Exercice classiquement complexe ^^

Posté par Ali-N Ali-N

Bonjour à toutes et à tous !

Pour la énième fois me re-voici confrontée à un problème qui à première vue parrait simple...
Voici l'énoncer :
Soit P(z) = z³-(4+3i)z²+(1+9i)z+2-6i

1. Montrer que P(z) a une racine réelle
2. Montrer que l'équation P(z) = 0 aune solution qui est un complexe imaginaire pur
3. Factoriser P(z) en produit de trois facteurs du premier degré puis résoudre l'équation P(z) = 0

Alors pour la 1. je trouve Re(z) = z³-4z²+z+2
mais pour la 2. aïe aïe aïe... j'ai compris que ici, on a : P(z) = 0 correspond à Re(z) = 0 mais je n'arrive pas à prouver celà, je ne vois pas comment faire.
En ce qui concerne la 3. (d'accord c'est un peu la honte... ) je ne connais pas vraiment la méthode à employer pour factoriser je suis bloquée avec des z² en trop...

Si quelqu'un lit ce message et qu'il saisit mon problème ( de préférence... ) merci d'avance ! Je me reconnecterai demain en attendant bonne soirée !

Posté par disdrometre disdrometre

bonsoir Ali-N

Montrer que P(z) a une racine réelle

signifie qu'il faut montrer qu'il existe x réel tel que P(x)=0

l'équation P(z) = 0 a une solution qui est un complexe imaginaire pur

signifie qu'il faut montrer qu'il existe y réel tel que P(iy)=0

D.

Posté par Ali-N Ali-N

re-bonsoir ( désolée pour le décalage temporaire... ) heu... excuse moi disdrometre mais je ne suis pas sûre de ta comprendre ta réponse ... moi, j'ai dans mon cours z imaginaire pur équivaut  à Re(z) = 0
Je suppose qu'il ne faut pas calculer tout de suite pour la 2. , vu que dans l'énoncer, ils demandent dans la 3 de factoriser puis de résoudre P(z) = 0

Sinon merci quand même pour ton aide !

Posté par Ali-N Ali-N

mince je viens de me rendre compte que disdometre n'est pas en ligne si un ou une passionnée par les complexes me lis... merci de donner votre opinion sur mon problème

Posté par disdrometre disdrometre

d'accord,

mais ici on parle de racine.

x est une racine de P, alors P(x)=0

si z est une racine réelle de P alors si z=x+iy donc y=0

alors P(z)=P(x)=0

D.

Posté par Ali-N Ali-N

Bonsoir disdrometre !

Posté par Ali-N Ali-N

Cela veut dire que je dois remplacer tous les z par x+iy ?

Posté par disdrometre disdrometre

oui

mais dans le cas d'une solution réelle

z^3-(4+3i)z²+(1+9i)z+2-6i

(x+iy)^3-(4+3i)(x+iy)²+(1+9i)(x+iy)+2-6i

comme la solution est réelle iy=0

donc

(x)^3-(4+3i)(x)²+(1+9i)(x)+2-6i =0

donc  les parties réelle et imaginaires sont nulles
(x)^3-4x²+x+2=0

et -3x² +9x -6=0 => -3(x-3x+2)=-3(x-1)(x-2)=0  => x=1 et x=2 sont racines.

x=1 est aussi racine de (x)^3-4x²+x+2=0

=> 1 est une racine réelle de P.

D.

Posté par Ali-N Ali-N

C'est pas grave merci quand même, il ne s'agit que d'un petit exercice

Posté par Ali-N Ali-N

arf ! avais pas lu ton message par manque d'actualisation ! oublie le message d'avant

Posté par Ali-N Ali-N

en fait si je comprend bien c'est le même principe pour la 2. mais avec x = 0 ? ? sinon, une petite question perso : le D. c'est pour Drôlement-fort-en-maths ?

Posté par disdrometre disdrometre

exact, c'est le même principe.

merci pour le compliment.

D.

Posté par disdrometre disdrometre

D comme disdromètre.

D.

Posté par Ali-N Ali-N

bien sur ! Je m'en doutais quand même

Posté par Ali-N Ali-N

heu.. juste pour ma culture générale Disdromètre était un mathématicien ?

Posté par disdrometre disdrometre

non ! un instrument de mesure.
tu es le premier à me le demander.

D.

Posté par Ali-N Ali-N

la première ! Oh ! Et ça mesure quoi ? (je vais me couché moins bête ce soir ! )

Posté par disdrometre disdrometre

la première désolé !!

le nombre de gouttes de pluie ..

très poètique non?

D.

Posté par Ali-N Ali-N

J'avoue ! c'est très classe ! Et ça sert aux physiciens principalement alors ? Mince c'est plus des maths comme sujet de conversation ! Tant pis !

Posté par disdrometre disdrometre

oui !!

surtout pour la climatologue des pluies.
il y a de la physique..

D.

Posté par Ali-N Ali-N

Ouha ! C'est dingue ça qu'il existe un instrument pour mesurer les gouttes de pluies... sur ma planète ça existait pas comme mot ! ( cf Ali.N = Alien )
En tout cas merci pour ta grande aide !

Posté par disdrometre disdrometre

je t'en prie

et à bientôt sur l'île.

D.

Posté par Ali-N Ali-N

Petit coin de paradis pour toi, mesureur de gouttes ? J'ai presque trouvé le résultat pour la 2. si tu n'es pas pressé de te coucher ?

Posté par disdrometre disdrometre

met ce que tu trouves...

D.

Posté par Ali-N Ali-N

Sinon bonne nuit, je ne voudrais pas abuser de ta sympathie !

Posté par Ali-N Ali-N

arrrrrrrrg ! nan ! j'ai du faire une erreur dans mes calcule dans l'un je trouve 2 et l'autre -2

Posté par Ali-N Ali-N

erreur trouvée loading...

Posté par Ali-N Ali-N

Wahouuuuu ! J'ai trouvé !! Euréka ! C'est 2 ? Dis dis dis ? C'est 2 ?

Posté par Ali-N Ali-N

en fait je viens de saisir... solution et racine c'est exactement la même chose ?

Posté par Ali-N Ali-N

Hum... t'es plus là bon c'est pas grave MERCI MILLE FOIS !! Grâce à toi, j'ai enfin compris un truc complexe (lol) en maths !

Posté par mikayaou mikayaou

bonsoir Alien

pour la 2), dis que x=ib est solution et cherche b réel

ainsi, tu auras (z-1)(z-ib) à mettre en facteur et tu trouveras la dernière racine

Bon courage
.

Posté par mikayaou mikayaou

bonsoir alien

peut-être que ton exo était pour aujourd'hui, auquel cas "trop tard"

sinon, pour le 3) : P(z) = (z-1)(z+2i)(z+3+i)

( le "b" de mon message précédent valait -2 )

que tu n'as plus qu'à vérifier
.

Posté par Ali-N Ali-N

bonsoir mikayaou !

Désolée pour ce décalage temporelle mais j'étais retournée sur ma planète en soucoupe volante et là bas le temps n'est pas le même ! lol ! Quoi qu'il en soit.. je ne suis pas sûre de saisir.. toi tu poses x=ib alors que moi j'ai posé : z= x + iy et comme la solution est imaginaire j'ai mis que x=0 d'où z = iy ... Bigre ! J'ai vraiment faux ? Parce qu'avec mon raisonnement, toi tu obtiens z = 2iy ... Damned, je n'y compren,d plus rien...

Sinon, il n'est jamais trop tard pour répondre ! lol, c'est gentil de l'avoir fait !

Le problème c'est que je n'ai pas reçu de correction par ma prof...