fonctions vérifiants f(x+y)=f(x)+f(y)

Posté par issam329 (invité)

bonjour

j'ai besoin de votre aide pour trouver toutes les fonctions f:R->R vérifiants :
f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x et y de R .

Merci

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour ,

tu supposes quoi sur f?

Posté par Cauchy Cauchy

Je pense qu'il y a une hypotèse de continuite,de monotonie?

Posté par lafol lafol

Tu peux commencer par observer que f(y)= f(0+y) = f(0) + f(y), donc f(0)=0,
puis 0= f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x), donc pour tout x réel, f(-x) = - f(x).
f sera donc impaire, et il suffit de la déterminer sur .
Après, pour tout n entier naturel, f(n)= f(1+1+...+1) = f(1)+f(1)+...+f(1) = nf(1),
et f(1) = f(1/n + 1/n + ... + 1/n) = n f(1/n), donc f(1/n) = f(1)/n.
par suite, en écrivant r=p/q = 1/q + 1/q + ...+ 1/q, tu as pour tout r rationnel, f(r) = r f(1),
et si tu veux passer des rationnels aux réels, j'ai bien peur, comme Cauchy, que tu aies besoin d'une hypothèse de continuité sur f.

Posté par Cauchy Cauchy

Salut lafol,

oui c'est pour cela que je demandais parce que sinon le probleme me semble plus ardu.

Tu peux aussi conclure si f est croissante par exemple tu prend une suite xn croissante de rationnels qui converge vers x,une suite decroissante yn de rationnels qui converge vers x.

Tu as f(xn)<=f(x)<=f(yn) et tu conclus en passant a la limite pour obtenir xf(1).

Posté par lafol lafol

en effet !

Posté par stokastik stokastik


Bonjour Cauchy et lafol,

Sauriez-vous trouver une fonction f vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) sans être continue ?

Posté par webrevenger (invité)

il faut que f vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) .Mais j'aimerai bien connaitre les hypothèses. S'il n'y en a pas concerant la continuité, donnez nous le domaine d'étude.Parceque si elle n'est pas continue il faudra aussi trouver les x et y qui vérifient l'égalité.
Je pense qu'elle est continue , et en utilisant la densité des rationnels dans comme l'a di lafol, on s'en sort.

Posté par jeanseb jeanseb

f est f(1) lipschitzienne (donc "continue") sur les rationnels. Serait-il possible qu'elle ne le soit pas sur les réels?

Posté par stokastik stokastik


À l'instant j'ai trouvé un topic sur un forum concernant la question que l'on se pose. Malheureusement mon ordi a planté et je n'ai plus l'adresse (pa le temps de la rechercher). J'y ai vu le résultat suivant :

Soit f une fonction Q-linéaire. Il y a équivalence entre :

i) f est R-linéaire
ii) f est continue
iii) f est mesurable

Si quelqu'un a l'envie de rechercher ce topic...

Posté par issam329 (invité)

bonjour

d'abord je vous remercie tous pour votre aide et je m'excuse j'ai oublié de vous préciser que f est continue .

Merci encore

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

stokastik j'ai pas trouve ton topic par contre j'ai trouvé ca ou ils construisent une fonction qui verifie l'equation sans etre lineaire en considerant R comme un ev sur Q.



Et pour l'equivalence mesurable continue je suis tombe sur ce site ou apparemment il y a pas mal d'articles de mathematiciens de l'est et il y a un article de Sierpinski et de Banach la dessus:

.

Posté par Camélia Camélia

C'est très récursif que Cauchy nous donne ce lien!

Posté par lafol lafol

Aimerait-il se mettre en avant ?