Demonstration par récurrence et Exponentielle

Posté par kaigho (invité)

Salut à vous tous,

J'ai un DM à rendre pour mercredi 29, sur lequel je bloque légèrement :


n est un entier naturel non nul et la fonction définie sur par



1)a)Etudier les variations de

b) Préciser    et  

2)a) Calculer et préciser son signe.

b)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul,

c) En déduire le signe de

3) Démontrer que l'équation a une unique solution et que


1)a) Après l'étude du signe de la dérivée de , on en déduit que est croissante sur son ensemble de définition.

b)

et



2)a)


Donc, je n'ai pas de problèmes jusqu'à la question 2)b).

Je n'arrive pas à faire le raisonnement par récurrence...

Démontrons que pour tout , la proposition "" est vraie.

* Initialisation :

  et

Donc on a bien :

* pour l'hérédité tout se complique je ne sais pas par où commencer !

Donc si vous avez une idée, merci de me l'expliquer

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

supposons que e^(n+1)>2n+1 il nous faut montrer que e^(n+1+1)>2(n+1)+1.

cad e^(n+2)>2n+3. e^(n+2)=e^(n+1)e^1>(2n+1)e^1 par hypothese.

donc e^(n+2)>2ne+e>4n+2>2n+2n+2>2n+4>2n+3.

Posté par garnouille garnouille

il faut prouver e^(n+1)+1>2(n+1)+1 en supposant  que eⁿ⁺¹>2n+1
e^(n+1)+1=e⁽ⁿ⁺¹⁾*e

à toi...

Posté par kaigho (invité)

Merci pour ta réponse Cauchy, mais je ne suis pas tout la

J'ai bien compris le début, on a :

e^(n+1+1)>2(n+1)+1

e^(n+2)>2n+3 or, e^(n+2)=e^(n+1) x e^1

d'après l'hypothèse de récurrence

e^(n+1) x e^1 > (2n+1) x e^1

e^(n+1) x e^1 > 2ne^1 x e^1

mais après

Posté par Cauchy Cauchy

Apres j'ai juste fait (2n+1)e^1=2n*e+e or e>2 donc c'est superieur à 4n+2.

Posté par kaigho (invité)

dacc je vois,

mais ensuite tu dis que 2n+2n+2 est supérieur à 2n+4 ? pourquoi?

Posté par Cauchy Cauchy

Bien parce que n>=1.

Posté par kaigho (invité)

ah oui pas bête :p

merci pour m'avoir éclairé Cauchy et Garnouille

Posté par Cauchy Cauchy

De rien pour ma part

Posté par kaigho (invité)

2)c)On vient donc de démontrer que

on a :



donc



or,





< 0 car

donc



Le problème c'est que je ne vois pas à quoi ca sert d'être passé par là :/
bref,

3) est strictement croissante et continue sur

et

Or,


Donc, d'après le théorème de bijection, admet une unique solution

Une idée pour la fin? De mon coté je pédale dans la semoule. Pourriez vous me dire si mes calculs sont bons, et si vous avez une idée pour la dernière question?

Merci d'avance, Kaigho

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

que vaut f_n(n) et f_n(n+1)?

Posté par inconnu180 inconnu180

bonsoir tout le monde,

j'ai exactement le même exercice à traiter et moi aussi j'ai tenté de répondre à cette dernière question.

je trouve le même résultat (le tableau de variation permet de montrer l'existence d'une solution telle que fn (x) = 0). cependant je ne vois pas non plus comment on pourrait conclure à ce problème.

j'ai calculé fn(n)=
et aussi fn(n+1) =
comme la suggéré "cauchy"

mais je n'arrive pas à voir le rapport entre les deux.

si quelqu'un pouvait m'aider

ps : est il possible de savoir comment on écrit les fractions sur ce site? je suis nouveau et j'ai encore un peu de mal