Suites géométriques et Cie pour Vendredi 30 Avril 2004

Posté par Jonéo (invité)

Je galère dans ce sujet je n'ai trouvé que la réponse à la première
question de la partie "Suite géometrique". J'ai besoin d'aide.
Merci d'avance.

Jonéo

SUJET :
Somme de termes consécutifs

• Suite arithmétique

1) On se propose ici de calculer la somme S<sub>[/sub]n où n représente
les premiers entiers naturels non nuls.

Sn = 1+2+3+…+n

En écrivant :
Sn = 1 + 2 +…+ (n-1) + n
Sn = n + (n-1) + … + 2 + 1

Démontrer que l'on a :
1 + 2 +…+ n = [n(n+1)] /2

2) Soit (Un) la suite arithmétique de terme initial  U0 = 4 et de raison
(-3)
Calculer la somme U[sub]</sub>0 + U_{[/sub]1 + …+ U[sub]}1<sub>[/sub]0
  en utilisant le terme général de Un et le résultat précédent.




• Suite géométrique


1) On se propose ici de calculer la somme des n premières puissances d'un
réel q.
On pose Sn = 1 + q + q² + …. +qn
En calculant le réel S[sub]</sub>n - qS_{[/sub]n ; démontrer que
l'on a  (1-q)S[sub]}n = 1-q n+1   .

En déduire que, pour tout réel q différent de 1 on a :

1 + q + q² +…+ q^{[/sup]n  = [1-q[sup]}n^[/sup]+[sup]1]/[1-q]

2) Soit (Un)  la suite géométrique de terme initial U0 = -2 et de raison
3.
Calculer la somme  U_{[/sub]0 + U[sub]}1 + … + U_{[/sub]9  en utilisant
le terme général U[sub]}n et le résultat précédent.

3) Calculer les sommes :

a) 8-4 +2 -1 + ½ - …-(1/16) ;   b)  7 + 10,5 + 15,75 + …+ 53,15625 +
79,734375


4) Le loyer trimestriel d'un local augmente systématiquement de 2% par
trimestre , le montant initial étant de 3000 €.

Quel est le montant du dernier loyer d'un bail de 5 années ?
Quel budget total représentent les loyers d'un tel bail ?

Posté par Victor Victor

Bonjour,

1) Sn = 1+2+3+…+n

En écrivant :
Sn = 1 + 2 +…+ (n-1) + n
Sn = n + (n-1) + … + 2 + 1

En additionnant membre à membre, et en regroupant les termes, on obtient
:
2Sn=(1+n)+(2+(n-1))+...+(n-1+2)+(n+1)
2Sn=(n+1)+(n+1)+... +(n+1)+(n+1) avec n termes.
Donc 2Sn=n*(n+1)
Donc Sn=1 + 2 +…+ n = [n(n+1)] /2

A suivre...

Posté par Victor Victor

2) Soit (Un) la suite arithmétique de terme initial U0 = 4 et de
raison (-3)
On a donc U_n=U₀+n*r =4-3n
Donc U0 + U1 + …+ U10=4+3*0+4+3*1+...+4+3*10
=4*11+3(0+1+2+...+10)
=44+3(10*11/2)
=44+3*55
=209
A suivre...

Posté par Victor Victor

suite...

1) Sn = 1 + q + q² + …. +qn
Sn - qSn = 1 + q + q² + ...+qⁿ-(q+q²+...+qⁿ⁺¹)=1-qⁿ⁺¹

Donc (1-q)Sn = 1-qⁿ⁺¹ .

En divisant par (1-q), on obtient :

Sn=1 + q + q² +…+ qⁿ = [1-qⁿ⁺¹]/[1-q]

A suivre...

Posté par Victor Victor

2) Soit (Un) la suite géométrique de terme initial U0 = -2 et de
raison 3.
On a donc U_n=U₀*qⁿ
U_n=-2*3ⁿ
U0 + U1 + … + U9=-2*(3⁰+3¹+...+3⁹)
En utilisant le résultat précédent avec q=3 et n=9.
U0 + U1 + … + U9=-2*(1-3¹⁰)/(1-3)
=1-3¹⁰=-59 048

3)
a) 8-4 +2 -1 + ½ - …-(1/16)
=8(1-1/2+1/4-1/8+1/16-....-1/128)
=8(1+(-1/2)¹+...+(-1/2)⁷)

On applique donc le résultat des suites géométriques avec q=-1/2 et
n=7.

b) 7 + 10,5 + 15,75 + …+ 53,15625 +79,734375
=7(1+1,5+1,5²+....+1,5⁶)
Donc on applique la même formule avec q=1,5 et n=6.

4)
Le loyer au bout de n années est 3000*1,02ⁿ

au bout de 5 années, le loyer est 3000*1,02⁵
Le budget d'un tel bail est :
3000+3000*1,02+3000*1,02²+....
A terminer

@+

Posté par Jonéo (invité)

Merci 10000000000000000000000000000000000000 fois maintenant ça ira
mieux.