fonctions analytiques

Posté par otto otto

Une classe de fonctions est une famille de fonctions.
L'identité de D est la fonction qui à tout point z de D associe z.

Posté par adeline85 (invité)

bonjour Otto ,
grace a toi je pense avoir une idée mais je ne suis pas du tout sure de moi:
comme tu l'as dis avec la fonction identité je vois que le maximum est au moins 1
et si je garde ma fonction identité et que je la reporte dans la question précédente
je peux voir que g'(a) tand vers 1 quand a tand vers 0

qu'en penser vous ...mon seul petit probleme c'est que dans la question précédente il y a une inégalité stricte ....
Adeline

Posté par adeline85 (invité)

pensez vous que c'est bon ?
ou alors je suis a coté de la plaque?
Adeline

Posté par Camélia Camélia

Bonjour adeline85
L'inégalité signalée par Otto, montre que |f'(a)|1/(1-|a|²) pour toute f de ta classe. En prenant la fonction f(z)=z qui est convenable et en construisant g comme ci-dessus, tu trouves g'(a)=1/(1-|a|²), donc voilà le sup!

Pour la démonstration de l'inégalité signalée, j'ai écrit un exo qui permet de la démontrer et que je vais remonter.

Courage!

Posté par otto otto

Cette inégalité porte le nom de Schwarz-Pick, qui en dimension supérieure porte le nom de Nevannlina-Pick. Tu peux chercher avec ces mots clés sur le net.
a+

Posté par adeline85 (invité)

j'ai en effet fait un exo comme ca ...et je penseq ue je sais d'où elle vien:

Ba(z)= (z-a)/1-bz   où b est égale au conjugais de a
et donc quand tu dérive cette fonction et qu etu aplique cette derivée en a tu as exactement 1/(1-|a|2)
et aprés avce notre petit a) du problem on trouve bien

|f'(a)|1/(1-|a|2)

merci a tous!
Adeline

Posté par otto otto

Les applications Ba que tu décris sont exactement les isomorphismes analytiques du disque unité (à une rotation près).
C'est assez naturel de les faire intevernir dans ce genre de problèmes.

En fait, si tu considères la distance hyperbolique d(z,w)=|z-w|/|1-zw*|, alors les applications du disque unité dans lui même sont des applications 1-Lipschitzienne et les isométries sont exactement les applications Ba. (à une rotation près, encore une fois).
C'est justement le théorème de Schwarz-Pick, qui est une traduction métrique du lemme de Schwarz.

a+

Posté par Ibiscus Ibiscus

Bonjour à tous,

Voilà j'ai un exercice qui ressemble fortement à celui d'adeline85 et malgré toutes les explications ci-dessus j'ai du mal à m'en sortir!
Voici l'énoncé:

Soit f une fonction holomorphe sur la boule unité B et continue sur la fermeture de B.
On suppose de plus que f(B) est inclus dans B et que |f(z)|=1 pour |z|=1.
a)Montrer que si f ne prend pas la valeur 0, elle est constante. (J'ai pensé prendre g(z)=1/f(z) mais après je ne vois comment faire)
b)En déduire que si f n'est pas constante, elle est surjective sur B. Indication: On pourra utiliser les applications de la forme g_a(z)=z-a/1-âz, où a est un point arbitraire de B (automorphismes conformes de B), en considérant les fonctions g_a.f.

Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Je vous remercie d'avance.