droite d euler

Posté par joe (invité)

Slt a tous , voila j'ai un éxo avec des vecteurs et c'est
vraiment pas mon fort si quelqu'un peut m'aider .


Dans un repere orthonormal , on considere les points A (-3; 1) , B ( 5
; 1) , C ( -2 ; 8 ) ; R (1 ; 4) , K ( 1 ; 5) .

1) Placer ces points dans un quadrillage .

2) Calculer RA , RB , RC , que représente le point R pour ABC .
Calculer KA² , KC² , AC² . En déduire la nature de AKC . Vérifier que K est
un point de [BC] .
Quel est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC .

3) On cherche les coordonnées (xH ; yH ) de l'orthocentre H du
triangle ABC .

a) expliquer pourquoi xH = -2

b) Déterminer l'ordonnée yH en utilisant , après l'avoir justifié
, l'alignement de A , H , K .

4) a) Déterminer les coordonnée du centre de gravité G de ABC .

b) Montrer que les points G , H , R sont alignés .

5 ) Déterminer les coordonnées des points suivants :

a) A' , B' , C' ; milieu respectif de BC , CA , AB .

b) A1 , B1 , C1 ; milieu respectif de HA , HB , HC .
c) S , le milieu de [HR] .

6) Montrer alors que les points A' , B' , C' , A1 , B1
, C1 et K sont situées sur un meme cercle de centre S . Quel est
le rayon de ce cercle .


Voila , les otre éxo de mon DM son 1 peu plus simple , mais pour celui
la je suis bloqué .
Merci d'avance de m'aider .

Posté par Océane Océane

Bonjour Joe


- Question 2 - a) -
RA² = (x_A - x_R)² + (y_A - y_R)²
= (-3 - 1)² + (1 - 4)²
= 16 + 9
= 25
Donc : RA = 5

De même :
RB² = (5 - 1)² + (1 - 4)²
= 16 + 9
= 25
Donc : RB = 5

RC² = (-2 - 1)² + (8 - 4)²
= 9 + 16
= 25
Donc : RC = 5

Comme RA = RB = RC, alors R est le centre du cercle circonscrit au triangle
ABC.


- Question 2 - b) -
KA² = (-3 - 1)² + (1 - 5)²
= 16 + 16
= 32

KC² = (-2 - 1)² + (8 - 5)²
= 9 + 9
= 18

AC² = (-2 + 3)² + (8 - 1)²
= 1 + 49
= 50

Comme AC² = KA² + KC², alors d'après la réciproque du théorème de
Pythagore, le triangle AKC est rectangle en K.

Vérifions que K est un point de [BC] :
CB(5 +2; 1 - 8)
CB(7; -7)

CK(1 + 2; 5 - 8)
CK(3; -3)

On a donc :
CK = 3/7 CB
Comme 3/7 < 1, alors K appartient au segment [BC].


- Question 2 - c) -
R étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
le rayon du cercle est R = RA = 5 cm.



- Question 3 - a) -
H étant l'orthocentre du triangle ABC, on a :
(CH) et (AB) sont perpendiculaires.

Comme y_A = y_B, alors la droite (AB) est parallèle
à l'axe des abscisses.
La droite (CH) sera donc parallèle à l'axe des ordonnées.
On aura alors : x_C =x_H = -2


- Question 3 - b) -
Comme AKC est un triangle rectangle en K, alors les droites (AK) et (KC)
sont perpendiculaires.
Or, K[BC],
les droites (AK) et (BC) sont donc perpendiculaires.
(AK) est la hauteur du triangle ABC issue de A, H est l'orthocentre
de ABC,
les points A, H et K sont donc alignés.

Les vecteurs AH(1; y_H - 1) et AK(4; 4) sont
donc colinéaires, ce qui se traduit par :
1 × 4 - (y_H - 1) × 4 = 0
4 - 4y_H + 4 = 0
- 4y_H = -8
y_H = 2

D'où : H(-2; 2)



Voilà déjà pour le début, à toi de reprendre, bon courage ...

Posté par Océane Océane

Alors pour la suite :

- Question 4 - a) -
Soit tu as écrit une formule dans ton cours te permettant de calculer
directement les coordonnées de G ce que je doute, on va donc procéder
de la façon suivante :

G est le centre de gravité du triangle ABC, c'est donc le point
d'intersection des médianes.
On va donc chercher l'équation de deux médianes puis calculer le
point d'intersection de ces deux médianes, c'est parti


- Soit I le milieu de segment [BC], il a pour coordonnées :
x_I = (x_B + x_C)/2
= (5 - 2)/2 = 3/2
et
y_I = (y_B + y_C)/2
= (1 + 8)/2 = 9/2

(AI) est la médiane issue de A, trouvons l'équation de cette droite
(qui est de la forme y = ax + b) :
a = (y_A - y_I)/(x_A - x_I)
= (1 - 9/2)/(-3 - 3/2)
= (-7/2)/(-9/2)
= 7/9

A(AI), donc :
y_A = ax_A + b
soit : b = y_A - ax_A
= 1 - 7/9 × (-3)
= 1 + 7/3 = 10/3

(AI) : y = 7/9 x + 10/3


- Soit J le milieu de segment [AB], il a pour coordonnées :
x_J = (x_A + x_B)/2 = 1
et
y_J = (y_A + y_B)/2 = 1


(CJ) est la médiane issue de C, trouvons l'équation de cette droite
(qui est de la forme y = ax + b) :
a = (y_C - y_J)/(x_C - x_J)
= (8 - 1)/(-2 - 1)
= 7/(-3)
= -7/3

C(CJ), donc :
y_C = ax_C + b
soit : b = y_C - ax_C
= 8 - (-7/3) × (-2)
= 10/3

(CJ) : y = -7/3 x + 10/3


- Coordonnées du point d'intersection des droites (AI) et (CJ)
:
y = 7/9 x + 10/3
y = -7/3 x + 10/3

y = 7/9 x + 10/3
7/9 x + 10/3 = -7/3 x + 10/3

y = 7/9 x + 10/3
7/9 x = -7/3 x

y = 7/9 x + 10/3
x = 0

x = 0
y = 10/3

D'où : G(0; 10/3)



- Question 4 - b) -
GH(-2 - 0; 2 - 10/3)
GH(-2; - 4/3)

GR(1 - 0; 4 - 10/3)
GR(1; 2/3)

-2 × 2/3 - 1 × (-4/3)
= -4/3 + 4/3 = 0

Les vecteurs GH et GR sont donc colinéaires.
On en déduit que les points G, H et R sont alignés.



- Question 5 -
En voyant cette question, je pense qu'il devait y avoir une autre
méthode pour trouver les coordonnées du point G. Peut-être as-tu
vu la formule en cours ?
Ce n'est que des formules à appliquer, je te laisse finir, si tu
veux soumettre tes résultats pour une vérifiaction, tu peux

- Question 6 -
Tu calcules les distances SA', SB', SC', SA₁, SB₁ SC₁ et SK.
Elles doivent toutes étres égales.
Les points seront alors situés sur le cercle de centre S et de rayon SA'.


A toi de tout reprendre, bon courage ...

Posté par Océane Océane

- Question 4 - a) -
Autre méthode, beaucoup plus rapide
C' milieu de [AB],
comme G est le centre de gravité du triangle ABC, on a donc la relation
suivante :
CG = 2/3 CC'

Or, CG(x_G + 2; y_G - 8)
et
CC'(3; -7)

L'égalité vectorielle CG = 2/3 CC' se traduit par :
x_G + 2 = 2/3 × 3
et
y_G - 8 = 2/3 × (-7)

x_G = 2 - 2 = 0
et
y_G = -14/3 + 8 = 10/3

D'où : G(0; 10/3)

Voilà

Posté par meuuh (invité)

vous auriez une formule pour calculé les coordonnée de points se
trouvan sur un cercle
merci d'avance