,1);(14,4); (23,8); (34,13);(47,19);(62,26);...

A chaque fois, le nombre prochain est soit le meme (si U est pair), soit legerement supérieur (si U est impair).
Exemple:
(n=7)7,21,35,35
(n=14)1001,2002,3003,3432
(n=23) 490314, 817190, 1144066, 1352078
(n=34) 927983760,1391975640,1855967520,2203961430
Or 4 nombres consécutifs en progression arithmetique reviendrait à avoir 2 fois 3 nombres en progression arithmetiques sur la meme ligne. Ce qui est impossible.

Il ne peut donc pas y avoir 4 nomnbres consécutifs en progression arithmetique.

Si je me suis planté, j'aimerais comprendre pourquoi.

Posté par Eric1 Eric1

Alea jacta est.

Posté par geo3 geo3

Bonsoir

Au risque de voir je me jette à l'eau : Ca n'existe pas
Il n'existe pas 4 nombres consécutifs appartenant à la même ligne du triangle  de Pascal  et en progression arithmétique
Explications
a, b, c, d sont en P.A. ssi  2b =a+c et 2c=b+d
soient comb(y,x) le nombre de combinaisons de x objets choisis parmi y =>  =  y! / (x!(y-x)!) = b
a = comb(y,x-1) = y! / ((x-1)!(y-x+1)!)
c = comb(y,x+1) = y! / ((x+1)!(y-x-1)!)
d = comb(y,x+2) =  y! / ((x+2)!(y-x-2)!)
=>
2.y! / (x!(y-x)!)  = y! / ((x-1)!(y-x+1)!)  +   y! / ((x+1)!(y-x-1)!)   et
2.y! / ((x+1)!(y-x-1)!) =  y! / (x!(y-x)!) +  y! / ((x+2)!(y-x-2)!)
=>
{ 2.(x+1)(y-x+1)  -  x.(x+1)  - (y-x)(y-x+1) }. y!  / ((x+1)!(y-x+1)!) = 0   et
{ 2.(x+2)(y-x) - (x+1).(x+2) - (y-x).(y-x-1) }. y! / ((x+2)!(y-x)!) = 0
=> 2 équations à 2 inconnues
2(xy + y -x² - x + x + 1 )  -  (x² + x) - (y² -xy -xy + x² + y - x) = 0  et
2(xy + 2y - x² - 2x ) - (x² + 3x + 2) - (y² - xy - xy + x² - y + x) = 0
=> en passant les étapes de calculs
(y-2x)² - y - 2 = 0  et
(y-2x)² - 5y + 8x + 2 = 0
=> .....
(y-2x)² - y - 2 = 0  et
4y - 8x - 4 = 0
=> ....
y = -1
x = -1
=>
impossible
A+

Posté par chpow chpow

Bonsoir ^^
Si la 7ème ligne est celle contenant la progression arithmétique 7 21 35, alors c'est dans la 8ème ligne que ce trouvera la progression arithmétique : 8 28 56 60.
Ce qui donne comme ligne:
1 8 28 56 60 56 28 8 1.

Bye tout le monde =)

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Dans une progression arithmétique composée de 4 nombres consécutifs, on peut identifier deux  progressions arithmétiques composées de 3 nombres consécutifs chacunes ou coefficients binomiaux de ligne n et colonne p tels :


et


Les solutions sont (n,p) tel que :

ou
et
ou

ce qui donne n=-1 et p=-1
Or n et p doivent être des entiers naturels...

Il n'y a pas de ligne n=-1 ni de colonne p=-1 dans le triangle de Pascal !!

J'en conclus qu'il n'y a pas 4 nombres consécutifs appartenant à la même ligne et en progression arithmétique dans le triangle de Pascal.

J'ai essayé avec excel et j'ai abandonné à la ligne n=1000 : ça sent le poisson...

A+, KiKo21.

Posté par nicov29280 (invité)

voila la solution
8 28 56 70
elle peut etre trouvée n'importe ou sur internet mais étant en 1ere S c'est très simple de comprendre qu'il faut ajouter les deux membres du dessus pour trouver le bon résultat

Posté par borneo borneo

Bonsoir, on est sur la ligne 12 et les nombres sont 11 55 165 et 330

Merci pour l'énigme

Posté par madani madani

Salut tt le monde
Ces nombres  n'existent pas!

Posté par kingdombed kingdombed

a la ligne 11 il y a 11
55
165
330
462
donc jai trouver

Posté par saya (invité)

10
45
120
210
en ligne 10
sans compter la 1ere ou le chiffre 1 est l'unique case

Posté par minkus minkus

Bonjour,

Probleme impossible en effet.

Certains doivent revoir la notion de suite arithmetique !

Sinon bravo pour les belles demos de certains, je n'aurais pas fait mieux

minkus

Posté par borneo borneo

Salut Minkus. Tu peux me rappeler ce qu'est une suite arithmétique ?

Posté par Youpi Youpi

Bonjours borneo !

Une suite arithmétique vérifie la relation suivante U_n+1=U_n+r   (où r est appelé la raison de la suite arithmétique
exemple de suite aritmétique:
U0=10
U1=13
U2=16
U3=19
U4=22
U5=25
etc...

c'est une suite arithémtique de premier terme U0=10 et de raison r=3

Posté par borneo borneo

Merci, Youpi. Si j'avais réfléchi un minimum, je m'en serais souvenue...

Posté par Youpi Youpi

et puis normalement avec l'ami google tu aurais pu trouver cela sans problème !

Posté par borneo borneo

J'ai fait ça l'an dernier avec mon fils qui était en première...

Posté par madani madani

salut tt le monde
je pense que le resultat donné par Carflex n'est pas accéptable!

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

> Madani

Et pourquoi ???? Elle vaut la tienne, non ?

A+, KiKo21.

Posté par madani madani

salut
Tu veux dire: elle est équivalente a ma reponse .
je crois qu'il ya diffèrence entre faire une dimonstration et affirmer qu'il n'ya pas de suites verifiant les hypothèses du problème et reponder par: malheureusement je crois qu'il n'existe pas de suites de 4nombres décrivant une suite arithmétique.
En plus la justification qu'il a donnée a ce sujet donne l'image d'incertitude a sa reponse.

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,

Tu as peut être raison mais en même temps Minkus ne demandais pas de démonstration,
ni de justification

Posté par lo5707 lo5707

Et puis avec une réponse équivalente,
ça aurait été plus sympa de dire
"Je pense que le résultat donné par Carflex, ainsi que le mien, ne sont pas acceptables"

Posté par madani madani

salut
En ce qui concèrne ma réponse c'est la norme car si la demonstration était obligatoire, Minkus aurait la demander mais c'est pas là le problème .

Posté par madani madani

salut
le problème subsiste dans la réponse par: je crois et donner une justification impuissante!

Posté par Youpi Youpi

madan; >> je ne vois pas où tu vois un problème puisqu'il n'est pas demandé de justification !

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour Youpi,

itou !!

> Madani
Serais-tu du genre à chercher la petite bête ??

A+, KiKo21.

Posté par madani madani

qu'est ce que tu dis de la proposition suivante:
je crois qu'il fera beau demain chez vous car les
nuages répandus au dessus de votre région commensent enfin  a la quitter  .
si tu mis le lendemain  ton chemise et tu sorts te prommener, monsieur météo te dira que la température de ta logique est trés basse si jamais tu deposes une plainte contre lui!!!!!

Posté par Youpi Youpi

madani >> c'est quoi ton problème ????

Posté par madani madani

bon soir
Assez bavarder je me casse
a bientot et merci pour tout!

Posté par carflex (invité)

oula madani faut te calmer je pensais pas que mon post aller provoquer une telle émeute

en effet aucune démonstration n'est demandée c'est bien pourquoi j'ai répondu à l'enigme, elle aurait été demandée je n'aurais pas posté de réponse

mais vu que mon programme ne sortait pas de réponse (sur les 1000 premieres lignes si je me souviens bien) alors je crois (lol) etre en droit de poster      
une réponse si celle ci s'avere juste.

et pis si ca ne te vas toujours pas je veux bien refuser ces points de ma bonne réponse si çà peut te faire plaisir...

Posté par Cauchy Cauchy

Les énigmes créent des tensions

Posté par madani madani

bonne journée a ts et a tt
pas du tt cher carflex je ne suis ps jaloux de tes points et d'ailleurs ils ne t'interesses meme pas mais je suis très curieux de savoir si la proposition :
"je crois qu'il n'existe pas de suites de 4nombres décrivant une suite arithmétique"
est logiquement équivalente a la proposition :
"il n'existe pas de suites de 4nombres décrivant une suite arithmétique"
En tt cas je m'excuse d'avoir entamer ce débat inutil!

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

> Madani


Tu as fini par l'admettre !!!

A+, KiKo21.

Posté par minkus minkus

Bonjour à tous et bonjour Madani,

En tant que "source" du conflit, je me sens un peu obligé d'ajouter ma petite pierre à ce débat.

Tout d'abord je ne pense que la logique de Madani puisse être mise en doute (et personne ne l'a fait) car les deux phrases de l'avant dernier message ne sont bien sûr pas équivalentes. Cependant je trouve l'exemple météorologique particulièrement mal choisi. Ca ne ferait pas de mal si ces messieurs-dames de la météo disaient "je crois" ou "je pense" car je trouve que depuis qques mois leurs prévisions se révèlent souvent incorrectes. J'aimerai aussi que le lendemain par exemple ils disent un truc du genre "Excusez-nous pour hier mais on s'est planté !". Quant au fameux indice de confiance, je n'en parlerai même pas.
Pour revenir dans le champ mathématique, n'oublions pas, qu'en son temps, Fermat (je vous avais dit que j'ajouterai ma petite Pierre ) a écrit "L'équation xⁿ+yⁿ=zⁿ n'a pas de solutions entières non nulles pour n supérieur." Sauf erreur, il n'a pas écrit "Je crois que..."

D'autre part je tiens à dire qu'en tant qu'enseignant je me torture moi même à donner des énigmes sans demander de justification. Il se trouve que les problèmes inhérents à cette demande de justification sont nombreux et ce sujet a déjà été longuement débattu. Bien sûr, il n'est satisfaisant pour personne que qqun obtienne un en jetant une pièce car il lui suffit de choisir entre OUI et NON. (cf Défi 125) Cependant je rappelle que tout ceci est un jeu et je sais aussi que les qques uns qui se battent pour le classement final ne prendront pas ce genre de risques qu'il paient souvent très chers. Je me souviens de réponses de certains qui ont généralisé des conjectures basées sur la vérification de qques valeurs mais n'ont pas pris le temps de "démontrer le résultat" dans le cas général. Ils ont alors tenté une réponse pour griller les autres au temps. Les conjectures s'avèrent parfois fausses...

A+

minkus

Posté par madani madani

bonne aprés midi a tt le monde.
merci minkus pour la petite pièrre.