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Equation admettant une solution imaginaire pure


terminaleEquation admettant une solution imaginaire pure

#msg753570#msg753570 Posté le 23-11-06 à 20:36
Posté par Dahevos (invité)

Voici l'énoncé :

Montrer que l'équation z²-(1+3i)z+4+4i=0 admet une solution imaginaire pure que l'on déterminera.

Voici mon raisonnement :

- J'ai tout d'abord essayé de me ramener a une équation du type z=a+bi en factorisant et en simplifiant, mais rien n'y fait, je tombe toujours sur du z²-(1+3i)z = -4 -4i, que je n'arrive pas a simplifier et a résoudre !
- J'ai ensuite essayé de remplacer z par son expression algébrique : z=a+ib ... mais rien n'y fait, je tombe sur des équations irésolubles ...
- Après avoir prié le dieu des maths de me donner son ultime savoir, j'ai essayé de changer de variable avec Z=z², mais je tombe toujours sur une impasse.

Merci d'avance de votre aide ^^ ( piste de raisonnement par exemple )
re : Equation admettant une solution imaginaire pure#msg753581#msg753581 Posté le 23-11-06 à 20:41
Posté par Profilinfophile infophile

Bonsoir

Tu as oublié la possibilité d'utiliser le discriminant
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re : Equation admettant une solution imaginaire pure#msg753679#msg753679 Posté le 23-11-06 à 21:18
Posté par Dahevos (invité)

Hum c'est vrai, même si en cours on a pas encore vu le cas d'un delta étant de la forme a+bi...
Après moult recherche sur le net et sur ce forum, j'ai compris qu'il fallait que je trouve un nombre complexe dont le carré est égale à mon discriminant ... qui est égale à - 24 - 10i.

N'existe t'il pas une méthode simple et efficace pour trouver un nbr complexe dont le carré soit égale à mon discriminant ? J'ai après quelques essais trouvé que -[2R(6)]² = 24 et pour 10i= R(100i²)
Est-ce possible ou pas ? Si non pourquoi ?
Merci de votre patience .
re : Equation admettant une solution imaginaire pure#msg753692#msg753692 Posté le 23-11-06 à 21:21
Posté par ProfilFractal Fractal

Bonjour, pour montrer que l'équation admet une solution imaginaire pure, suppose que c'est le cas en appelant iy cette solution, et résoud le système d'équations que cela te donnera en remplaçant x par iy.

Pour information, la résolution d'équation du second degré à coefficients complexes avec delta et tout ça n'est plus au programme de TS.

Fractal
re : Equation admettant une solution imaginaire pure#msg753701#msg753701 Posté le 23-11-06 à 21:25
Posté par Profilinfophile infophile

Non oublie le discriminant, peut-être qu'avec ça :

z²-(1+3i)z+4+4i

(x+iy)²-(1+3i)(x+iy)+4+4i
x²+i2xy-y²-x-iy-3ix+3y+4+4i
(x²-y²+3y-x+4)+i(2xy-y-3x+4)
re : Equation admettant une solution imaginaire pure#msg753704#msg753704 Posté le 23-11-06 à 21:26
Posté par Profilinfophile infophile

Bonne idée Fractal
re : Equation admettant une solution imaginaire pure#msg753763#msg753763 Posté le 23-11-06 à 21:44
Posté par Dahevos (invité)

Ok merci, jtrouve bien z=4i.

@+ tout le monde ^^

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